Решение задачи линейного программирования симплекс-методом

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

"Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана"

Калужский филиал

Реферат

"Решение задачи линейного программирования симплекс-методом"

2008

Цель работы: изучить и научиться применять на практике симплекс - метод для решения прямой и двойственной задачи линейного программирования

Теоретическая часть.

Математическая постановка задачи линейного программирования.

Из практики рассмотрения задач математического программирования следует, что в общем виде решить их практически невозможно. Целесообразно рассматривать отдельные классы (виды) задач. Для каждого такого класса удается сформулировать алгоритм решения, приемлемый только для данного класса задач. Наиболее разработанными в математическом программировании являются задачи линейного программирования (ЛП).

В задачах линейного программирования целевая функция линейна, а условия-ограничения содержат линейные равенства и линейные неравенства. Переменные могут быть подчинены или не подчинены требованию неотрицательности. Одна и та же задача линейного программирования может быть записана в различной форме. Если все ограничения имеют вид неравенств, то задача записана в стандартной форме. Если все ее ограничения, кроме

 

представляют собой равенства, то задача линейного программирования записана в канонической форме.

Общий вид задачи линейного программирования

,

Ограничения:

1. Правые части всех ограничений должны быть неотрицательными . Если какой-нибудь из коэффициентов < 0, то необходимо коэффициенты ограничения слева и справа домножить на "-1" и изменить знак данного ограничения на противоположный;

2. Все ограничения должны быть представлены в виде равенств, поэтому при переходе от неравенства к равенству используют аппарат дополнительных переменных.

Если исходные ограничения определяют расход некоторого ресурса (знак ""), то переменные  следует интерпретировать как остаток, или неиспользованную часть ресурса. В этом случае – остаточная переменная и вводится в уравнение со знаком "+".

Если исходные ограничения определяют избыток некоторого ресурса (знак ""), то вводится избыточная переменная  знаком "-".

Переменные:

Все переменные должны быть неотрицательными, т.е. .

Если переменная не имеет ограничения в знаке, то её нужно представить как разность двух неотрицательных переменных: , где . Такую подстановку следует использовать во всех ограничениях, содержащих эту переменную, а также в выражении для целевой функции.

Если такая переменная попадает в оптимальное решение, то

.

Целевая функция:

Подлежит максимизации или минимизации.

Система ограничений в виде равенств и неравенств образует выпуклое множество - выпуклый многогранник. Это множество может быть ограниченным и неограниченным. Целевая функция задачи линейного программирования также является выпуклой функцией. Таким образом, задача линейного программирования является частным случаем задачи выпуклого программирования.

Рассмотрим систему ограничений задачи линейного программирования в виде равенств

 (1)

Система (1) линейных уравнений совместна, если она имеет, по крайней мере, одно решение. Система (1) называется избыточной, если одно из уравнений можно выразить в виде линейной комбинации остальных.

В системе (1) число переменных (неизвестных  n больше, чем число ограничений m. Будем считать, что ранг этой системы равен m (система неизбыточна) и что система (1) совместна. Тогда m переменных из общего их числа образуют базисные переменные, а остальные  переменных называют небазисными. Если система уравнений имеет решение, то она имеет и базисное решение. Решение системы уравнений (1) называют допустимым, если все его компоненты неотрицательны. Если система линейных уравнений обладает допустимым решением, то она имеет и базисное допустимое решение. Совокупность всех допустимых решений системы (1) есть выпуклое множество, т.е. множество решений задачи линейного программирования выпукло. Так как это множество образовано плоскостями (гиперплоскостями), то оно имеет вид выпуклого многогранника. Базисное допустимое решение соответствует крайней точке выпуклого многогранника (его грани или вершине). Если существует оптимальное решение задачи линейного программирования, то существует базисное оптимальное решение.

Целевая функция задачи линейного программирования есть уравнение плоскости (или гиперплоскости для числа переменных больше трех). Максимальное или минимальное значение целевая функция задачи линейного программирования достигает либо в вершине выпуклого многогранника, либо на одной из его граней. Таким образом, решение (решения) задачи линейного программирования лежит в вершинах выпуклого многогранника и для его нахождения надо вычислить значения целевой функции в вершинах выпуклого многогранника, определяемого условиями-ограничениями задачи.

Решение задачи линейного программирования графическим методом.

Трудность построения математической модели заключается в идентификации переменных и последующем представлении цели и ограничений в виде математических функций этих переменных. Если модель содержит только две переменные, то задачу линейного программирования можно решить графически. В случае трёх переменных графическое решение становится менее наглядным, а при большем значении переменных – даже невозможным. Однако графическое решение позволяет сделать выводы, которые служат основой для разработки общего метода решения задачи линейного программирования.

Первый шаг при использовании графического метода заключается в геометрическом представлении допустимых решений, т.е. построении области допустимых решений (ОДР.), в которой одновременно удовлетворяются все ограничения модели. При получении графического решения переменная  откладывается по горизонтальной оси, а  – по вертикальной. При формировании ОДР необходимо предотвратить получение недопустимых решений, которые связаны с необходимостью выполнения условия неотрицательности переменных. Перед построением необходимо определить квадранты, в которых будет располагаться ОДР. Квадранты определяются знаками переменных  и . Условия неотрицательности переменных  и  ограничивают область их допустимых значений первым квадрантом. Если переменная  не ограниченна в знаке, то область ограничивается первым и вторым квадрантом, если , то – первым и четвёртым квадрантом. Другие границы пространства решений на плоскости ,  изображены прямыми линиями, построенными по уравнениям ограничений при условии замены знака  на знак "=". При этом необходимо учитывать следующее: правые части всех ограничений должны быть неотрицательными . Если какое-нибудь ограничение < 0, то необходимо коэффициенты соответствующего ограничения слева и справа до-множить на "-1" и изменить знак неравенства данного ограничения на противоположный. Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указываются стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных.

В результате построений получается многоугольник, который определяет пространство решений. Если одно из ограничений имеет знак "=", то ОДР вырождается в отрезок.

В каждой точке, принадлежащей области или границам многоугольника решений, все ограничения выполняются, поэтому все решения, соответствующие этим точкам, являются допустимыми. Пространство решений содержит бесконечное число таких точек, несмотря на это, можно найти оптимальное решение. Для этого необходимо построить в плоскости переменных , градиент целевой функции. Определение оптимальной точки зависит от той задачи, которую необходимо решить.

Если в целевой функции определена задача максимизации, то оптимальная точка будет располагаться в направлении увеличения градиента, если задача минимизации – то в направлении уменьшения градиента целевой функции. Для определения оптимальной точки будем перемещать целевую функцию в направлении увеличения (уменьшения) градиента до тех пор, пока она не сместиться в область недопустимых решений.

После нахождения оптимальной точки пространства решений определяют её координаты ,и значение целевой функции  в ней. Правильность выбора оптимальной точки можно проверить расчётом целевой функции в вершинах многогранника решений. В ЗЛП область допустимых решений всегда является выпуклым множеством, т.е. таким множеством, что наряду с любыми двумя точками, принадлежащими этому множеству, этому же множеству принадлежит и отрезок, соединяющий эти две точки. Любая функция наискорейшим образом увеличивается в направлении своего градиента.

Решение задачи линейного программирования симплекс-методом.

Прямая задача.

Рассмотрим задачу линейного программирования в канонической форме:

Найти максимум (минимум) функции  при условиях

Предполагается, что решение этой задачи существует. Чтобы найти оптимальное решение, надо найти допустимые базисные решения, а из них выбрать оптимальное базисное решение.

Симплекс – метод – это алгебраический метод решения задач линейного программирования. В процессе вычислений производиться последовательный обход вершин многогранника решений (ОДР.) с проверкой в каждой вершине условий оптимальности. При этом каждый переход в смежную вершину сопровождается улучшением целевой функции.

Вычислительные процедуры симплекс - метода.

При графическом методе решения ЗЛП оптимальному решению соответствует всегда одна из угловых (экстремальных) точек пространства решений. Это результат положен в основу построения симплекс-метода. Симплекс-метод не обладает наглядностью геометрического представления пространства решений.

Симплекс-метод реализует упорядоченный процесс, при котором, начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки, осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой, пока не будет найдена точка оптимального решения.

Обозначим: – общее количество переменных в ЗЛП, представленной в канонической форме;  - количество исходных переменных;  - количество ограничений,  - количество дополнительных переменных, тогда .

Каждая вершина многогранника решений имеет  - ненулевых переменных и () - нулевых переменных.

Ненулевые переменные называются базисными, нулевые переменные – небазисными.

Дополним систему равенств равенством целевой функции, при этом будем считать, что  является  базисной переменной, которая всегда присутствует в базисе для любой вершины.

Для получения решения составляется начальный допустимый базис, в котором базисные переменные должны быть представлены в виде единичных орт. Это означает, что уравнения, представляющие данную вершину должны включать каждую базисную переменную только в одной строке с коэффициентом, равным 1.

При выборе начального допустимого базиса для составления симплекс-табли-цы на первом шаге СТ(0) исходные  переменные приравниваются к нулю и являются небазисными, среди введённых дополнительных переменных выбираются переменные с коэффициентами равными единице. Переменные  в равенствах (2) - (4) являются базисными и в  - строку входят с коэффициентами, равными 0. Для заполнения симплекс-таблицы необходимо целевую функцию преобразовать к виду . Таким образом, окончательно получаем:

(1)

(2)

(3)

(4)

При составлении симплекс-таблицы придерживаются следующих правил:

в крайнем левом столбце располагаются базисные переменные и ;

в крайнем правом столбце располагаются правые части ограничений;

в первой строке располагаются переменные в определённом порядке:

сначала , потом небазисные переменные, базисные переменные располагаются в последних  столбцах перед правой частью (ПЧ). Запишем коэффициенты в СТ(0):

							ПЧ
	1	-	-	0	0	0	0
	0			1	0	0
	0			0	1	0
	0			0	0	1

Оптимальность любой из вершин определяется коэффициентами при небазисных переменных в  – строке текущей симплекс-таблицы:

Для задачи максимизации данная вершина является оптимальной, если все коэффициенты при небазисных переменных в  – строке являются неотрицательными (>0);

Для задачи минимизации данная вершина является оптимальной, если все коэффициенты при небазисных переменных в – строке являются неположительными (< 0).

Если в задаче максимизации (минимизации) у одной небазисной переменной в  – строке коэффициент <0(>0), то текущая точка не является оптимальной и необходимо изменить базис. Для этого выбирают небазисную переменную, имеющую максимально отрицательный (положительный) коэффициент в  – строке. Выбранная небазисная переменная будет включаться в новый базис, поэтому называется включаемой переменной. Базисная переменная, которая будет выведена из базиса, называется исключаемой переменной.

Исключаемой переменой будет та базисная переменная, которая первой обратится в "0" при переходе в смежную вершину после ввода включаемой переменной.

Столбец включаемой переменной будем называть разрешающим столцом.

Строку исключаемой переменной будем называть разрешающей строкой.

Пересечение разрешающего столбца и строки определяют разрешающий элемент (РЭ).

Чтобы определить исключаемую переменную необходимо:

разделить правые части всех базисных переменных (кроме  - строки) на соответствующие положительные коэффициенты разрешающего столбца;

выбрать из полученных отношений наименьшее.

Делить на "0" и отрицательную величину нельзя, т. к. это приводит к отсутствию пересекающейся вершины или к вершине вне ОДР.

Для перехода в смежную вершину необходимо сформировать матрицу перехода B(0), которая определит связь между СТ(0) и СТ(1): СТ(1) = В(0) СТ(0).

Для произвольной квадратной матрице размерности n, имеющей в качестве (n - 1) столбца единичные орты, расположенные в соответствии с единичными ортами единичной матрицы, и одного произвольного столбца с ненулевым элементом на главной диагонали, обратная матрица находится по следующему правилу:

Каждый элемент j – столбца делится на РЭ и меняет знак на противоположный, кроме разрешающего элемента.

Искусственный начальный базис. М – метод.

Если исходное ограничение записано в виде равенства "=" или имеет знак "", то нельзя сразу получить допустимое начальное базисное решение, т. к. при записи задачи в стандартной форме, после введения дополнительных переменных может получиться вариант, когда полученные уравнения не позволяют сформировать начальный допустимый базис в виде единичных орт.

В этом случае для нахождения начального допустимого базиса вводятся дополнительно искусственные переменные . Искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, их введение допустимо только в том случае, если соответствующая схема вычислений будет обеспечивать получение оптимального решения, в котором все искусственные переменные окажутся равными нулю.

Переменные R определяют начальный допустимый базис с точки зрения возможного дальнейшего перехода в одну из вершин ОДР. За использование искусственных переменных в целевой функции вводится штраф М. В задаче максимизации М отрицательное (М<<0), в задаче минимизации М положительное (М>>0).

Свойство М: При сложении (вычитании) с любой конечной величиной , определяющей любое значение, которое может принимать каждая из переменных исходной ЗЛП, её значение (переменной М) не меняется, а именно,

 

При составлении начальной симплекс-таблицы все переменные начального допустимого базиса (дополнительные и искусственные) должны располагаться в последних m столбцах перед правой частью.

Алгоритм получения оптимального решения: