2.2. Модель відгуку плоскої ЦАР
Відгук плоскої ЦАР для варіанта 2-координатної процедури оцінювання можна формалізувати за допомогою “натягнення” вектора А комплексних амплітуд М сигналів на діагональ одиничної матриці: [29]. Згідно [29], аналітична модель відгуку плоскої решітки у матричній формі при одновідліковому вимірі напрямку на М сигналів має вигляд:
, (13)
де , , ,
, - матриці ПХ каналів ЦАР у напрямках М сигналів, відповідно в вертикальній і горизонтальній площинах,
, - матриці КВВ, відповідно в вертикальній і горизонтальній площинах.
З урахуванням впливу шуму та (12), аналітичну модель відгуку плоскої ЦАР за умови взаємного впливу АЕ (13) можливо записати за виразом:
, (14)
де - адитивний шум.
Однак, зі збільшенням розмірності прийнятої моделі сигналів формалізація істотно ускладнюється, що істотно впливає на можливість практичної реалізації вказаної моделі відгуку антенної решітки. Для вирішення цього питання в разі проведення багатокоординатних (наприклад: три, чотири координати) необхідно застосовувати більш розвинутий матричний апарат - сімейство торцевих добутків матриць, який був запропонований в [29].
Згідно [29], торцевим добутком hxg–матриці V () і – матриці W, що представлена як блок–матриця строк [] (W=[], ), є hxgd–матриця V□W, що визначається рівністю:
V □ W = [] (15)
Приклад. 1
, ,
V□W = .
Відгук плоскої ЦАР у випадку незалежності КВВ від напрямку приходу сигналів і проведення 2-координатних (наприклад, за двома кутами) вимірів можна представити аналогічно лінійній ЦАР (12) [28]:
, (16)
де □,
A - вектор оцінок комплексних амплітуд М сигналів,
U - блок-вектор комплексних напруг приймальних каналів ЦАР,
, - матриці ПХ каналів ЦАР, відповідно в вертикальній та горизонтальній площинах, наприклад:
, ,
, - матриці КВВ, що не залежать від кутової координати, відповідно в вертикальній і горизонтальній площинах,
, - кількість просторових каналів плоскої ЦАР відповідно по вертикалі та горизонталі (див. рис.1.6),
, - кутові координати напрямку приходу m-го сигналу,
М - кількість сигналів,
□ - торцевий добуток матриць.
Крім (15), слід розглянути його транспоновану модифікацію [29]. Транспонованим торцевим добутком (ТТД) –матриці V () і –матриці W, що представлена як блок–матриця стовпців [] (W=[], ), є –матриця V■W, що визначається рівністю:
V■W = [] (17)
Приклад. 2
, ,
V■W =
Згідно [29], для (15) та (17) дійсно: □=■. В частковому випадку, коли V та W - вектори, має місце властивість:
□=, (18)
де - кронекеровський добуток.
Вираз (17) також має назву операції Khatri-Rao [29].
Матриця Р у виразі (16) при використанні ТТД має вигляд:
, (19)
де ■.
Без втрати спільності, відгук антенної решітки можна розвинути на випадок трьох, чотирьох і більше координат (параметрів). При цьому буде змінюватися лише представлення матриці Р, що дуже спрощує застосування та узгодження відомих однокоординатних процедур у більш складних завданнях.
0 комментариев