Преобразование случайных сигналов в безынерционных нелинейных и инерционных линейных цепях

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. А. Н. ТУПОЛЕВА

Институт радиоэлектроники и телекоммуникаций

Кафедра РИИТ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу: «Радиотехнические цепи и сигналы»

на тему: «Преобразование случайных сигналов в безинерционных нелинейных и инерционных линейных цепях»

Выполнил: Мулюков Р. Р.

Группа: 5201

Проверил: Козлов В.А.

Казань 2010

Задание

1.  Произвести генерацию случайного сигнала X(n) с равномерным законом распределения, заданным математическим ожиданием m_X0 и среднеквадратическим отклонением _X0.

2.  Изменяя длину участка реализации N (1 N 1024) определить с помощью критерия  такую длину участка реализации N₀, для которой вероятность Р, с которой статическое распределение выборки из N значений может считаться соответствующий теоретическому распределению, будет достаточно близка к единице, а величины m_XN0 и _XN0 достаточно близки к заданным m_X0 и _X0. В дальнейшей работе использовать этот объем выработки.

3.  Определить корреляционную функцию R_x() и энергетический спектр W_x() исходного сигнала X(n), построить их графики указав масштаб по осям времени и частот соответственно. Определить тип случайного процесса X(n) – широкополосный или узкополосный.

4.  Аппроксимировать закон распределения случайного процесса X(n). По найденной функции Р(х) и указанной в задании нелинейной характеристике Y = f(x) определить теоретически функцию P(y) – закон распределения отклика безынерционного нелинейного элемента на воздействие случайного элементы X(n). Построить график функции P(y)

5.  Провести преобразование случайного процесса X(n) в безынерционной нелинейной цепи с указанной в индивидуальном задании нелинейной характеристикой Y = f(x). Для выборки N₀ значений случайного процесса Y(n) получить m_1YN0 и _1YN0, гистограмму, графики корреляционной функции R_y() и энергетического спектра случайного сигнала W_y(). Сопоставить гистограмму с графиком функции P(y). Указать, какие характеристики случайного процесса изменились в результате его передачи через безынерционную нелинейную цепь.

6.  Провести фильтрацию случайного процесса Y(n) цифровой моделью инерционной линейной цепи в индивидуальном задании характеристиками получили новый сигнал Z(n). Для выборки N₀ значений случайного процесса Z(n) получить m_1ZN0 и _1ZN0, гистограмму, графики корреляционной функции R_z() и энергетического спектра W_z(). Определить с помощью критерия x2 произошла ли нормализация случайного процесса Y(n) в результате его фильтрации в линейной цепи. Указать, какие характеристики случайного процесса изменились в результате его передачи через линейную цепь.

Параметры исходного сигнала X(n)

Вариант 27

m_XN0 = -1,25 _XN0 = 0,75 Т = 0.0004 с

Вариант нелинейности 3.4

Нелинейности

Y =

Параметры линейной цепи

Тип ПФ f0 = 500 Гц Q = 3

1.  Случайными называются сигналы (процессы), значение которых не могут быть предсказаны с полной достоверностью. Наибольшее распространение при описании случайных сигналов имеют математическое ожидание m_1X0 = -1,25 (начальный момент 1-го порядка) и среднеквадратичное отклонение _X0 = 0,75 (, где D_x – дисперсия [центральный момент 2-го порядка]). Если реализация случайного процесса X(t) задана в виде выборочной последовательности значений X_i, где i = 1,2,3, … N, то   математическое ожидание рассматривать как постоянную составляющую в спектре случайного сигнала, а дисперсию как среднюю мощность флуктуационной (переменной) составляющей.

2.  Одной из важнейших характеристик случайного процесса является плотность вероятности P(х) – функция, которая показывает, насколько часто повторяется (по времени) то или иное значение Х.

Для равномерного закона распределения

 P

X_min = -2,525  0 X_max = 0,042 X

Все значения в Х интервале от X_min до X_max встречаются одинаково часто.

Для точного определения одномерной плотности случайного процесса необходимо исследовать реализацию бесконечной длительности, что на практике нереально. Поэтому реально берут реализацию конечной длительности Т_с и при ее изучении берут выборки с конечным шагом Т (в данной работе Т = 0.0004 с), число отсчетов случайного сигнала , подвергаемых обработке, всегда конечно, следовательно, вместо P(х) получают ее оценку в виде ее гистограммы.

Изменяя длину участка реализации N (1 N 1024) определим с помощью критерия ² такую длину участка реализации N₀, для которой вероятность Р, с которой статистическое распределение выборки из N значений может считаться соответствующим теоретическому распределению, будет достаточно близка к единице, а величины m_XN0 и _XN0 достаточно близки к заданным m_X0 и _X0.

Если реализация случайного процесса X(t) задана в виде выборочной последовательности значений X_i, где i = 1,2,3, … N, то для построения гистограммы находят X_min и X_max. Затем диапазон изменений X(X_min  X_max) разбивают на отдельные интервалы ширины X. Число интервалов N_i берут,

10  20.  

где n_k – число отсчетов сигнала, попавший в k – интервал,  - теоре-тическая вероятность пребывания случайного сигнала в пределах каждого из интервалов X (в работе N_i = 10), N – общее число исследуемых отсчетов сигнала.

Пусть N = 100  = 3,6 m_XN0 = -1,1635 _XN0 = 0,7464

Пусть N = 200  = 9,8 m_XN0 = -1,1533 _XN0 = 0,7572

Пусть N = 300  = 10,6 m_XN0 = -1,1803 _XN0 = 0,7569

Пусть N = 400  = 8,8 m_XN0 = -1,2014 _XN0 = 0,7597

Пусть N = 500  = 6,68 m_XN0 = -1,2082 _XN0 = 0,7452

Пусть N = 600  = 8,07 m_XN0 = -1,2143 _XN0 = 0,7416

Пусть N = 700  = 6,4 m_XN0 = -1,2196 _XN0 = 0,7471

Пусть N = 800  = 5,77 m_XN0 = -1,2368 _XN0 = 0,7443

Пусть N = 900  = 7,51 m_XN0 = -1,2265 _XN0 = 0,7480

Пусть N = 1000  = 7,48 m_XN0 = -1,2119 _XN0 = 0,7473

В дальнейшей работе будем использовать объем выработки N = 100, т. к. критерий Пирсона имеет наименьшее значение.

3.  Энергетический спектр случайного сигнала W_x() показывает, как средняя мощность сигнала распределена по диапазону частот. Для большинства случайных сигналов ширина спектра теоретически бесконечно велика. Для оценки реальной ширины спектра вводят понятие эффективной ширины спектр _э, которую можно определить как полосу частот, в пределах которой спектральная плотность средней мощности падает не более чем в 2 раза по сравнению с максимумом.

Корреляционная функция случайного процесса R_х() является внутренней мерой связанности процесса в различные моменты времени, отстоящие на , его свойства (помнить) предшествующие состояния следует интервал корреляции – это величина временного сдвига , начиная с которого значения сигнала X(t) и X(t+) могут считаться несвязанными.

Оценку величин интервала корреляции процесса _к при известной корреляционной функции R_х() можно следующим образом: если процесс широкополосный, то _к равен координате первого нуля функции R_х(); если процесс узкополосный, то _к определяют по координате первого нуля огибающей функции R_х(). Корреляционная функция R_х() и энергетический спектр случайного сигнала W_x() связана между собой преобразованиями Фурье. Если реализация случайного процесса X(t) задана в виде выборочной последовательности значений X_i, где i = 1,2,3, … N, то

 , 0 k N₁

где N₁ – число отсчетов корреляционной функции и энергетического спектра (на 1  2 порядка меньше числа отсчетов сигнала N);

Т – интервал дискретизации сигнала.

 = 2Пf =  - шаг отсчета по частоте.

Корреляционная функция R_х(t) и энергетический спектр W_x(f) исходного сигнала изображены на рисунках (см. ниже). Это широкополосный сигнал. Т = 0.0004с; N₁ = 10;

По графику корреляции видно что исследуется широкополосный сигнал, его интервал корреляции:

Энергетическая ширина спектра