Операции с числами

3.1.2 Операции с числами

Используется тандартная запись,как для большинства математических операций, такие как "*" для умножения, "+" для сложения и "mod" для модульного сокращения.

 Некоторые менее стандартной нотации определяются здесь.

 a^i: целое растущее до i-той мощности.

 ceil(x): минимальное целое больше равное x.

 начало(n): самое большое простое число менее чем 2^n.

 Простые числа использованные в UMAC:

3.1.3 Преобразовательные действия для строк и чисел.

Преобразование между строками и целыми сделаны используя следующие функции. Каждая функция рассматривает начальные биты как более значимые чем те что идут позже

bit(S,n): Возвращает целому 1 если n-th бит строки равен S - 1, в противном . случае возвращает целое 0 (индексы начинаются с 1).

 str2uint(S): Неотрицательное целое, чье бинарное представление является . трокой S. Более формально :

 S is t bits long then str2uint(S) = 2^{t-1} *

 bit(S,1) + 2^{t-2} * bit(S,2) + ... + 2^{1} *

 bit(S,t-1) + bit(S,t).

 uint2str(n,i): и-тый байт строки, например str2uint(S) = n.

3.1.4 Математические операции в строках

Одно из первичных действий в UMAC – повторение применения операций сложения и умножения в строках. Действия "+_32", "+_64", и "*_64" определены:

 "S +_32 T" as uint2str(str2uint(S) + str2uint(T) mod 2^32, 4),

 "S +_64 T" as uint2str(str2uint(S) + str2uint(T) mod 2^64, 8), and

 "S *_64 T" as uint2str(str2uint(S) * str2uint(T) mod 2^64, 8).

Эти операции отлично выполняются на современных компьютерах.

3.2 Алгоритм UHASH

Вход:

 K, строка длиной KEYLEN байт.

 M, строка длиной меньше чем 2^67 бит.

 taglen, числа 3,4, 8, 12 or 16.

Выход:

 Y, строка длиной taglen байт.

 Вычисление Y использует следующий алгоритм:

 //

 // одна целая итерация за 3 байта для выхода

 //

 iters = taglen / 3

 //

 // определим общее число требуемых ключей при помощи KDF.

 // L1Key reuses most key material between iterations.

 //

 L1Key = KDF(K, 1, 1024 + (iters - 1) * 16)

 L2Key = KDF(K, 2, iters * 24)

 L3Key1 = KDF(K, 3, iters * 64)

 L3Key2 = KDF(K, 4, iters * 4)

 //

 // Для каждой итерации устанавливаем свой ключ и делаем трехслойный hash.

 // If bytelength(M) <= 1024, then skip L2-HASH.

 //

 Y = <пустая строка>

 Для i = 1 to iters do

 L1Key_i = L1Key [(i-1) * 16 + 1 ... (i-1) * 16 + 1024]

 L2Key_i = L2Key [(i-1) * 24 + 1 ... i * 24]

 L3Key1_i = L3Key1[(i-1) * 64 + 1 ... i * 64]

 L3Key2_i = L3Key2[(i-1) * 4 + 1 ... i * 4]

 A = L1-HASH(L1Key_i, M)

 Если (bitlength(M) <= bitlength(L1Key_i)) тогда,

 B = zeroes(8) || A

 иначе получим

 B = L2-HASH(L2Key_i, A)

 а если

 C = L3-HASH(L3Key1_i, L3Key2_i, B)

 Y = Y || C

 end for

 Return Y

4. Стойкость алгоритма к атакам.

В соответствии с MAC спецификой, документ является защищенным. Здесь мы описываем некоторые соображения по безопасности важные для соответствующего понимания и использования UMAC.

4.1Сопротивление в Криптанализе

Сила UMAC зависит от силы своих основных шифровальных функций: ключевой вывод функции (KDF) и панель-вывода функции (PDF). В этой спецификации, оба действия осуществлены используя блочный шифр, по умолчанию Передовой Шифровальный Стандарт (AES). Тем не менее, проект UMAC учитывает замену этих компонентов. На самом деле, возможно даже использовать другое блочное кодирование или другие шифровальные объекты, как например, SHA-1 или HMAC для реализации KDF или PDF.

Сердцевина проекта UMAC, функция UHASH, не зависит от шифровальных предположений: сила определена чисто математической собственностью установленной с точки зрения вероятности столкновения, и эта собственность доказывается безусловно. Это означает что сила UHASH гарантирована независимо от авансов в криптанализе.

Анализ UMAC показывает эту схему, чтобы иметь доказуемую безопасность, в смысле современной криптографии, посредством плотных уменьшений. Какие эти средства - то, что соперническая атака на UMAC, которая подделывается с вероятностью, которая значительно превышает установленную вероятность столкновения UHASH вызовет атаку сравнимой сложности. Эта атака сломает блочный шифр, в смысле отличительный блочный шифр из семейства произвольных перестановок. Этот проектый метод по существу избегает потребности в криптанализе на UMAC: как подразумевается криптоаналитические меры могли сфокусироваться в блочном шифре.

4.Повторная атака взломщика, повторяющего сообщение, nonce, и этикетку аутентификации. Во многих приложениях, посторная атака может окончательно повредить сообщение, поэтому должна иметь препятствия. В UMAC, это должно быть реализовано при получении собщения, получатель проверяет, что никакая «nonce» величина не используется дважды. При надежной связи, когда «nonce» - счетчик, это тривиально. При ненадежной связи, когда «nonce» - счетчик, в окне происходит кэширование последних «nonces». Поврежденное сообщение не запустится ,т.к. выдастса ошибка в противном случае этикетки аутентификации правильные.

 Сообщение дойдет до получателя, когда данныйе (сообщение, nonce, этикетка) посчиталсись подлиными. Несомненно, этикетка должна быть в силе для сообщения и для «nonce», как определено в UMAC, но сообщение может все еще посчитаться неаутентифицированным, поскольку «nonce» будет повторен.