Перевірка закону Ома при аналізі послідовних кіл змінного струму

Робота 6. Дослідження послідовного кола змінного струму

6.1 Мета роботи

Перевірка закону Ома при аналізі послідовних кіл змінного струму, які складаються з активного опору, індуктивності і ємності, і вивчення явища резонансу напруг.

6.2 Короткі теоретичні відомості

Змінним називається струм, який періодично змінює свій напрямок. Напруга змінного синусоїдного струму описується функцією

/6.1/

u(t)=U_msinw t,

де U_m – амплітуда, w - кутова частота.

Спочатку розглянемо коло, в якому напруга u(t) прикладена до активного опору R (рис.6.1, а). Згідно закону Ома миттєве значення струму

 /6.2/

де I_m - амплітуда струму, яка дорівнює амплітуді напруги, поділеній на опір.

Залежності /6.1/ і /6.2/ показують, що напруга і струм описуються

однаковими функціями, тобто вони співпадають у часі за фазою. Оскільки синусоїдну функцію можна представити вектором, що обертається проти годинникової стрілки з кутовою частотою w, то напругу і струм представляють векторами, як зображено на рис. 6.1, б для R>1. Таке представлення називають векторною діаграмою кола змінного струму.

Тепер розглянемо електричне коло, в якому змінна напруга u(t) прикладена до ємності С. Миттєве значення струму в колі з ємністю дорівнює швидкості зміни заряду на обкладинках конденсатора:

Оскільки q=Cu, то

 /6.3/

де

I_m=wCU_m. /6.4/

Залежність /6.3/ показує, що струм випереджає напругу на кут .

Замінивши в /6.4/ ампулітудні значення напруги і струму діючими (; ),

одержимо

. /6.5/

Залежність /6.5/ виражає закон Ома для кола змінного струму з ємністю, а величина  називається ємнісним опором. Векторна діаграма цього кола наведена на рис. 6.2,б.

На рис. 6.3,а наведене електричне коло котушки індуктивності L, до якого прикладена змінна напруга u(t). Активний опір котушки R. Нехай під дією напруги u(t) в колі протікає струм i=I_msinwt. Згідно другого закону Кірхгофа напруга u(t) буде зрівноважуватись спадами напруг на активному опорі u_R(t) і індуктивності u_L(t), тобто

u(t)=u_R(t)+u_L(t). /6.6/

У векторній формі це рівняння матиме такий вид:

/6.7/

Згідно /6.2/ спад напруги на активному опорі

	/6.8/

u_R(t)=I_mRsinwt=U_mRsinwt

і співпадає за фазою зі струмом.

Спад напруги на індуктивності дорівнює е.р.с. самоіндукції, тобто

 /6.9/

де U_mL=I_mwL. /6.10/

Рівняння /6.9/ показує, що спад напруги на індуктивності випереджає струм на кут . Підставивши в /6.9/ діючі значення напруги і струму, одержимо

 /6.11/

L

Вираз /6.11/ є законом Ома для кола з ідеальною індуктивністю, тобто коли R=0. Величина x_L=wL називається індуктивним опором. Побудувавши век-тори  , і , можна знайти вектор . Ця побудова і є векторною діаграмою кола (рис. 6.3,б). Як видно з цієї діаграми модуль вектора

/6.12/

де величина  /6.13/ називається повним опором кола.

Кут між напругою і струмом j (зсув за фазою) визначають із векторної діаграми і він буде дорівнювати

 /6.14/

Тепер вже можна розглянути коло, яке складається з послідовно з’єднаних активного опору, індуктивності і ємності (рис. 6.4, а).

Через всі елементи цього кола протікає один і той же струм і. Тому вектор струму  будемо вважати відомим і поставимо за мету визначити

вектор напруги . За аналогією з /6.7/ можна записати, що прикладена напруга дорівнює векторній сумі спадів напруг на активному опорі, індуктивності і ємності, тобто

	6.15/

Оскільки раніше було вияснено, що спад напруги на активному опорі співпадає за фазою зі струмом, напруга на індуктивності випереджає струм за фазою на , а на ємності – відстає за фазою на , то можна це представити так:

U_R=U_mRsinwt=I_mRsinwt;

/6.16/

U_L=U_mLsin(wt+)=I_mwLsin(wt+);

U_C=U_mCsin(wt-)=sin(wt-).

За відомими R, L і C на підставі рівнянь /6.16/ будують векторну діаграму, як показано на рис. 6.4, б. Безпосередньо з цієї діаграми знаходять модуль вектора прикладеної напруги

/6.17/

 

/6.18/

де

називається повним опором кола. Величину  називають реактивним опором.

Зсув фаз між векторами струму і напруги

/6.19/

 

Рівняння /6.17/ показує, що сила струму в колі з послідовним з’єднанням R, L і С при w=const залежить від повного опору кола. Величина повного опору при R=const залежить від реактивного опору, тобто від L, C і w=2p¦, де ¦ - частота змінного струму. Якщо вважати сталими R, L і С, то при зміні w можливі три режими:

- <, x<0 і j<0;

- wL>, x>0 і j>0;

- wL=, x=0 і j=0.

У першому випадку опір кола має ємнісний характер (струм випереджує напругу за фазою), у другому – індуктивний характер і струм відстає за фазою від напруги.

Третій випадок має назву режиму резонансу напруг. Струм співпадає за фазою з напругою і досягає максимального значення, рівного

. /6.20/

При резонансі

 і  або . /6.21/

Величину f₀ називають власною частотою коливань контуру.

При резонансі напруги на окремих елементах будуть такими:

,

,

,

де безрозмірна величина , що має назву добротності контуру. Вона може бути більшою або меншою одиниці. Отже, величини напруг на індуктивності і ємності при резонансі рівні між собою і можуть значно перевищувати напругу на затискачах кола. Саме тому резонанс у послідовному колі називають резонансом напруг.

На рис.6.5 показані залежності реактивних опорів, струму та напруг на окремих елементах кола в функції частоти.

Максимальні значення напруг  і  рівні між собою, але вони виникають на частотах, що відрізняються від резонансної частоти. Це пояснюється різним характером залежності  та  від частоти.

На рис.6.6 наведені векторні діаграми кола при різних частотах.

Рис.6.5

Якщо вважати частоту прикладеної напруги і величину ємності конденсатора сталими, то резонанс може спостерігатись при індуктивності котушки

. /6.22/

Рис.6.6

Аналогічне явище буде мати місце при незмінній частоті і сталій індуктивності, якщо ємність конденсатора буде рівною

. /6.23/

Отже, забезпечити резонанс напруг можна зміною однієї з трьох величин: частоти вхідної напруги, індуктивності котушки або ємності конденсатора. На виконання умови резонансу зовсім не впливає величина опору .

Із формули повної потужності

виходить, що при резонансі , тому що ,  і .

Отже, повна потужність кола при резонансі дорівнює активній потужності. Кут  між напругою і струмом при цьому дорівнює нулю, а коефіцієнт потужності .

Незважаючи на те, що реактивна потужність всього кола , запаси енергії у магнітному полі котушки та в електричному полі конденсатора існують, бо  і , і тому , . Пр цьому котушка і конденсатор обміняються енергією, але між котушкою і джерелом живлення, а також між конденсатором і джерелом живлення обміну енергією не відбувається. Від джерела живлення надходить тільки енергія, що виділяється в резисторі R.

Електричне коло з послідовним з’єднанням елементів знайшло широке практичне застосування. Опір кола при резонансі на частотах, близьких до резонансної, має невелике значення, а на частотах, віддалених від резонансної, цей опір істотно зростає. Таку властивість послідовного кола використовують для виділення електричних коливань потрібної частоти, забезпечуючи їх необхідну фільтрацію або посилення напруги за умови, що частота напруги співпадає з резонансною частотою.

6.3 Програма роботи

1. Провести вимірювання в колі з одним активним опром.

2. Провести вимірювання в колі з однією ємністю.

3. Провести вимірювання в колі з котушкою індуктивності.

4. Провести вимірювання в колі з R, L, і C елементами.

Дані вимірювань за п.п. 1, 2, 3, 4 занести в табл.1, виконати обчислення вказаних в ній величин і побудувати в одному масштабі векторні діаграми.

5. Дослідити резонанс напруг при зміні частоти.

6. Дослідити резонанс напруг при зміні ємності.

Дані вимірювань за п.п. 5, 6 занести в табл.2, виконати необхідні обчислення і побудувати на одному графіку резонансні криві I, U_C, U_L, X_L, X_C і  як функції частоти f або ємності С (за вказівкою викладача).