Чисельне інтегрування та наближення функцій поліномами вищого порядку

Міністерство освіти і науки України

Житомирський державний технологічний університет

Кафедра ТМ та КТС

Група ЗІМ 03-1т

Курсова робота

з інформатики

на тему: «Чисельне інтегрування. НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ ВИЩОГО ПОРЯДКУ»

Житомир

Зміст

Завдання № 1. – Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона

Завдання № 2. – Знаходження коренів рівняння методом Ньютона Завдання № 3,4. – Наближення функцій поліномами вищого порядку Завдання № 5. – Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера

Завдання № 1

Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона

Розрахувати за допомогою формул трапецій та Сімпсона значення інтегралу від функції y=f(x)= a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a ₄x⁴+a₅x⁵ з точністю до п’ятого знака. Визначити похибки розрахунків для різних значень n – e8 та e4

 

Вихідні дані:

Варіант	a0	a1	a2	a3	a4	a5
2	1	0.9	0.8	0.7	0.5	2.3

 

Реалізація у MS Excel:

Хід виконання:

Визначений інтеграл чисельно рівний площі криволінійної трапеції, яка описується кривою y = f(x), віссю х та двома прямими, паралельними осі ординат x = a, x = b. Тому знаходження розв’язку інтеграла є визначення відповідної площі.

Розіб’ємо відрізок [a, b] = [0, 1] на n=16 рівних елементарних трапецій із площами s. Величину D, що дорівнює основі кожної із елементарних трапецій, позначимо буквою h і називатимемо кроком квадратурної формули, який визначається з формули

Таким чином, шукана формула трапецій має вигляд

де c_j = 1,2,2,2,….2,1.

Для формули парабол (Сімпсона) замість двох прямолінійних трапецій розглядається одна трапеція, яка обмежена параболічною дугою

Елементарна площа визначається інтегралом

Враховуючи, що

Отримаємо формулу парабол (Сімпсона)

де c_j = 1, 4, 2, 4, 2,…..2, 4, 1.

У формулі трапецій n є довільним числом, у формулі Сімпсона воно повинно бути парним.

Завдання № 2 Знаходження коренів рівняння методом Ньютона

Визначити всі дійсні корені поліному P(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a3x³ за допомогою методів Ньютона (дотичних) та методу „січних”. Результати розрахунків звести у таблицю.

 

Вихідні дані:

Варіант	a0	a1	a2	a3
2	1,3	-7	-4	-4

Реалізація у MS Excel:

Хід виконання:

1. Будуємо графік заданої функції та визначаємо з нього приблизне значення кореня х_{0 ≈} 0,17

2. Проводимо уточнення коренів за методом Ньютона та січних з точністю e=10^-5 .

В розрахунках наближене значення похідної знаходиться за формулою:

При уточненні коренів рівняння методом Ньютона користуємось наступними формулами:

Чергове k-е наближення:

В якості малої величини беремо задану точність обчислень , тоді розрахункова формула має вигляд:

При уточненні коренів рівняння методом січних користуємось наступними формулами:

Для першого наближення:

Для подальших наближень:

Завдання № 3,4

Наближення функцій поліномами вищого порядку

Функція y=f(x) задана таблицею значень  у точках . Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен найменшого середньоквадратичного наближення оптимальної степені m=m*. За оптимальне значення m* прийняти ту степінь многочлена, починаючи з якої величина стабілізується або починає зростати.

Вихідні дані:

Варіант 2
x	0	0,375	0,563	0,75	1,125	1,313	1,5	1,690	1,875	2,063	2,25	2,438	2,625	2,813	3
y	4.568	3,365	2,810	2,624	0,674	0,557	0,384	-0,556	-1,44	-1,696	-1,91	-2,819	-3,625	-3,941	-4,367

Хід виконання:

1. Задаємо вектори x та y вихідних даних.

2. Використовуючи метод найменших квадратів, знаходимо многочлени Pm, m = 0,1,2... Розраховуємо відповідні їм значення .

3. Будуємо гістограму залежності від m, на основі якої вибратємо оптимальну степінь m* многочлена найкращого середньоквадратичного наближення.

4. На одному графіку будуємо многочлени P_m, m = 0,1,2,..., m*, і точковий графік вихідної функції.

Реалізація у MS Excel:

Визначаємо матрицю Х як суму відповідних х_і у відповідних степенях та у_і*х_і^j

За допомогою отриманих даних, будуємо, для полінома кожної степені, відповідну матрицю Х:

Визначаємо обернені матриці Х^-1 до відповідних матриць Х, використовуючи вбудовану функцію Excel МОБР(....).

Визначаємо коефіцієнти відповідних поліномів, для чого визначаємо добуток матриць Х^-1 та B, використовуючи вбудовану функцію МУМНОЖ(....).

Використовуючи визначені коефіцієнти поліномів а_і, визначаємо значення даних поліномів у кожній точці х_і.

Будуємо графік отриманих поліномів та вихідних даних: вихідні дані – точковий графік, розрахункові дані – лініями різного типу.

Визначаємо величину для кожного полінома та будуємо гістограму:

Вже по побудованій гістограмі можна робити висновки про оптимальність степені полінома для апроксимації вихідних даних (мінімальне значення , але визначимо мінімум за допомогою функції МИН(...) . І по отриманому значенню робимо висновок про оптимальну степінь апроксимуючої функції

Завдання № 5

Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера

Використовуючи метод Ейлера, скласти на відрізку [а, b] таблицю значень інтегралу диференційного рівняння y' = f (x, y), що задовольняє початковим умовам (x₀, y₀), вибираючи крок інтегрування h, де

y(x_i+h)=y(x_i)+h·y'(x_i)

Розв’язати попереднє диференційне рівняння y' =f(x, y) вдосконаленим методом ломаних та вдосконаленим методом Ейлера-Коші.

Вихідні дані:

 

Варіант	h	[a, b]	(x0, y0)
2	0,2	[0;1]	(0;1)

Реалізація у MS Excel:

Графіки розрахованих даних: