Процедура проектирования электронной пушки

3.  Процедура проектирования электронной пушки

Проектирование электронных пушек включает два основных этапа. На первом из них производится определение исходной геометрии электронной пушки, обеспечивающей получение заданных параметров (первеанса, компрессии и других). Обычно для этой цели используют метод синтеза, основанный на упрощенных математических моделях электронной пушки. Второй этап включает проведение анализа электронной пушки с помощью программ, обеспечивающих решение самосогласованных задач и оптимизацию ее геометрии.

Синтез пушки по Овчарову. Этот метод расчета пушки предусматривает получение специального решения внутренней задачи, которое отвечает некоторой совокупности заданных свойств формируемого пучка. Решение проводится в параксиальном приближении с использованием параксиального уравнения, записанного в специальной криволинейной системе координат. В качестве ортогональной сетки, служащей для построения координатной системы, берется сетка, образуемая семейством подобных линий (семейство а) и семейство линий, к ним ортогональных (семейство b). В системе координат q₁ q₂ (рис. 3.1) линии, принадлежащие этим семействам, описываются уравнениями:

где R(z)—некоторая базовая линия из семейства а; q— параметр подобия.

Рис. 3.1 Ортогональная координатная сетка, образованная семейством подобных линий (линии q₂=const) и семейством линий, к ним ортогональных (линии q₁=const)

Такой выбор ортогональной сетки соответствует модели потока с подобными траекториями. Параметризация ортогональной сетки производится следующим образом. В качестве параметра q₂, определяющего линии из семейства а, берется параметр подобия q₂=q=r(z)/R(z), представляющий собой относительное расстояние данной линии семейства от оси симметрии. В качестве параметра, определяющего линии из семейства b, берется расстояние, на котором данная линия пересекает ось симметрии, q₁=z. При использовании такой ортогональной сетки в качестве координатной системы параметры q₁ и q₂ выполняют роль криволинейных координат, первая из них имеет размерность длины, вторая — безразмерна.

Если в качестве базовой линии R(z} взята граница пучка, то параксиальное уравнение, описывающее его движение, имеет вид

где U₀—потенциал на оси пучка (q₂ =());I—ток пучка.

Вводя нормализованные переменные , u=U₀ / U_н и , получаем

( 3.1 )

Расчет электронной пушки проводится по следующей схеме. Первоначально задается осевое распределение потенциала, удовлетворяющее условиям.

Первые два из них соответствуют режиму ограничения тока с катода пространственным зарядом, вторые два — движению пучка в эквипотенциальном канале на выходе из пушки.

Типичная кривая распределения потенциала показана на рис. 3.2, б. Для задания потенциала может быть использовано аналитическое выражение вида , где

Рис. 3.2. Форма электродов (а) и осевое распределение потенциала (б) в пушке, рассчитанной по методу Овчарова.

.

При таком задании потенциала условия (3.2) выполняются автоматически. На искомое решение налагается требование , обеспечивающее сферическую форму катода. Это требование удовлетворяется, если коэффициенты k₁, a₁ и a₂ определяются формулами

Реализация условий (3.3) обеспечивается за счет связей, наложенных на коэффициенты a₃, a₄ и a₅ :

Далее производится численное интегрирование уравнения (3.1), для чего необходимо выбрать значение параметра i и задать начальные значения  и . В результате интегрирования определяется форма электронного пучка, соответствующая данному распределению потенциала.

Решение внешней задачи также производится в криволинейной системе координат. Расчет потенциала вне пучка может быть произведен по приближенной формуле:

где —нормированный потенциал. Положив , можно вычислить форму соответствующей эквипотенциальной линии в координатах . Переход к цилиндрическим координатам производится с помощью следующих соотношений:

Типичная форма электродов рассчитанной таким способом пушки показана на лис 3.2а.

Анализ пушки состоит в последовательном изменении геометрии электродов пушки и формы магнитного поля до тех пор, пока параметры формируемой пушкой пучка не будут близки к заданным. Этот процесс включает в себя следующие основные этапы: выбор исходного варианта геометрии пушки и конфигурации магнитного поля, траекторный анализ, по результатам которого определяются параметры формируемого пушкой пучка, внесение изменений в исходную геометрию и последующий траекторный анализ нового варианта т.д.

Анализ электронной пушки основывается на решении самосогласованной задачи электронной оптики, математическая модель которой включает:

-  уравнения поля , ( 1 )

-  уравнение движения частиц , ( 2 )

-  уравнение неразрывности потока . ( 3 )

Здесь U – потенциал, r - плотность заряда, m, e – масса и заряд электрона, Е – напряженность электрического поля, В – индукция магнитного поля, V – скорость частицы.

Совместное решение уравнений (1) – (3) выполняется методом последовательных приближений. В первом приближении производится расчет поля электронной пушки без учета пространственного заряда. На втором и последующих приближениях внешнее поле и траектории рассчитываются с учетом пространственного заряда. Процесс последовательных приближений продолжается до тех пор, пока результаты последующего n-го приближения не будут достаточно близки к результатам последующего ( n+1 )-го приближения. В качестве критерия сходимости процесса могут служить относительные изменения радиальных координат r и скоростей V_r контрольных электронов в конце расчетной области пушки:

, . ( 4 )

где  - заданная погрешность расчета траекторий.

Распределение пространственного заряда в пучке учитывается с помощью дискретной модели потока из деформируемых элементов. Электронный поток разбивается в поперечном сечении на слои. Формирование элементов проводится из условия получения одинакового заряда каждого элемента, и следовательно, одинакового тока каждого слоя. Площади слоев с учетом неравномерного распределения плотности тока на катоде будут различными.

Заряд деформируемого элемента находится по формуле:

где I₀ – ток луча; N_сл – число слоев; Dt – шаг интегрирования.

Разнесение по узлам сетки заряда деформируемого элемента производится с помощью разбиения его на отдельные частицы и применения к ним алгоритма “частица в ячейке”.

Ток пучка определяется суммированием токов с элементарных участков катода:

, (5)

где М – число дроблений эмитирующей поверхности катода.

Токи с элементарных участков вычисляются по найденному из уравнения ( 1 ) распределению потенциала вблизи поверхности катода с использованием закона “степени 3/2” для плоского диода:

, (6)

где U_m – потенциал точки, лежащей по нормали напротив центра элементарного участка на расстоянии d от катода,

S_m – площадь элементарного участка катода.

Для ускорения сходимости последовательных приближений применяется корректировка катодного тока по способу нижней релаксации:

, (7)

где Iⁿ, I^n-1 – токи на n-ом и (n-1)-ом приближениях; w_i<1 – параметр нижней релаксации.

Расчет электрических полей, описываемых уравнением (1), проводится методом конечных разностей с использованием итерационной формулы последовательной верхней релаксации. В граничных узлах сетки, находящихся на электродах пушки, задается условие Дирихле, а на открытых участках – условие Неймана.

Уравнение движения (2) для контрольных электронов решаются методом Рунге-Кутта 4-го порядка с автоматическим выбором шага интегрирования. Начальные условия – стартовые координаты и скорости контрольных электронов на катоде – определяются при формировании слоев.

Необходимые для решения уравнения (2) составляющие напряженности электрического поля находятся по потенциалам ближайших узлов сетки с применением численного дифференцирования. Составляющие индукции магнитного поля рассчитываются в параксиальном приближении по формулам:

, ,

где B(z) – известное распределение продольной составляющей магнитной индукции на оси пушки.