Переходные процессы в колебательных контурах

Академия России

Кафедра Физики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лекция

Переходные процессы в колебательных контурах

      Орел 2009

Содержание

 

Вступление

Переходные колебания в параллельном контуре

Свободные колебания в параллельном контуре

Режимы переходных колебаний в колебательных контурах

Переходные колебания при гармоническом воздействии

Литература

Вступление

Колебательные контуры составляют значительную часть аппаратуры связи. Они могут выполнять самые различные функции: например, участвовать в выделении гармонических колебаний из последовательности видеоимпульсов, в формировании прямоугольных импульсов заданной длительности и др. На практике довольно распространен случай, когда на контур действует прямоугольный импульс (рис. 1).

Рис. 1

Если предположить , то нетрудно видеть, что при  в контуре будет наблюдаться режим переходных колебаний, а с момента  – свободные колебания за счет запасенной реактивными элементами энергии. Рассмотрим оба этих случая на примере параллельного контура.

Переходные колебания в параллельном контуре

Пусть на параллельный контур, находящийся при ННУ, в момент  действует перепад тока величиной . Требуется определить реакцию – временную зависимость напряжения на контуре (рис. 2а).

а) б)

Рис. 2

Для нахождения  воспользуемся операторной схемой замещения, показанной на рис. 2,б. Найдем :

где  – есть коэффициент затухания;

 – частота собственных незатухающих колебаний.

Воспользуемся таблицей соответствий (Л.0.1, стр. 222):

,

где  – частота собственных затухающих колебаний.

График имеет вид:

Рис. 3

Свободные колебания в параллельном контуре

Пусть в момент  в схеме, показанной на рисунке 4а гасится источник тока . Требуется определить временную зависимость напряжения на контуре.

Примечание: Такая задача возникает после окончания действия прямоугольного импульса (рис. 1) на контур.

  

а) б) в)

Рис. 4

Для определения начальных условий изобразим эквивалентную схему (рис. 4б) для момента времени, непосредственно предшествующего коммутации. При этом для постоянного тока индуктивность представляется коротким замыканием, а емкость – обрывом цепи. Легко видеть, что до момента гашения весь ток источника будет проходить через индуктивность. Поэтому , .

В операторной схеме (рис. 4б) индуктивность отображена схемой замещения с источником тока. Нахождение здесь  отличается от предыдущего случая (рис. 2б) лишь направлением операторного источника тока. Следовательно, можно записать:

.

График данной зависимости будет зеркальным отображением зависимости (*), полученной для переходного процесса (рис. 5).

Рис. 5

Можно показать, что аналогичные результаты получаются при анализе переходных и свободных колебаний в последовательном контуре.

Отметим две особенности полученных выражений:

– во-первых, колебания носят гармонический характер, на что указывает множитель гармонической функции ;

– во-вторых, амплитуда полученных колебаний изменяется во времени по экспоненциальному закону .

Очевидно, что вид графиков найденных функций будет зависеть от величины коэффициента затухания  и его соотношения с  поскольку последним определяется величина .

Поэтому в зависимости от  и  различают несколько режимов колебаний. Рассмотрим их подробней применительно к параллельному контуру.

 

Режимы переходных колебаний в колебательных контурах

Ранее было получено выражение для напряжения на контуре при ступенчатом воздействии:

,

где .

Для удобства изложения последующего материала выразим коэффициент затухания и частоту , через добротность:

.

В зависимости от величины  (или добротности ) будем различать четыре режима колебаний: колебательный, квазиколебательный, критический и апериодический.

а) Колебательный режим.

Этот режим получается в контуре без потерь (идеальный контур), т. е. в чисто теоретическом случае:  .

Выражение  принимает вид:

.

График полученного выражения показан на рисунке 6.

Рис. 6

 

б) Квазиколебательный режим.

Режим, который используется в подавляющем большинстве случаев.

Он получается при  .

Для построения графика (рис. 7) используем выражение:

,

где  – амплитуда напряжения, убывающая по экспоненциальному закону.

Рис. 7

Длительность переходных колебаний может быть найдена из условия, что амплитуда напряжения будет менее 5% от своего максимального значения, т. е.:

, откуда .

Отсюда можно сделать вывод, что чем выше добротность контура  (или чем меньше полоса пропускания ), тем более длительным будет переходный процесс.

Частота затухающих колебаний , однако это отличие незначительно. Действительно при средней добротности (), например , имеем: .

в) Критический режим.

Он возникает, когда  .

В этом случае  и получается неопределенность .

Раскроем ее:

.

Выражение для  принимает вид:

.

График этой функции начинается и заканчивается нулем, не пересекает ось времени. Исследуем его на экстремум:

.

Экстремальные точки найдем из условия:

,

при этом:

.

График напряжения в рассматриваемом режиме показан на рисунке 8.

Рис. 8

г) Апериодический режим.

Такой режим получается при  (), откуда следует, что  будет комплексной и не имеет физического смысла. График напряжения при этом будет менее выраженным, чем при критическом режиме (пунктир на рисунке 8).

Вывод: изменяя добротность контура (например, с помощью шунтирующего сопротивления) можно изменять длительность и вид колебательного процесса.

Задание: Самостоятельно начертить график квазиколебательного процесса при воздействии на контур прямоугольного импульса.

 

Переходные колебания в параллельном контуре при гармоническом воздействии

Пусть на параллельный контур с резонансной частотой  (рис. 9,а) находящийся при нулевых начальных условиях, в момент  действует гармоническое колебание, частота которого совпадает с :

.

Требуется определить закон изменения напряжения на контуре.

Задачу решим в операторной форме, для чего перейдем к схеме замещения, показанной на рисунке 9,б.

а) б)

Рис. 9

По таблице соответствий воздействие  имеет изображение:

.

Определим операторную проводимость контура:

,

где  и  определены ранее.

По закону Ома в операторной форме имеем:

.

Поскольку в таблице соответствий нет нужной формулы для перехода во временную область, то данное выражение следует преобразовать.

Для этого воспользуемся теоремой разложения и методом неопределенных коэффициентов. Представим правильную дробь 4‑го порядка в виде суммы двух правильных дробей 2‑го порядка:

,

где , , ,  — коэффициенты, подлежащие определению.

Если данное выражение привести к общему знаменателю, раскрыть скобки в числителе и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях , то получим систему 4‑х уравнений с 4‑мя неизвестными.

Решая систему уравнений имеем: ; ; .

Теперь полученное выражение можно записать в виде:

и использовать таблицу соответствий.

По таблице соответствий находим оригинал:

.

Предполагая, что контур имеет добротность, при которой ,  и, пренебрегая произведением  как очень малой величиной, получим:

.

Из формулы следует, что процесс установления гармонического напряжения в контуре до амплитудного значения  происходит не мгновенно, а за конечное время, определяемое множителем .

Если процесс установления колебаний в контуре считать законченным при достижении напряжением величины более 95% от максимальной, то можно определить :

; .

 Видно, что время установления зависит от добротности контура: чем выше добротность, тем дольше происходят в контуре переходные процессы. На рисунке 10 показаны графики переходных колебаний при различных добротностях контура.

Рис. 10

В радиотехнических устройствах (например, в радиоприемниках) на параллельный контур обычно действуют гармонические колебания в виде радиоимпульсов с прямоугольной огибающей.

При этом чтобы напряжение на контуре достигло своего максимального значения, необходимо выполнять условие: .

Отсюда, зная длительность радиоимпульсов, можно рассчитать минимальную полосу пропускания контура:

, или его добротность: .

Литература

Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1986,

 Шалашов Г. В. Переходные процессы в электрических цепях. – Орел: 1981