Ход выполнения задания с использованием пакета LINDO

3.2 Ход выполнения задания с использованием пакета LINDO

Напишем экономико-математическую модель данной производственной задачи. Обозначим через xj(j=1,8) количество производимой продукции. Кроме того, т.к. объем ресурсов для оборудования дается в часах, а производительность оборудования в м¤/час, то необходимо перейти к соизмеримости.

Таким образом, задача сводится к нахождению оптимального плана производства продукции каждого вида с целью получения максимальной прибыли.

ЗЛП будет выглядеть так:

1 Целевая функция:

min Z = 0.51x₁ + 0.57x₂+0.13x₃+0.33x₄ +0.38x₅+0.72x₆+ 0.23x₇+0.22x₈ + 0.67x₉

при ограничениях:

1.34x₁+ 1.9x₂+0.37x₃+0.49x₄+0.52x₅+ 0.2x₆+0.26x₇+0.12x₈+ 0.9x₉ >=15.3

78x₁+ 356x₂+ 14x₃+ 116x₄+ 65x₅+ 19x₆+ 12x₇+ 9x₈+ 112x₉ >=1758

0.7x₁+ 5.9x₂+ 6.2x₃+17.7x₄+ 5.7x₅+ 1.5x₆+ 0.5x₇+ 0.4x₈+ 15x₉ >=118

3.1x₁+ 9.1x₂+ x₃+ 2.2x₄+ 2.3x₅+ 0.5x₆+ 0.4x₇+ 13x₈ >=45.8

4x₁+ 2x₂+ 5x₃+ 45x₄+ 15x₅+ 15x₆ >=660.8

0.87x₁+0.87x₂+ 0.8x₃+0.85x₄+0.85x₅+0.26x₆+0.24x₇+0.12x₈+0.87x₉ >=18.8

x₁+ x₂+ x₉ >=5

x₁+ x₂+ x₉ <=20

x₃+ x₄+ x₅ >=15

x₃+ x₄+ x₅ <=35

x₆ >=35

x₆ <=60

x₇+ x₈ >=10

x₇+ x₈ <=20

Экономико-математическая модель состоит из целевой функции, системы ограничений и условия не отрицательности переменных xj.

2     Двойственной к данной задаче является следующая:

Целевая функция:

max F = 15.3y₁+1758y₂+118y₃+45.8y₄+660.8y₅+18.8y₆+5y₇-20y₈+15y₉-35y₁₀+35y₁₁-60y₁₂+10y₁₃-20y₁₄

при ограничениях:

1.34y₁+ 78y₂+ 0.7y₃+3.1y₄+ 4y₅+0.87y₆+y₇-y₈ <=0.51

1.9y₁+ 356y₂+ 5.9y₃+9.1y₄+ 2y₅+0.87y₆+y₇-y₈ <=0.57

0.37y₁+ 14y₂ +6.2y₃+ y₄+ 5y₅+ 0.8y₆+ y₉-y₁₀ <=0.13

0.49y₁+ 116y₂+17.7y₃+2.2y₄+45y₅+0.85y₆+ y₉-y₁₀ <=0.33

0.52y₁+ 65y₂+ 5.7y₃+2.3y₄+15y₅+0.85y₆+ y₉-y₁₀ <=0.38

0.2y₁+ 19y₂+ 1.5y₃+0.5y₄+15y₅+0.26y₆+ y₁₁-y₁₂ <=0.72

0.26y₁+ 12y₂+ 0.5y₃+0.4y₄+ 0.24y₆+ y₁₃-y₁₄ <=0.23

0.12y₁+ 9y₂+ 0.4y₃+ 13y₄+ 0.12y₆+ y₁₃-y₁₄ <=0.22

0.9y₁+112y₂+ 15y₃+ 0.87y₆+y₇-y₈ <=0.67

Данные задачи составляют пару двойственных задач. Решение прямой задачи дает оптимальный план минимизации расходов на рацион кормления, а решение двойственной задачи – оптимальную систему оценок питательной ценности используемых кормов.

Для решения прямой задачи воспользуемся пакетом LINDO.

Пакет установлен на диске Е: в каталоге \LINDO. Для его загрузки активизируем данный каталог и находим файл с именем lindo.exe.

Вначале необходимо ввести целевую функцию F. Для этого после двоеточия (:) набираем слово max и после пробела вводим целевую функцию. После знака вопроса набираем ST и вводим ограничения. В конце набираем END.

Для просмотра всей задачи используют команду LOOK ALL, а для просмотра строки - LOOK < N строки >.

При необходимости можно произвести редактирование той или иной строки путем набора команды ALT < N строки > и изменять либо значения переменных (VAR), либо правых частей (RHS), либо направление оптимизации с max на min и наоборот.

Решение производится вводом команды GO, а для проведения послеоптимизационного анализа после (?) нажимают Y.

После введения задачи и набора команды GO получаем следующие результаты:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 32, 1779200

Nо. ITERATIONS = 12

Из полученного решения исходит, что минимальные затраты на составление рациона питания, содержащего все необходимые элементы составляют 32, 18 денежных единиц. То есть целевая функция:

min Z = 0.51*3,943977 +0.57*1,056023 +0.13*13,9272+ 0.33*1,072801 +0.72*35+ 0.22*10=32,17792

Оптимальный рацион питания:

Х = (3,943977; 1,056023; 13,927200; 1,072801; 0; 35; 0; 10; 0)

то есть в рацион войдет:

Кукурузы –3,943977 кг

Жмыха – 1,056023 кг

Стеблей кукурузы – 13,9272 кг

Сена люцерны – 1,072801 кг

Силоса кукурузы – 35 кг

Свеклы кормовой – 10 кг

Остальные корма (сено суданки, свекла сахарная и комбикорм) в рацион не вошли.

Оптимальным планом двойственной задачи является следующий:

Y=(0; 0.000247; 0; 0; 0,004369; 0; 0,473236; 0; 0,104691; 0; 0,64976; 0; 0,217775; 0)

При этом целевая функция достигает своего максимального значения:

max F = 1758*0,000247+660.8*0,004369+5*0,473236+15*0,104691+

35*0,64976+10*0,217775=32,17792

Таким образом мы получили решение прямой двойственной задач, значения целевых функций которых равны:

Z(X)=F(Y)=32,17792

Проанализируем каждое ограничение двойственной задачи, подставляя вместо Y значения двойственных оценок

78*0.000247 +4*0.004369+1*0.473236 =0.5099 <=0.51

356*0.000247+2*0.004369+1*0.473236 =0.5699 <=0.57

14*0.000247 +5*0.004369+1*0.104691 =0.12999<=0.13

116*0.000247+45*0.004369+1*0.104691 =0.3299 <=0.33

65*0.000247 +15*0.004369+1*0.104691 =0.18628<=0.38

19*0.000247 +15*0.004369+1*0.64976 =0.71998<=0.72

12*0.000247 +1*0.217775 =0.2207 <=0.23

9*0.000247 +1*0.217775 =0.21999<=0.22

112*0.000247+1*0.473236 =0.5009 <=0.67

Из полученных данных видно, что все ресурсы используются оптимально, кроме сена суданки и комбикорма, которые вообще не вошли в рацион.

Для проведения анализа устойчивости оптимального плана прямой задачи при изменении коэффициентов целевой функции воспользуемся следующими данными, полученными с помощью ПЭВМ. Для этого в ответ на запрос RANGE вводим YES. Результы получим в следующем виде:

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES

0,5 < C₂ < 1,055098

0,03696 < C₃ < 0,307986

0,152014 < C₄ < 1,091069

0,186305 < C₅ < INFINITY

0,07024 < C₆ < INFINITY

0,220742 < C₇ < INFINITY

0,002225 < C₈ < 0,229258

0,500929 < C₉ < INFINITY

Если коэффициенты целевой функции лежат соответственно в заданных диапазонах, то оптимальный план прямой задачи остается без изменений.

Соответственно оптимальный план двойственной задачи будет устойчив при изменении правых частей ограничений, заложенных в следующей форме.

На основе проведенной работы можно сделать следующий вывод: полученное решение прямой задачи является оптимальным, то есть ферма, используя данный рацион минимизирует его себестоимость, при этом питательная ценность рациона находится в пределах норм.