Дослідження методів чисельного інтегрування

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет Інститут автоматики, електроніки та комп’ютерних систем управління

 

Факультет АКСУ Кафедра АІВТ

 

Курсова робота з дисципліни «Обчислювальні методи та застосування ЕОМ»

 

Дослідження методів чисельного інтегрування

2006

Анотація

В даній курсовій роботі розроблена програма для обчислення визначеного інтегралу методом Чебишева третього четвертого та п’ятого порядків.

Програма дозволяє отримати розв’язання інтегралу зазначеним методом, оцінити похибки та порівнювати їх з точним обчисленнями отриманими в математичному пакеті Mathcad 2001 Professional.

1. Теоретичні відомості

У курсовій роботі проведено дослідження методів чисельного інтегрування. Адже, у задачах, пов'язаних з аналізом, ідентифікацією, оцінкою якості, моделюванням різноманітних пристроїв автоматики, керування, інформаційно-вимірювальної техніки, радіоелектроніки, виникає необхідність обчислення визначених інтегралів.

В основу чисельного інтегрування покладено наближене обчислення площини під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла:

Загальний підхід до розв’язування цієї задачі такий: визначений інтеграл I являє собою площину, обмежену кривою f(х), віссю Х та прямими Х = a, Х =b, відрізок від a до b розбивають на множину менших відрізків, знаходять наближено площу кожної площини Si, яку отримують за таким розбиванням, значення інтеграла І знаходять як суму площ площин Sі, тобто I = Si. При цьому використовують два способи розбивання початкового відрізка на менші

1.Розбивання відрізка проводиться раніше, до того ж завжди відрізок вибирають рівним (метод прямокутників, трапецій, Сімпсона).

2.Місцезнаходження та довжина відрізків визначаються аналізом, до того ж спочатку ставиться за мету досягти найбільшої точності з заданим числом відрізків, а потім відповідно з цим визначають їхні межі (методи Гаусса, Ньютона - Котеса, Чебишева) [1].

 

1.1 Метод прямокутників

Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтеграла як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою h=x_i=x_i+1-x_i), отриманих розділень відрізка[a,b] на N рівних частин, до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право, то отримаємо формулу лівих прямокутників:

I_n=f(x)dx»S_i=h[f(x₀)+f(x₁)+...+f(x_n-1)]=f(x_i);(1.1)

якщо ж розділити на N прямокутників справа на ліво, то отримаємо формулу правих прямокутників:

I_пр=f(x)dx»h[f(x_n)+...+f(x₁)]=f(x_i)(1.2)

 

1.2 Метод трапецій

Суть методу трапеції, полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково- лінійною функцією j(x), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами.

Обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження сум площ S_i прямокутних трапецій N.

Площа кожної такої трапеції визначається як:

S_i=h(f(x_i)+f(x_i+1)).(1.3)

Отже, формула трапеції:

I=»S_i=h(f(x₀)+f(x₁)+f(x₂)+...+f(x_n-1)+f(x_N)= =[(f(x₀)+f(x_n))+f(x_i)].(1.4)

Графічна модель

Похибка обчислення інтеграла за формулою трапецій оцінюється як

(1.5)

Де М₂ –максимальне значення другої похідної. f(x) при ,h-крок обчислень.