Численные методы расчетов в Exel

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

 

Северо-Западный государственный заочный

технический университет

 

Институт управления производственными и

инновационными программами

 

Кафедра информатики

 

Контрольная работа по дисциплине

 «Математика. Часть 2.»

 

Тема:  “ Численные методы и расчеты в EXCEL.”

Задача 1. Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.

Анализ и прогнозирование в EXCEL.

Задача 2. Решение систем уравнений в EXCEL.

Задача 3. Комплексные числа.

 

Выполнила студентка: Шестакова Мария Дмитриевна

ИУПиИП

Курс: II

Специальность: 80502.65

Шифр: 578030493

Преподаватель: Ходоровская Валентина Сергеевна

Подпись преподавателя:

Санкт-Петербург

2007

Тема .

 

Численные методы и расчеты в EXCEL.

Задача 1.

Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.

Анализ и прогнозирование в EXCEL.

I. Написать выражение для интерполяционного полинома Ньютона.

II. Составить программу для вычисления значения функции в заданных точках

x₁  ; x₂  ; x₃ ; x₄  :

1) при помощи полинома Ньютона для реализации ее в EXCEL ;

2) при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений

 (ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).

Функция задана таблицей с равноотстоящими узлами:

x	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40	0.45	0.50	0.55	0.60
y	0.860	0.819	0.779	0.741	0.705	0.670	0.638	0.606	0.577	0.549
Значения			x1  = 0.149		x2  = 0.240		x3  = 0.430		x4 = 0.560

Основные понятия.

Цель работы: научиться пользоваться программой EXCEL для получения аналитической зависимости по экспериментальным данным и изучение режимов экстраполяции данных в EXCEL.

Задача интерполяции сводится к требованию точного совпадения в узловых

точках функции и ее приближения, где число определяемых параметров аппроксимирующей зависимости равно числу точек. При выборе данного критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов (полиномов).

По определению интерполяция — это отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Само слово интерполяция происходит от латинского “interpolation”, что в переводе значит “изменение, переделка”.

Экстраполяция — это процедура аналогичная интерполяции, но при условии, что x лежит вне интервала (x₀ , x_n) . Происходит от “экстра…” и латинского “polio”, что значит “приглаживаю, изменяю”.

Аппроксимация — это замена одних математических объектов (например, чисел или

функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным(например, кривых линий близкими к ним ломаными). Слово происходит от латинского “approximo”, что значит “приближаюсь”.

Графически задача интерполяции заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполяции. Чаще всего в качестве интерполирующей функции F (x) используются многочлены P_n (x). Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен P_n (x), обеспечивающий требуемую интерполяцию е.

Наиболее успешно для интерполяции используется полином Ньютона, для записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящими узлами используются конечные разности.

Термин  “полином” имеет то же значение, что и слово “многочлен”  и происходит от “поли…” — часть сложных слов, указывающая на множество, всесторонний охват или разнообразный состав чего-либо (от греческого “polys” – многий, многочисленный, обширный) и латинского “nomen”, т.е. имя.

Конечной разностью первого порядка называется разность:

Дy_i = yi + 1 - y_i , i = 0,1, .... , n – 1

Аналогично определяются конечные разности второго и более высоких порядков.

Интерполяционный полином Ньютона.

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде:

P_n (x) = y₀ + (x-x₀) · Дy₀ /1!h + (x-x₀)(x-x₁) · ДІy₀ /2!hІ+....+ (x-x₀)(x-x₁)…..(x-x_n-1) · Дⁿy₀ / n!hⁿ

Решение.

Выполнение задания I.

Напишем выражение для интерполяционного полинома Ньютона для экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице. Конечные разности указаны в “Приложение 2”. Из таблицы видно, что значения x являются равноотстоящими узлами, так как возрастают равномерно с шагом h = 0,05. Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей ( в данном случае их девять ).

P_n(x) = P₉(x)= y₀  + (x-x₀) Дy₀ / 1!h  +  (x-x₀) (x-x₁) ДІy₀ /2!h²+..

..+ (x-x₀)(x-x₁) (x-x₂) (x-x₃) (x-x₄) (x-x₅) (x-x₆) (x-x₇) (x-x₈) (x-x₉) Д⁹y₀ / 9!h⁹ =

0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1! · 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20) · 0,001 / 2! ·  0,05 ² +

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) · 0,001 / 3!  · 0,05 ³ +(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)  ·  (-0,001) / 4! ·  0,05 ⁴ +

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) ·  0 / 5!  · 0,05 ⁵ +

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 ⁶ +

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ·(-0,016) / 7! 0,05+

 (x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ( x- 0,50) · 0,047 / 8!  · 0,05 ⁸ +

 

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) (x- 0,50) (x- 0,55) · (-0,119) / 9! · 0,05 ⁹.

Выполнение задания II.

 

1)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона.

Шаг первый:

Подготовка исходных данных электронной таблицы в EXCEL:

а) Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1 : N4).

б) Введем номера по порядку в ячейки A5 : A14.

в) Введем исходные данные в ячейки B5 : C14.

Таким образом подготовлена таблица для выполнения работы.

Шаг второй:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления конечных разностей первого порядка:

а.1) в ячейку D5 введем формулу для вычисления Дy_{0 =} y₁ – y₀, которая примет вид: =C6–C5;

a.2) копируем эту формулу в ячейки D6 : D13. В результате в ячейке D6

получаем формулу =C7-C6 (т.е.Дy₁ =y₂ - y₁ = 0,779 – 0,819 = -0,040),в ячейке D7

получаем формулу =C8-C7 (т.е. Дy₂ = y₃ – y₂ = 0,741 – 0,779= -0,038) и т.д. до ячейки D13, где

получаем формулу

=C14-C13 (т.е. Дy₈  = y₉ – y₈ = 0,549 – 0,577= -0,028)

б) Ввод формул для вычисления конечных разностей второго порядка:

б.1) в ячейку E5 копируем формулу из ячейки D5. В ячейке E5 появится формула

=D6-D5 (т.е. ДІy₀ = Дy₁ - Дy₀ = -0,040 - ( -0,041) = 0,001). Копируем эту формулу в ячейки E6 : E12.

В ячейке E12 получаем формулу =D13 - D1 (т.е. ДІy₇ = Дy₈ - Дy₇= - 0,028 - ( -0,029) = 0,001).

в) Ввод формул для вычисления конечных разностей вплоть до девятого порядка:

для вычисления всех конечных разностей необходимо ввести только одну формулу(в ячейке D5), все

остальные будут получены копированием, т.е. из ячейки E5 копируем формулу в ячейку F5, из F5 в G5 и т.д.

Отображение в режиме формул см. в “Приложении 1”.

Отображение в режиме значений см. в “Приложении 2”.

Шаг третий:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления промежуточных коэффициентов:

а.1) для вычисления первого промежуточного коэффициента (x-x₀/1!h) в ячейку M5 введем формулу

=($N$2 - B5) / (A5 + 1) / $F$2. В ячейке N2 находится текущее значение x. При копировании  адрес этой ячейки изменять нельзя, поэтому мы используем абсолютный адрес (значок $). В ячейке F2 находится шаг интерполяции, адрес этой ячейки тоже абсолютный (значок $).

а.2) для вычисления второго промежуточного коэффициента

(x-x₀) (x- x₁)/2!hІ = (x-x₀)/1·h · (x-x₁)/ 2·h = a · b,

где  a коэффициент в ячейке M5, a = (x-x₀)/1h,

b коэффициент, на который нужно умножить M5, b = (x-x₁) / 2h,

вводим в M6 формулу: =M5*($N$2 – B6) / (A6 + 1) / $F$2.

а.3) после ввода данных в M5 и M6, для вычисления остальных промежуточных коэффициентов

копируем формулу из M6 в остальные 7 нижестоящие ячейки. Вячейке M7 мы увидим формулу:

=M6*($N$2 – B7) / (A7 + 1) / $F$2 , в ячейке M8 мы увидим формулу: =M7*($N$2 – B8) / (A8 + 1) / $F$2 и

т.д.

Шаг четвертый:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления полинома Ньютона:

а.1) для вычисления первого полинома Ньютона, который равен (x-x₀) · Дy₀ / 1!h = (x-x₀) / 1h ·Дy₀, содержимое ячейки M5 надо  умножить на содержимое ячейки  D5, где  хранятся конечные разности первого порядка. Вводим в ячейку N5 формулу =M5*D$5. Знак $ перед номером строки необходим, т.к. в полиноме Ньютона находятся только конечные разности с индексом ноль, т.е. все конечные разности берутся только из строки с номером 5;

а.2) для ввода остальных членов полинома Ньютона копируем формулу из N5 в остальные 8 нижестоящих ячеек (включительно по N13). Получаем в N6 формулу =M6*E$5, в N7 формулу =M7*F$5, в N8 формулу =M8*G$5 и т.д. до ячейки N13.

Шаг пятый:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления суммы коэффициентов полинома Ньютона:

а.1) объединим ячейки A16 : M16, затем в объединенные ячейки введем комментарий

"Сумма коэффициентов полинома”;

а.2) в ячейку N16 вводим формулу =СУММ(N5:N13). Теперь в N16 будет сумма всех членов полинома Ньютона, кроме y₀. При x = 0,149 в ячейке N16 получается число 0,001.

Шаг шестой:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления значения полинома:

а.1) объединим ячейки A18 : M18, затем в объединенные ячейки введем комментарий "Значение полинома";

а.2) в ячейку N18 вводим формулу =N16+C5.  В ячейке N18  появится число 0,861 , которое и есть значение полинома, вычисленное в точке x = 0,149

Шаг седьмой:

Вычисление сумм коэффициентов полинома и значений полинома

при  x = 0,240; x = 0,430; x = 0,560.

а) в ячейку N2 вводим 0,240. Результат:

в ячейке N16 — (-0,073); в ячейке N18 — (0.787);

б) в ячейку N2 вводим 0,430. Результат:

в ячейке N16 — (-0,209); в ячейке N18 — (0,651);

в) в ячейку N2 вводим 0.560. Результат:

в ячейке N16 — (-0,287); в ячейке N18 — (0,573).

Шаг восьмой:

Для удобства полученные данные занесем в нашу таблицу.

Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 1”. Режим значений — “Приложение 2.

2)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений (ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).

 

Экстраполяция (прогнозирование) с помощью  функции аппроксимации кривой.

Табличный процессор EXCEL предоставляет возможность аппроксимации с использованием “функций аппроксимации кривой”

Пусть в узлах x₀ , x₁, …, x _n известны значения f(x₀), f(x₁), … ,f(x _n). Необходимо осуществить экстраполяцию (прогнозирование), т.е. вычислить значения f(x _n+1), f(x _n+2), … .  

В категории Статистические функции EXCEL для этого используются две функции: ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ, осуществляющие линейную аппроксимацию кривой для данных массивов

x (x₀ , x₁ , … , x _n) и y (y₀ ,y₁ , … , y _n) методом наименьших квадратов.

Функция ТЕНДЕНЦИЯ имеет структуру:

ТЕНДЕНЦИЯ  (y массив, x массив, x список)

y массив , x массив — даны из условия.

x список -- это те значения x, для которых требуется сосчитать значения функции f(x).

Функция ПРЕДСКАЗАНИЕ имеет структуру:

ПРЕДСКАЗАНИЕ ( x; y массив; x массив)

После аппроксимации эта функция возвращает только одно прогнозируемое значение y (для одного из заданных значений аргументов.

Работа с функцией ТЕНДЕНЦИЯ.

Шаг первый:

Создадим электронную таблицу в EXCEL , используя исходные данные.

Шаг второй:

Для того, чтобы поместить результат в список итоговых ячеек C6:F6, выделим эти ячейки.

Шаг третий:

Далее необходимо щелкнуть по пиктограмме Мастер функций.

Шаг четвертый:

а) В первом окне выберем категорию Статистические, функцию ТЕНДЕНЦИЯ,

затем щелкнем по OK.

б) В окне “Известные значения y” введем адрес блока ячеек C3:L3.

в) В окне “Известные значения x” введем адрес блока ячеек C2:L2.

г) В окне “Новые значения x”  укажем адрес блока ячеек C5:F5.

Шаг пятый:

Для подтверждения этой функции одновременно нажмем клавиши SHIFT / CTRL и ENTER. В ячейках C6:F6 мы увидим прогноз.

В режиме формул:в ячейке C6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;C5)

в ячейке D6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;D5)

в ячейке E6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;E5)

в ячейке F6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;F5)

В режиме значений: в ячейке C6 — 0,8610

в ячейке D6 — 0,7951

в ячейке E6 — 0,6576

в ячейке F6 — 0,5635

Таблицы прилагаются.

Режим формул — “Приложение 3”. Режим значений “Приложение 4”.

 

Работа с функцией ПРЕДСКАЗАНИЕ.

Шаг первый:

Создадим электронную таблицу в EXCEL, используя исходные данные.

Шаг второй:

Для размещения результата активизируем ячейку С6.

Шаг третий:

а) При помощи Мастера функций вызовем функцию ПРЕДСКАЗАНИЕ,

категория Статистические.

б) В окне “x” укажем адрес ячейки C6.

в) В окне “Известные значения y” укажем адрес блока ячеек C3:L3.

г)  В окне “Известные значения x” укажем адрес блока ячеек C2:L2.

Шаг четвертый:

Для подтверждения этой функции щелкнем по OK. В ячейке C6 появится результат. Для появления результата в остальных ячейках, проделаем все то же самое, поочередно активизируя ячейки D6, E6, F6.

В результате мы увидим:

В режиме формул:

в ячейке C6 — =ПРЕДСКАЗ(C5;C3:L3;C2:L2)

в ячейке D6 — =ПРЕДСКАЗ(D5;C3:L3;C2:L2)

в ячейке E6 — =ПРЕДСКАЗ(E5;C3:L3;C2:L2)

в ячейке F6 — =ПРЕДСКАЗ(F5;C3:L3;C2:L2)

В режиме значений: в ячейке C6 — 0,8506

в ячейке D6 — 0,7877

в ячейке E6 — 0,6564

в ячейке F6 — 0,5665

Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 5”. Режим значений — “Приложение 6”.

Итоговая сравнительная таблица.

Для сравнения значений функции в точках:

x ₁ = 0,149;

x ₂ = 0,240;

x ₃ = 0,430;

x ₄ = 0,560;

полученных при помощи трех разных способов:

1     полинома Ньютона,

2     функции ТЕНДЕНЦИЯ,

3     функции ПРЕДСКАЗАНИЕ;

создадим сравнительную таблицу,

x	Значение полинома Ньютона			Прогнозирование значения функции при помощи функций:
				ТЕНДЕНЦИЯ		ПРЕДСКАЗАНИЕ
0,149	0,861	0,86*		0,861	0,86*	0,8506	0,85*
0,240	0,787	0,79*		0,795	0,80*	0,7877	0,79*
0,430	0,651	0,65*	0,658		0,66*	0,6564	0,66*
0,560	0,573	0,57*	0,564		0,56*	0,5665	0,57*

*Результаты вычислений округлены до двух знаков после запятой.

Вывод: значение функции в заданных четырех точках мы получили тремя разными способами. Для наглядности все полученные данные мы свели в итоговую сравнительную таблицу. Видно, что результаты получились не совсем одинаковые. Но однако в целом, отклонения в значениях в пределах 0,01 , что вполне допустимо для наших данных. Для того, чтобы получить более точные значения функции в определенной точке, необходимо, чтобы исходные данные были представлены более широким спектром узлов.

Задача 2.

 

Решение систем уравнений в EXCEL.

Решить заданную систему уравнений:

1) методом обратной матрицы;

 2) методом простых итераций.

0,1 x₁ + 4,6 x₂ + 7,8 x₃ = 9,8

2,8 x₁ + 6,1 x₂ + 2,8 x₃ = 6,7

4,5 x₁ + 5,7 x₂ + 1,2 x₃ = 5,8

Цель работы: научиться решать в EXCEL системы конечных уравнений методом обратной матрицы и простых итераций.

Основные понятия.

Уравнение — это математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения данных функций равны. Аргументы, от которых зависят функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, называются решениями (корнями).

Матрица — это прямоугольная таблица каких-либо элементов a_ik (чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n , то матрица называется квадратной.

Детерминант (определитель) — это число detA, которое можно сопоставить квадратной матрице А.

Минором некоторого элемента а_ij определителя n-го порядка называется определитель n первого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента а_ij  определителя называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма “ i+j” четное число, и со знаком “-“ , если эта сумма нечетная.

Итерация — это повторное применение каких-либо математических операций. Происходит от латинского “iteratio” ,что в переводе значит “повторение”.

 

Решение.

1). Математический расчет решения системы уравнений методом обратной матрицы.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

а). Рассмотрим матрицы:

— матрица системы (составлена из коэффициентов при неизвестных):

0,1 4,6 7,8

А = 2,8 6,1 2,8

4,5 5,7 1,2

— матрица неизвестных:

x₁

X =x₂

x₃

— матрица свободных членов:

9,8

 B = 6,7

5,8

б). Найдем детерминант (определитель) матрицы А.

По определению: det A = a₁₁ · A₁₁ + a₁₂ · A₁₂  + a_{13 ·}  A₁₃,

где a₁₁ , a₁₂ , a₁₃ — элементы первой строки матрицы A,

A₁₁ , A₁₂ , A₁₃ — их алгебраические дополнения.

- если detA = 0, то обратной матрицы не существует;

 - если detA ≠ 0,  то обратная матрица существует.

Для того, чтобы найти детерминант необходимо сосчитать алгебраические дополнения.

По определению: A_ik = (-1)^i+k · M_ik ,

где i  - номер строки матрицы,

k - номер столбца матрицы,

M - минор.

- если сумма i+k четная, то A_ik = 1 · M_ik

 

A₁₁ = 6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = - 8,64

A₁₂ = 2,8 · 1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24

A₁₃ = 2,8 · 5,7 - 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49

Теперь мы можем сосчитать детерминант.

detA = 0,1 · (-8,64) + 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = - 47,982

detA ≠ 0 => обратная матрица существует и можно продолжать вычисления.

в). Найдем обратную матрицу А^-1.

По определению:

A₁₁ A₂₁ A₃₁

A^-1 = A₁₂ A₂₂ A₃₂ · 1/ detA ,

A₁₃ A₂₃ A₃₃

где А₁₁ , …, А₃₃ - алгебраические дополнения матрицы А.

Для нахождения обратной матрицы А^-1, сначала сосчитаем все алгебраические дополнения матрицы А:

A₂₁ = 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = + 38,94

5,7 1,2

A₂₂  = 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = - 34,98

4,5 1,2

A₂₃  = 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13

4,5 5,7

A₃₁ = 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = - 34,7

6,1 2,8

A₃₂ = 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 - 21,84 = + 21,56

2,8 2,8

A₃₃ = 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 - 12,88 = - 12,24

2,8 6,1

Теперь мы можем сосчитать обратную матрицу А^-1, подставив в формулу полученные данные:

1/detA = 1 / - 47,982 = - 0,0208411

- 8,64 38,94 - 34,7 0,1800675 - 0,8115543 0,72318786 A^-1 = - 0,0208411 · 9,24 - 34,98 21,56 = - 0,1925722 0,7290234 0,44933516

- 11,49 20,13 - 12,27 0,2394647 - 0,4195323 0,25572089

Чтобы узнать правильно ли мы нашли обратную матрицу, необходимо сделать проверку. Если выполняется равенство:

A^-1 · A = E, где E - единичная матрица, то обратная матрица найдена верно.

0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8

A^-1 · A = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 2,8 6,1 2,8

0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2

Произведем промежуточные вычисления:

С₁₁ = 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1

C₁₂ = 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) · 6,1 + 0,7231879 · 5,7 = 0

C₁₃ = 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 1,2 = 0

C₂₁ = (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 4,5 = 0

C₂₂ = (-0,1925722) · 4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1

C₂₃ = (-0,1925722) · 7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 = 0

C₃₁ = 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 = 0

C₃₂ = 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) · 6,1 + 0,2557209 · 5,7 = 0

С₃₃ = 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1

1 0 0

A^-1 · A  = 0 1 0 = E

0 0 1

Обратную матрицу нашли верно.

г).  Найдем матрицу X (матрицу неизвестных).

По определению: X = A^-1 · B ,

где B — исходная матрица B (матрица свободных членов).

0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737

X  = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 ·  6,7 = 0,391105

0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069

Матрицу X нашли, соответственно корни уравнений:

x₁ = 0,521737

x₂ = 0,391105

x₃  = 1,019069

д). Проверка. Подставим в исходную систему уравнений полученные значения:

0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8

2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7

4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 + 1,2229152 = 5,8000252 = 5,8

Система уравнений методом обратной матрицы решена верно.

1.1). Составление программы для решения системы уравнений методом обратной матрицы в EXCEL.

Шаг первый:

Для решения системы уравнений в EXCEL необходимо подготовить таблицу с исходными данными:

а). Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1:E10).

Шаг второй:

Необходимо обратить матрицу А. Применяемая для обращения матрицы функция МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек.

а). Выделим ячейки А11:С13, куда будет помещена обратная матрица.

б). При помощи Мастера функций вызовем функцию МОБР, категория Математические.

в). В окне “Массив” укажем адрес массива исходной матрицы A6:C8.

г). Для того, чтобы вставить формулу во все выделенные ячейки (A11:C13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

В ячейках A11:C13 появится:

— в режиме формул — =МОБР(А6:C8) ;

— в режиме значений — массив обратной матрицы.

Шаг третий:

Для умножения обратной матрицы на столбец свободных членов:

а). Выделим ячейки E11:E13.

б). При помощи Мастера функций выберем функцию МУМНОЖ, категория Математические.

в). В окно “Массив 1” введем адрес массива обратной матрицы A11:C13.

г). В окно “Массив 2” введем адрес массива матрицы свободных членов E6:E8.

д). Для вставки Формулы во все выделенные ячейки (E11:E13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

В ячейках E11:E13 появится:

— в режиме формул — =МУМНОЖ(А11:C13;E6:E8) ;

— в режиме значений — компоненты векторов решения x₁ , x₂ , x₃ .

Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 7”. Режим значений — “Приложение 8”.

1.2). Проверка — сравнение результатов, полученных разными способами.

 

Для наглядности создадим сравнительную таблицу:

	Математический расчет методом обратной матрицы	Обращение матрицы в EXCEL
x1	0,521737	0,521737318
x2	0,391105	0,391104998
x3	1,019069	1,019069651

1.3). Вывод.

Сначала предложенную нам систему уравнений мы решили методом обратной матрицы. Затем в EXCEL составили специальную программу, позволяющую решить систему уравнений путем обращения матрицы.

Для наглядности полученные результаты занесли в сравнительную таблицу.

Из таблицы видно, что результаты получились практически одинаковыми. Отклонения в значениях расходятся в столь малых пределах, что являются допустимыми для нашего случая. Однако это произошло из-за того, что при выполнении математических расчетов значения округлялись.

Таким образом, мы выявили, что в EXCEL результаты получаются более точные.

2) Решение заданной системы уравнений методом простых итераций.

 

Для того, чтобы решить систему трех линейных уравнений методом простых итераций, необходимо ее преобразовать так, чтобы диагональные коэффициенты матрицы x₁ , x₂ , x₃ были максимальными по модулю. Этим выполняется 1-е условие сходимости итерационного процесса.

Заданная нам система имеет вид:

0,1x₁ + 4,6x₂ + 7,8x₃ = 9,8

2,8x₁ + 6,1x₂ + 2,8x₃= 6,7

4,5x₁+ 5,7x₂  + 1,2x₃ = 5,8

a) Достаточно хорошо видно, что для преобразования нам достаточно только поменять местами первое и третье уравнения. Получится система вида:

4,5x₁  + 5,7x₂ + 1,2x₃  = 5,8

2,8x₁ + 6,1x₂ + 2,8x₃ = 6,7

0,1x₁ + 4,6x₂ + 7,8x₃ = 9,8

б)  Для решения системы уравнений методом простых итераций необходимо представить полученную систему уравнений в итерационной форме, записав каждое из трех уравнений в виде решения относительно той неизвестной переменной, которая имеет наибольший по модулю коэффициент.

4,5x₁ + 5,7x₂ + 1,2x₃ = 5,8

x₁ = - 5,7x₂ / 4,5 - 1,2x₃ / 4,5 + 5,8 / 4,5

2,8x₁ + 6,1x₂ + 2,8x₃ = 6,7

x₂ = - 2,8x₁ / 6,1 - 2,8x₃ / 6,1 + 6,7 / 6,1

0,1x₁ + 4,6x₂ + 7,8x₃ = 9,8

x₃ = - 0,1x₁ / 7,8 - 4,6x₂ / 7,8 + 9,8 / 9,7

В итерационной форме получили систему:

x₁ = - 5,7x₂ / 4,5 - 1,2x₃ / 4,5 + 5,8 / 4,5

x₂  = - 2,8x₁ / 6,1 - 2,8x₃ / 6,1 + 6,7 / 6,1

x₃ = - 0,1x₁ / 7,8 - 4,6x₂ / 7,8 + 9,8 / 9,7

в) Проверка выполнения первого условия сходимости метода для данной системы.

При использовании итерационного метода решения необходимо обязательно проверить два условия сходимости метода для данной системы. Первое условие у нас выполнено (диагональные коэффициенты матрицы x₁ , x₂ , x₃ в полученной системе являются максимальными по модулю).

г) Проверка выполнения второго условия сходимости метода для данной системы (условие “НОРМА”).

Теперь необходимо проверить условие “НОРМА” (обозначается ║C║), т.е. необходимо оценить сходимость метода для данной системы, которая зависит только от матрицы коэффициентов [ C ]. Процесс сходится только в том случае,если норма матрицы [ С ] меньше единицы, т.е.

║C║=√Σa_aj² <1

В итерационной форме имеем систему:

x₁ = - 5,7x₂ / 4,5 - 1,2x₃ / 4,5 + 5,8 / 4,5

x₂ = - 2,8x₁ / 6,1 - 2,8x₃ / 6,1 + 6,7 / 6,1

x₃  = - 0,1x₁ / 7,8 - 4,6x₂ / 7,8 + 9,8 / 7,8

или

x₁ = 0 - 5,7x₂ / 4,5 - 1,2x₃ / 4,5 + 1,288889

x₂ = 2,8x₁ / 7,8 - 0 - 2,8x₃ / 6,1 + 1,0983607

x₃  = 0,1x₁ / 7,8 - 4,6x₂ / 7,8 - 0 + 1,2564103

Проверка выполнения второго условия “НОРМА” :

0 - 5,7 / 4,5 - 1,2 / 4,5

[C] = - 2,8 / 6,1 0 - 2,8 / 6,1

- 0,1 / 7,8 - 4,6 / 7,8 0

║C║ = √ У a_ij² < 1

║C║ = √ (-5,7 / 4,5)² + (-1,2 / 4,5)² + (-2,8 / 6,1 )² + (-2,8 / 6,1)² + (-0,1 / 7,8)² + (-4,6 / 7,8)²

║C║= √ (-1,2666667)² +(-0,2666667)² +(-0,4590164)² +(-0,4590164)² +(-0,0128205)² +(-0,5897436)²

║C║= √ (1,6044445) + (0,0711111) + (0,2106961) + (0,2136961) + (0,0001691) + (0,3477975)

║C║ =√ 2,4449144

║C║ = 1,5636222 > 1

Таким образом, условие “НОРМА” не выполнено.

 

Вывод: так как второе условие сходимости итерационного процесса не выполнено, то решение данной системы уравнений не может быть получено методом простых итераций.

Задача 3.

 

Комплексные числа.

Даны два комплексных числа, записанные в показательной форме.

z₁ = 3e ^{-(р/4) i}

z₂ = е ^{(р/4) i}

1). Записать эти числа в тригонометрической форме;

2). Найти сумму z₁ + z₂ и произведение z₁ · z₂ , переведя их в алгебраическую форму записи;

3). Изобразить на комплексной плоскости операнды и результаты.

Основные понятия.

Комплексным числом называется выражение вида

z = x + iy , где

“x” и “y” — действительные числа,

“i” — символ, называемый мнимой единицей и удовлетворяющий условию i² = -1.

Операнд — величина, представляющая собой объект операции, реализуемой ЭВМ в ходе выполнения программы вычислений.

 

Решение.

1). Тригонометрическая форма записи.

Положение точки z на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами x , y , но и полярными координатами r , ц. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа

z = r cos ц + i r sin ц = r ( cos ц + i sin ц ),

где cos ц + sin ц = e^iц=> ц = р/4

При этом r называют модулем, а ц - аргументом комплексного числа.

1.1) z₁ = 3 · (cos р/4  ­ i sin р/4) = 3√2/2 ­ i 3√2/2

1.2) z₂ = r · e^iц = r (cos р/4 +  i sin р/4) = √2/2 + i √2/2 

2). Алгебраическая форма записи:

2.1) Сумма.

Если z₁ = x₁ + iy₁ , а z₂ = x₂ + iy₂ , то

 z₁ + z₂ = (x₁ + iy₁) + (x₂ + iy₂) = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂)

z₁ + z₂ = (3√2/2 + √2/2) + i (­3√2/2 + √2/2) = 4√2/2 ­ i 2√2/2= = 2√2 - i√2

2.2) Произведение.

Если z₁ = x₁ + iy₁ , а z₂ = x₂ + iy₂ , то

z₁ · z₂ = (x₁ + iy₁) · (x₂  + iy₂) = (x₁x₂ ­ y₁y₂) + i (x₁y₂ + x₂y₁)

z₁·z₂ =(3√2/2 ·√2/2 + 3√2/2 · √2/2)+ i(3√2/2 · √2/2 - √2/2 · 3√2/2 )=

= 3· 2/4 + 3 · 2/4 + i · 0 = 3

 

3).Изображение на комплексной плоскости операнд и результатов.

Для упрощения преобразуем значения x и y из простых дробей в десятичные.

x₁ = 3√2/2 = 2,1 y₁ = - 3√2/2 = -2,1

x₂ = √2/2 = 0,7 y₂ = √2/2 = 0,7

x₃ = 2√2 = 2,8 y₃ = -√2 = -1,4

x₄ = 3 y₄ = 0

y

0,7  Z₂

0,7 2,1  2,8

0 Z₄

3  x

- 1,4  Z₃

- 2,1  Z₁

Операнды — Z₁ иZ₂

Результаты — Z₁  + Z₂ = Z₃

Z₁  · Z₂ = Z₄