Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

ПЕДАГОГІЧНА ПРАКТИКА

Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики

на тему

"Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Зміст

Вступ

1. Постановка задачі наближеного інтегрування

2. Чисельні методи інтегрування

2.1 Метод прямокутників

2.2 Метод трапецій

2.3 Метод Симпсона

2.4 Практичне порівняння точності методів наближеного обчислення інтегралів 3-ма методами

3. Графічне інтегрування

Список використаної літератури

Вступ

Актуальність теми контрольної роботи полягає в тому, що при розв’язанні низки математичних, фізичних або технічних задач застосовуються визначені інтеграли від функцій, первісні функції яких не виражаються через елементарні функції. Крім того, в окремих задачах доводиться мати справу з визначеними інтегралами, у яких самі підінтегральні функції не являються елементарними. Це приводить до необхідності розробки наближених методів обчислення визначених інтегралів.

Об’єктом роботи є визначені інтеграли, які не можуть бути представлені у вигляді комплексу елементарних функцій.

Предметом роботи є методи наближеного обчислення визначених інтегралів, первісна яких не може бути представлена у вигляді комплексу елементарних функцій.

Метою роботи є аналіз умов використання та оцінки похибок обчислень при застосуванні найбільш уживаних методів наближеного обчислення визначених інтегралів:

метод прямокутників;

метод трапецій;

метод Симпсона або метод парабол;

методів графічного інтегрування.

Інформаційною базою досліджень контрольної роботи є математичні монографії та учбові посібники з вищої математики по курсу „Методи обчислень" з взяттям за основу курсу учбового посібника Бойко Л.Т. „Основи чисельних методів: навч. посібник." - Дніпропетровськ: Вид-во ДНУ, 2009.

1. Постановка задачі наближеного інтегрування

Під чисельним інтегруванням розуміють наближене обчислення визначених інтегралів.

Якщо для функції , визначеної на відрізку , можно знайти первісну функцію, то визначений інтеграл розраховується за формулою функціонального інтегрування (1.1) [6]:

 (1.1)

Якщо підінтегральна функція  має складний аналітичний вираз, або задана таблично, то звичайні методи інтегрування, які вивчаються в математичному аналізі, непридатні, оскільки неможливо побудувати первісну. Тому доводиться обчислювати інтеграли наближено. Формули наближеного обчислення інтегралів називаються квадратурними формулами. Ці формули міняють оператор інтегрування на оператор сумування. Виникаюча при такій заміні похибка називається похибкою квадратурної формули.

Задача чисельного інтегрування функцій полягає в обчисленні визначеного інтеграла за значеннями інтегруємої функції в ряді точок відрізка інтегрування. Функцію  заміняємо інтерполюємою функцією , а потім приблизно припускаємо [4]:

 (1.2)

Функція  повинна бути такою, щоб інтеграл  обчислювався безпосередньо. Якщо  задана аналітично, то ставимо питання про оцінку похибки формули (1.2).

В загальному вигляді задача чисельного інтегрування може бути викладена наступним чином [1]. Нехай інтеграл, який потрібно визначити, представлено у вигляді

 (1.3)

Підінтегральна функція в формулі (1.3) є такою, що не дозволяє в функціональному вигляді отримати первісну функцію.

Цей інтеграл обчислюємо за наближеною квадратурною формулою:

 (1.4)

де: функція  - визначена і неперервна на інтервалі ;

 - вагова функція, яка може мати якісь особливості на відрізку

інтегрування, наприклад, перетворюватись у нескінченість в

деяких точках цього відрізка.

 - квадратурні коефіцієнти;

 - квадратурні вузли ();

n - довільне число інтервалів всередині відрізку [a,b].

Сума, що стоїть у правій частині наближеної рівності (1.4), називається квадратурною сумою.

Параметри , вибирають так, щоб або похибка квадратурної формули була по можливості мінімальною, або обчислення за формулою (1.4) були достатньо простими. Різні квадратурні формули відрізняються одна від одної способами вибору параметрів ,.

Більшість квадратурних формул базується на заміні підінтегральної функції  алгебраїчними багаточленами різного степеня.

Означення: Кажуть, що квадратурна формула (1.4) має алгебраїчний степінь точності , якщо ця наближена формула стає точною на множині всіх алгебраїчних багаточленів не вище -ого степеня.

Це означає, що якщо до наближеної формули (1.4) замість функції  підставити будь-який алгебраїчний багаточлен -ого степеня, то наближена рівність (1.4) стає точною, тобто

  (1.5)

Але при цьому наближена рівність (1.4) не для всіх багаточленів степеня  буде точною.

Алгебраїчний степінь точності квадратурної формули є мірою точності цієї формули. Оскільки будь-яку неперервну функцію  можна як завгодно точно наблизити алгебраїчними багаточленами (за рахунок збільшення степеня багаточлена), то слід очікувати, що квадратурні формули, які мають високий алгебраїчний ступінь точності, будуть мати високу точність для будь-яких неперервних функцій .

Параметри , можна вибрати так. щоб зробити алгебраїчний ступінь точності квадратурної формули якомога вищим. Такі формули називаються квадратурними формулами найвищого степеня точності. Вперше вони були розглянуті Гауссом і тому їх часто називають формулами гауссового типу.

Якщо вузли  вибрати з міркувань зручності (рівномірно розташованими ,), а коефіцієнти  - з міркувань точності, то у випадку  отримаємо квадратурні формули Ньютона - Котеса [2].

Якщо вузли  вибрати з міркувань точності, а коефіцієнти  - з міркувань зручності (всі коефіцієнти однакові), то добудемо квадратурні формули, що носять ім’я Чебишова [2].

Обгрунтування інтерполяційних квадратурних формул будується на наступних висновках [1].

Нехай на відрізку інтегрування якось зафіксовані різні між собою вузли , і будемо вибирати лише коефіцієнти  () так, щоб формула (1.4) була якомога точнішою. Припускаємо, , тобто функія  і всі її похідні до  порядку включно є неперервними на відрізку . Візьмемо квадратурні вузли як вузли інтерполяції (оскільки вони всі з відрізку інтегрування та всі різні між собою), та побудуємо інтерполяційний багаточлен  для функції . Будемо мати таку рівність

 (1.5)

 (1.6)

 (1.7)

 (1.8)

Розглянемо тепер інтеграл від функції

 (1.9)

підставимо (1.6), (1.7), (1,8) до формули (1.9)

 (1.10)

Якщо позначити

 (1.11)

 (1.12)

то інтеграл (1.10) можна переписати у вигляді

 (1.13)

Відкинувши у (1.13) похибку , добудемо наближену формулу (1.4).

Означення. Квадратурна формула (1.4) будемо називати інтерполяційною, якщо квадратурні коефіцієнти , визначаються формулами (1.11). Нагадаємо, що квадратурні вузли при цьому всі різні та всі розташовані на відрізку інтегрування, в усьому іншому вони довільні.

Формула (1.12) визначає похибку інтерполяційної квадратурної формули. З похибки видно, що алгебраїчний степінь точності інтерполяційної квадратурної формули дорівнює . Збільшити степінь точності можна лише за рахунок вибору вузлів .

Квадратурні формули при сталій ваговій функції та з рівновіддаленими вузлами називають формулами Ньютона-Котеса у пам’ять того, що вперше вони в достатньому загальному вигляді були розглянуті Ньютоном, коефіцієнти вперше були добуті Котесом  [4].

Кінечний відрізок інтегрування  ділимо на  рівних частин довжини , точки ділення беремо за вузли інтерполяційної формули. Спростимо вигляд квадратурних коефіцієнтів ,, які визначаються формулою (1.11), підставивши туди

,.

Крім того перейдемо до нової змінної інтегрування , де

Для виконання всіх цих дій спочатку розглянемо добуток у формулі (1.11)

 (1.14)

Підставимо добуток (1.14) до формули (1.11) та перейдемо до нової змінної, будемо мати

 (1.15)

Де

 (1.16)

Квадратурна формула Ньютона-Котеса приймає вигляд

 (1.17)

Алгебраїчна степінь точності формули (1.17) дорівнює . Коефіцієнти (1.16) називаються коефіцієнтами Котеса. Вони мають властивості:

. Дійсно, підставимо до формули (1.17) , тоді , при цьому наближена формула стає точною. Виконуємо інтегрування властивість доведена.

, тобто рівновіддалені від кінців коефіцієнти формули Ньютона -Котеса є однаковими. Дійсно, маємо з формули (1.16)

Зробимо заміну змінної інтегрування тоді

В добутку перейдемо до нового індексу  і властивість доведена

3. Коефіцієнти  не залежать від довжини відрізка інтегрування та підінтегральної функції, тому вони можуть бути обчислені раз і назавжди

В залежності від вибраного параметра n отримана загальна форма квадратурних рівнянь розподіляється на випадки [6]:

1) Коли , то застосовуєма форма квадратурних рівнянь називається - „квадратурна формула трапеції”;

2) Коли , то застосовуєма форма квадратурних рівнянь називається - „квадратурна формула Симпсона”;

3) Коли , формула (1.19) не застосовується, оскільки значення не визначені, тому застосовується особливий випадок „квадратурної формули прямокутників (ліві, праві, центральні) ".

2. Чисельні методи інтегрування

 

2.1 Метод прямокутників

Нехай є відрізок  і нам треба обчислити визначений інтеграл

 

 ⁽2.1 1)

за попередньо представленою загальною квадратурною формулою Н’ютона - Котеса (1.4)

 ⁽2.1 2)

де  - деякі фіксовані вузли

Найпростіший варіант інтерполяційної квадратурної формули (2.1 2) виникає, коли  [1]. У цьому випадку не можна скористатися формулою (1.20), бо коефіцієнт (1.19) при  невизначений. Тому, як і при побудові загальної інтерполяційної формули, замінимо підінтегральну функцію інтерполяційним багаточленом нульового степеня, що побудований за єдиним вузлом .

 (2.1 3)

при заміні підінтегральної функції (2.1 2) інтерполяційним поліномом нульового степеня, що побудований по єдиному вузлу

 ⁽2.1 3)

Знайдемо коефіціент

 (2.1 4)

Після інтегрування маємо квадратурну „формулу прямокутника”:

, (2.1 5)

При її називають формулою лівих прямокутників,

При її називають формулою правих прямокутників,

При - центральних (або середніх) прямокутників.

Геометричне тлумачення цієї формули показано на рис 2.1

Рис.2.1 Геометричне зображення „формули прямокутників"

Оцінимо похибку  квадратурної формули (2.1 5) за умови, що . За означенням похибки квадратурної формули (2.1 5) маємо

 (2.1 6)

Функцію  запишемо у вигляді розвинення в ряд Тейлора в околі точки  [7]:

 (2.1 7)

Проінтегруємо обидві частини рівності (2.1 7) по відрізку

 (2.1 8)

Тепер підставимо інтеграл (2.1 8) в (2.1 6)

 (2.1 9)

Тепер розглянемо конкретні варіанти вибору точки

При  (праві прямокутники):  (2.1 10)

При  (ліві прямокутники):  (2.1 11)

При - (центральні прямокутники):  (2.1 12)

З формул (2.1 10), (2.1 11), (2.1 12) видно, що алгебраїчний степінь точності формули центральних прямокутників на 1 вище ніж лівих або правих.

Якщо довжина відрізку велика, то формули прямокутників мають невисоку точність. У цих випадках краще користуватися сумарними формулами прямокутників. Для цього розіб‘ємо відрізок на рівних частин з кроком . Інтеграл шукаємо як суму інтегралів по всіх цих відрізках, тобто

 (2.1 13)

На кожному відрізку інтеграл обчислюємо, користуючись однією з квадратурних формул прямокутників. Розглянемо окремі випадки.

1. „Ліві прямокутники"

. (2.1 14)

В останній формулі (2.1 14) враховано не тільки наближені значення інтегралів за формулою (2.1 5), але й залишки за формулою (2.1 9). Тепер в правій частині цієї рівності запишемо окремо суму наближених значень інтегралів та суму залишків

 (2.1 15)

Приймемо до уваги неперервності функції  на . Нехай

тоді існує така точка _, що буде вірною рівність

Тепер з формули (2.1 15) маємо остаточно узагальнену формулу „лівих прямокутників”:

 (2.1 16)

та похибку цієї формули

 (2.1 17)

Геометричне зображення „формули лівих прямокутників" наведене на рисунку (2.2)

Рис.2.2 Геометричне зображення „формули лівих прямокутників"