Технические расчеты

3 Технические расчеты

Попытаемся произвести некоторые расчеты движения руки, ее координирования и различных сил действующих на нее.

Таким образом, вычисления во время рабочего режима при каждом периоде выборки включают в себя только вычисление сил и моментов, развиваемых приводами, но не включает преобразований из декартовой системы координат в пространство присоединенных переменных. Следовательно, возможно увеличение частоты выборки.

Пусть положение системы координат описывает однородная матрица Н(t), размерностью (4x4):

где p – вектор, описывающий положение манипулятора, n, s и a – вектора нормали, перемещения и подхода соответственно. Оценка сочленения, соответствующая матрице H(t), зависит от структуры робота. Один из примеров решения для манипулятора PUMA представлен ниже.

Пусть H(t)=H(t₁). Схват должен пройти последовательность узловых точек в декартовом пространстве: H(t₁), H(t₂)…H(t_n) . Для построения траектории узловым точкам ставятся в соответствие векторы присоединенных координат [q₁₁(t₁), q₁₂(t₂), …,q_1n(t_n)],[ q₂₁(t₁), q₂₂(t₂), …,q_2n(t_n)],…[ q_1n(t₁), q_2n(t₂), …,q_Nn(t_n)], где q_ji обозначает j-ю присоединенную переменную, соответствующую положению схвата в i-й узловой точке H(t). В данной процедуре построение траектории сочленения происходит для одного сочленения за один раз. Затем строится кубическая интерполяция траектории j-ой присоединенной переменной между точками q_j1(t₁), q_j2(t₂), …,q_jn(t_n). Индекс j в переменной q_ji не обязателен, поэтому q_ji ставим в соответствие q_i.

Главная задача – построить траекторию j-ой присоединенной переменной во времени с использованием кубического полинома. Пусть t₁<t₂<…<t_n-2<t_n-1<t_n– моменты прохождения узловых точек. В начальный момент t=t₁ и конечный момент t=t_n заданы соответственно начальные q_j1, v_j1, a_j1 и конечные q_jn, v_jn, a_jn(положение, скорость и ускорение). Кроме того, значения присоединенной переменной q_jk в моменты времени t_k заданы для k=3,4,…,n-2. Однако, значения q₂ и q_n-1 не фиксированы: как уже говорилось, это необходимо для обеспечения непрерывности кинематических характеристик вдоль всей траектории.

Пусть Q_ji(t) – кубический полином, описывающий поведение j-й присоединенной переменной между узловыми точками H_i и H_i+1 и определенный на интервале [t₁, t_i+1]. Задача состоит в “сшивке” между собой полиномов Q_ji(t) (i=1,2,…,n-1) так, чтобы они проходили через заданные узловые точки и обеспечивалась непрерывность положения, скорости и ускорения на всем интервале [t₁, t_n].

Поскольку Q_ji(t) – кубический полином, его вторая производная Q’’_ji(t) должна быть линейной функцией времени t:

Q’’_ji(t)=[(t_i+1-t)/h_i]*Q’’_ji(t_i) + [(t-t_i)/h_i]*Q’’_ji(t_i+1),

i=1,…,n-1, (1)

j=1,…,N,

где h_i= t_i+1-t – время, затрачиваемое на прохождение i-го участка. Дважды интегрируя Q’’_ji(t) и учитывая граничные условия Q_ji(t_i)=q_ji и Q_ji(t_i+1)=q_i,i+1, получаем интерполирующую функцию следующего вида:

Q_ji(t)= [(Q’’_ji(t_i)/6h_i]*(t_i+1-t)³ + (Q’’_ji(t_i+1)/6h_i]*(t-t_i)³ +

+ [q_j,i+1/h_i – h_iQ’’_ji(t_i+1)/6](t-t_i) + [q_i,t/h_i – h_iQ’’_ji(t_i)/6](t_i+1-t) i=1,2,…,n-1,

j=1,2,…,N. (2)

Таким образом, для i=1,2,…,n-1, Q_ji(t) определены, если известны Q’’_ji(t_i) и Q’’_ji(t_i+1). На основании этого можно записать систему n-2 линейных уравнений относительно неизвестных Q’’_ji(t_i), i=2,…, n-1,(описание системы в приложении А):

A=, (3)

A==

=

Ленточная структура матрицы А позволяет легко определить неизвестную величину Q’’_i(t_i). В окончательном виде полиномы Q_i’’(t_i) выражаются временными интервалами h_i и данными значениями присоединенных координат, скоростей и ускорений.

Доказательство единственного решения

Свойство 1: Задача интерполяции траектории имеет единственное решение, т.е. матрица А в уравнении (3) неособенная.

Доказательство: Известно, что h_i – временные интервалы и должны быть положительны. Кроме того, в матрице А все строки, кроме 2 и n-3, удовлетворяют неравенству

 

, для строки i.  (4)

а) Если h₂ h₁ и h_n-2 h_n-1, строки 2 и n-3 также будут удовлетворять неравенству (4). Поэтому, матрица А становится строго диагональной и неособенной.

б) Если h₁ > h₂, выполняем строковую операцию вычитания (строка 1)x(h₂ – h²₁/h₂)/(3h₁+2h₂+ h²₁/h₂) из строки 2 для исключения а₂₁.

Получаем:

и

.

Из h₁ >h₂ следует, что . Поэтому матрица А эквивалентна строго диагональной матрице. Следовательно, уравнение (3) имеет единственное решение.

III.Описание траектории кубическими полиномами

В промышленности производительность зависит от скорости манипулирования робота. Для увеличения скорости работы манипулятора нужно минимизировать время движения вдоль заданной траектории. Задача оптимизации сводится к минимизации времени движения путем соответствующего выбора величин временных интервалов h₁, h₂,…, h_n-1. с учётом ограничений присоединенных скоростей, ускорений, моментов и скоростей изменения ускорений. Для удобства примем:

VC_j – ограничение по скорости для j-го сочленения,

wC_j – ограничение по ускорению для j-го сочленения,

JC_j – ограничение по скорости изменения ускорения для j-го сочленения.

Q_ji(t) – кубический полином, описывающий поведение j-й присоединенной переменной между узловыми точками i и i+1, т.е. между H_i и H_i+1 .

w_ji – ускорение в H_i; оно соответствует Q_ji’’(t_i) если Q_ji(t) проходит через H_i в момент времени t_i.

X=(h₁, h₂,…, h_n-1),- вектор временных интервалов.

Задачу можно сформулировать следующим образом: минимизировать целевую функцию Т

при следующих ограничениях:

, j=1,2,…, N, i=1,2,…,n-1,

, j=1,2,…, N, i=1,2,…,n-1,

, j=1,2,…, N, i=1,2,…,n-1.

Строгое представление этих ограничений представлено ниже.

а) Ограничение по скорости.

, j=1,2,…, N, i=1,2,…,n-1,

Дифференцируя равенство (2) и заменяя Q_ji’’(t_i) и Q_ji’’(t_i+1) соответственно на w_ji и w_j,i+1, получаем:

Q_ji’(t)=w_ji/2h_i*(t_i+1-t)² + w_ji+1/2h_i*(t-t_i)² + [q_j,i+1/h_i – h_iw_j,i+1/6] – [q_ji/h_i – h_iw_ji/6],

Также Q_ji’’(t) можно представить как

Q_ji’’(t)= w_j,i+1/h_i*(t-t_i) + w_ji/h_i*(t-t_i+1),

Скорость достигает своего максимального по абсолютной величине значения в одной из точек t_i , t_i+1 или , где и Q_ji’’()=0. Ограничение по скорости тогда принимает вид :

для i=1,2,…,n-1j=1,2,…,N, (6)

где

И

б) Ограничения по ускорению:

, j=1,2,…, N, i=1,2,…,n-1,

Между двумя узловыми точками ускорение линейно зависит от времени. Поэтому максимальная абсолютная величина ускорения достигается в точке t_i или в точке t_i+1 и равна максимальной из величин .С учетом этого ограничение по ускорению принимает следующий вид:

, j=1,2,…,N. (7)

в) Ограничение по скорости изменения ускорения:

, j=1,2,…, N, i=1,2,…,n-1.

Ограничение по скорости изменения ускорения можно представить в виде:

j=1,2,…, N, i=1,2,…,n-1. (8)

Пример возможного решения

Свойство 2: Задача оптимизации при наличии ограничений (6) - (8) всегда имеет решение.

Если временные интервалы h₁,…, h_n-1 ….………., тогда, в соответствии со свойством 1 I-го раздела w₂, w₃,…, w_n-1 определяются однозначно. Однако, ограничения по скорости, ускорению и скорости изменения ускорения могут не удовлетворять требованиям. В этом случае временные интервалы {h₁,…, h_n-1} могут быть увеличены для придания ограничениям значений, удовлетворяющих требованиям. Для этого представим Q_i(t) исходным полиномом присоединенной переменной, определённым на временном интервале [t_i, t_i+1]=[t_i, t_i+h_i]. Если все временные интервалы увеличить в соответствии с так, что новые временные интервалы станут равными , тогда, в соответствии с (5) новое ускорение w_i^* будет определено как w_i^*=w_i/. Таким образом, полином Q_i(), определенный на интервале []=[], будет представлен новым полиномом Q^*_i(). Первая, вторая и третья производные от Q^*_i() будут иметь вид (1/)Q_i’(), (1/)Q_i’’() и (1/)Q_i’’’() соответственно. Предположим

, (9)

, (10)

, (11)

и

, (12)

Если временной интервал h_i заменен на h_i для i=1,2,…,n-1, тогда величины скорости, ускорения и скорости изменения ускорения будут уменьшены коэффициентами соответственно. Эти изменения обеспечат скорость, ускорение и скорость изменения ускорения значениями, отвечающими требованиям.называется коэффициентом возможного регулирования. Процедура, выполняющая приведение некорректных величин к удовлетворяющему виду называется преобразователь возможного решения (ПВР). В итоге, процедура имеет вид:

1)  Вычисление в уравнениях (9)-(12).

2)  Замещение временных интервалов (h₁, h₂,…, h_n-1) на ().

3)  Замещение w_j,2, w_j,3,…, w_j,n-1 на соответственно. j=1,2,…, N.

Алгоритм оптимизации

Матрица А(Х) определена как вектор временных интервалов между выбранными узлами, т.е. [h₁, h₂,…, h_n-1]. Основной задачей Х является представление Т(Х) и соответствует (h₁+h₂+…+h_n-1). Сначала выбирается n – максимальное количество вершин Х_i , (i=1,2,…, n), для формирования исходного многогранника. Пусть X_g и X_s имеют максимальное и минимальное значения функции. Предположим, что Х_n+1 – центроид многогранника, не включая Х_g. Вычисляется это так:

. (13)

Алгоритм пытается выбрать наилучшие значения (в соответствии с минимальным значением функции) вдоль прямой, соединяющей X_g и X_n+1, для замещения неудовлетвори-тельной величины X_g. Если это ему не удается, то многогранник уменьшается. Процедура поиска необходимых величин и уменьшения размера многогранника включает в себя отображение, растяжение, сжатие и уменьшение. Все они представлены ниже:

1)Отображение: Отображение X_g через центроид вычисляется следующим образом:

X_n+2=X_n+1+a(X_n+1-X_g), (14)

где а>0 – коэффициент отображения. Отметим, что все элементы X_n+2 являются временными интервалами. Для того, чтобы все интервалы были положительными, коэффициент а должен быть правильно определен. Сначала, примем его равным 1. Если какой-нибудь элемент X_n+2 будет отрицательным, то коэффициент следует уменьшить. Пусть X_p=[]. Для а=1 X_n+2 приобретает вид:

X_n+2=2X_n+1-X_g= [].

Все элементы должны быть положительными, т.е. для всех i. Еслидля какого-либо i, тогда уменьшаем коэффициент а.

Из (14) получаем . Если , тогда . Следовательно, коэффициент а должен быть меньше, чем , чтобы был положительным. Учитывая все выше сказанное, коэффициент а может быть определен как:

, (15)

где 0<<1 выбрана для того, чтобы убирать X_n+2 от границы, где хотя бы один элемент X_n+2 = 0.

2) Растяжение: Растянуть вектор (X_n+2-X_n+1) можно следующим образом:

X_n+3=X_n+1+(X_n+2-X_n+1), (16)

где >1 – коэффициент растяжения. Для того, чтобы значения всех элементов X_n+3 были положительными, этот коэффициент должен быть определен следующим образом:

, (17)

где 0<<1.

3) Сжатие: Сжать вектор (X_g-X_n+1) можно следующим образом:

X_n+4=X_n+1+(X_g-X_n+1), (18)

где 0<<1 – коэффициент сжатия.

4)  Уменьшение: Уменьшить все вектора (X_i-X_s), i=1,2,…,n, деля их пополам начиная с X_s можно следующим образом:

, i=1,2,…,n, (19)

До начала поиска выберем n – максимальное количество вершин многогранника. Пусть q_j,1, q_j,3,…, q_j,n-2, q_j,n - присоединенные переменные, соответствующие положению схвата в j-й узловой точке. Из-за особенностей 2-ой и n-1 точек, q_j,2 и q_j,n-1 еще не определены. Временно они определены как q_j,2=(q_j,1+q_j,3)/2 и q_j,n-1=(q_j,n-2+q_j,n)/2. Таким образом, нижняя граница вектора временных интервалов оценивается как:

, (20)

Первая вершина Х₁⁰ вычисляется как , если нам подходит, или обозначается как подходящая вершина, преобразованная процедурой (ПВР) из . Для вычисления остальных (n-1) вершин {}, вычисляются как:

, (21)

где

D – выбранное расстояние. Поэтому,  вычисляется как , если нам подходит, или обозначается как подходящая вершина, преобразованная процедурой (ПВР) из . D влияет на размер многогранника.

Повторением операции мы уменьшаем размеры исходного многогранника и потом отслеживаем шаги поиска и приближения (к пределу). В процессе уменьшения многогранник иногда может принимать настолько малые размеры, что невозможно будет найти решение. Для возобновления процесса поиска мы будем использовать, которая выбирает новый многогранник и новый процесс многократного уменьшения многогранника начинается заново. Размер многогранника определяется как . Если  будет меньше ранее определенного значения e₁, то начнет выполняться новый цикл. Построение большего по размерам многогранника позволяет получить следующие преимущества:

1)  Увеличение размера многогранника увеличивает шаг поиска на столько, чтобы он был способен достичь наилучшей вершины.

2)  Форма многогранника изменяется в соответствии с направлением поиска.

Результаты двух следствий сравниваются. Цикл будет повторяться до тех пор, пока не возникнет каких-либо существенных различий между результатами, т.е. разность решений двух циклов будет меньше ранее определенного значения e₂. Ниже представлен подробный алгоритм вычисления. LВ алгоритме, при достижении 14 шага, цикл завершается. На 13 шаге завершается стадия повторения этого цикла. Таким образом, kk – номер цикла, который начинается с 0, а k – номер стадии для каждого цикла, который тоже начинается с 0.

(Инициализация)

Шаг 1) Пусть kk=0 и k=0. Выбираем и в выражениях (15), (17) и (18). Также выбираем е₁ и е₂. Пусть OLDХ_s=[0,0,…,0].

(Вычисление первой вершины многогранника)

Шаг 2) Вычисляем  по (20). Если  подходит, тогда ; иначе, величине присваивается подходящая вершина, преобразованная процедурой (ПВР) из .

(Вычисление остальных n-1 вершин многогранника)

Шаг 3) Для i=2,3,…,n вычисляем по (21). Если  подходит, тогда ; иначе, величине присваивается подходящая вершина, преобразованная процедурой (ПВР) из .

Шаг 4) Из n вершин а) определяем , которая принимает наименьшее значение функции и б) , которая принимает наибольшее значение функции. Из этого следует  и .

Шаг 5) Вычисляем центр многогранника по (13).

(Отображение)

Шаг 6) Проводим отображение для получения  с помощью (14) и (15). Полученную величину приводим к подходящему для нас виду процедурой (ПВР), если до этого она была не подходящей.

(Растяжение, при )

Шаг 7) Если , то выполняем а), б), и с) ………………………; иначе, переходим к шагу 8).

а) Если полагаем , потом увеличиваем k=k+1 и переходим на шаг 13),

иначе продолжаем (Замечание: показывает, что некоторые вершины многогранника в результате отображения имеют хоть и малые, но положительные значения. Растяжение нельзя проводить, т.к. они могут стать отрицательными, а это нарушает условие о положительных временных интервалов.

б) Выполняем отображение для получения  по формулам (16) и (17). Приводим  к подходящему для нас виду процедурой (ПВР), если до этого она была не подходящей.

с) Выбираем

потом увеличиваем k=k+1 и переходим на шаг 13).

Шаг 8) Если  для некоторых полагаем , потом увеличиваем k=k+1 и переходим на шаг 13).

Шаг 9) Если , тогда полагаем .

(Сжатие)

Шаг 10) Выполняем сжатие для получения величины по формуле (18). Полученную величину приводим к подходящему для нас виду процедурой (ПВР), если до этого она была не подходящей.

Шаг 11) Если , тогда полагаем , потом увеличиваем k=k+1 и переходим на шаг 13), иначе продолжаем.

(Уменьшение)

Шаг 12) Уменьшаем многогранник следующим образом:

, i=1,2,…,n.

(Проверка размера многогранника)

Шаг 13) Если , тогда переходим на шаг 14), иначе переход на шаг 4).

(Проверка на близость результатов решений двух циклов)

Шаг 14) Если ,тогда выводим как результат и прекращаем поиск; иначе полагаем , . Потом увеличиваем kk=kk+1, обнуляем k=0, и переходим на шаг 3).

Алгоритм оптимизации всегда приводит не удовлетворяющую величину к подходя-щему для нас виду процедурой (ПВР), которая выполняет преобразование не удовлетворяющих величин умножением на величину .Процедура преобразования занимает очень мало времени.

В начале каждого цикла n вершин первоначально определяются так, что любая из (n-1) вершин линейно независима. Новая вершина, которая замещает , всегда представляет собой линейную комбинацию  и остальных n-1 вершин. Следовательно, любая из (n-1) вершин из нового выбора вершин n все еще линейно независима. Расположение исключает возможность того, что поиск попадет в подпространство.

Вычисление производной для

Условие непрерывности по скорости дает нам , i=1,2,…,n-1,что при использовании уравнений (1) и (2) приводит нас к уравнению вида:

, i=1,2,…,n-1. (22)

Не оговоренные присоединенные переменные в двух особых точках могут быть выражены граничными величинами начальных и конечных узлов вместе с и . Следовательно,

,  (23)

(24)

Подставляя (23) и (24) в (22) получаем

 (25)

 (26)

(27)

(28)

 (29)

Из-за условия непрерывности по ускорению в уравнениях (25) и (29) примем равным .Таким образом, (25) – (29) –система, состоящая из n-2 уравнений с n-2 неизвестными ,для i=2,3,…,n-1.

ВЫВОДЫ

 

В представленной курсовой работе был разработан робот для разминирования различных объектов, рассчитаны его параметры и рабочие характеристики, которые были получены при моделировании в пакете прикладной программы Mathcad 2001.

В ходе данной разработке был проведен анализ задачи «Проектирование робота». Разработана структура функционирования и передвижения ноги робота.

В результате курсового проектирования была выполнена поставленная задача разработки исследуемого объекта.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. “Робототехника”. - М.: Высш. шк., 2005.- 271 с.

2. Методические указания к курсовой работе по дисциплине "Робототехника и мехатроника" для студентов специальности ГКСР ". 1999.

3.  Аш Ж., Андре П., Бофрон Ж. Датчики измерительных систем. В 2 т. Пер с фр. М.:Мир, 2002;

4.  Бауман Э. Измерение сил электрическими методами: Пер. с нем. Мир, 1978. Энергоатомиздат, 2001;

5.  Воротников С.А. Информационные устройства робототехнических систем. М.: Изд. МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2005

6.  Вульвет Дж. Датчики в цифровых системах: Пер. с англ. М.:Энергоиздат, 2003;

7.  Гориневский Д.М. Формальский А.М., Шнейдер А.Ю. Управление манипуляционными системами на основе информации об усилиях. М.:Изд.фирма «Физико-математическая литература», 2001;

8.  Погребной В.О., Рожанковский И.В., Юрченко Ю.П. Основы информационных процессов в роботизированном производстве;

9.  Письменный Г.В., Солнцев В.И., Воротников С.А. Системы силомоментного очувствления роботов. М.: Машиностроение, 2000