Содержание

1. Возникновение переходных процессов и законы коммутации

2. Способы получение характеристического уравнения

3. Особенности переходных процессов в цепях с одним реактивным элементом

4. Переходные процессы в цепях с двумя разнородными реактивными элементами 5. Временные характеристики цепей 6. Расчет реакции линейной цепи на входное воздействие произвольного вида с применением временных характеристик цепи

Список используемых источников


1. Возникновение переходных процессов и законы коммутации

Для изучения темы реферата необходимо знать расчет установившихся режимов, т.е. таких, когда все токи и напряжения либо постоянные, либо периодически повторяющиеся функции времени, но в любой схеме могут происходить подключения и отключения ветвей (происходит коммутация). Обозначают коммутацию: . В линейных цепях коммутация считается идеальной, т.е.:

1) ключ представляет собой либо разрыв, либо провод;

2) длительность перехода из одного состояния в другое равна нулю. Момент времени сразу после коммутации обозначают  либо , а момент времени непосредственно перед коммутацией соответственно обозначают , . После коммутации цепь стремится под действием источников схемы прийти к новому установившемуся режиму, но для этого ей требуется время. Процессы, происходящие в цепи после коммутации, называются переходными процессами.

Почему этот переход не может произойти мгновенно? Дело в том, что в цепи имеются элементы L и C, в которых запасается определенная величина энергии WL=L2/2 и WC=Cu2/2 соответственно. В новом установившемся режиме будет другой запас энергии, и, т.к. скорость изменения энергии есть подводимая к элементу мощность, получается, что требуется конечное время на изменение этого запаса энергии (т.к. источников бесконечной мощности в реальной цепи нет). Из выражения для WL и WC и того факта, что в цепях не развивается бесконечная мощность, вытекают два фундаментальных условия, без которых невозможно рассчитать ни один переходной процесс – это законы коммутации.

Получим их:


,

т.к. P, L - конечное число, L- конечное число, то  - скачка быть не может. Отсюда вытекает один из законов коммутации: ток в индуктивности не может измениться скачком, поэтому при коммутации: . Дифференцируя dWC/dt, приходим ко 2-ому закону коммутации: напряжение на ёмкости не может измениться скачком, поэтому при коммутации: . Т.к.  = LL, , то можно использовать и такие функции: , .

Про остальные величины, в том числе и про скорость изменения любых токов и напряжений при коммутации заранее ничего не известно и их приходится рассчитывать. Т.к. и форма изменения токов и напряжений неизвестна, приходится использовать самые общие выражения: , . Тогда уравнения, описывающие цепь после коммутации, оказываются дифференциальными. В линейной цепи – это линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ). Существуют различные методы решения таких уравнений, и соответственно различают различные методы расчета переходных процессов.

2 Способы получение характеристического уравнения

Классический метод

Классический метод основан на решении ЛДУ методом вариации произвольных постоянных. Любая система ЛДУ может быть сведена к одному уравнению n –ого порядка. В цепях по схеме после коммутации порядок определяется так: n = nL + nC– nОК – nОС , где nL– число L; nC– число C; nОК – число особых контуров, т.е. таких, которые состоят только из емкостей и источников ЭДС; nОС – число особых сечений (в простейшем случае, это узлы схемы, к которым подключены только ветви с источником тока или с индуктивностями).

Решение уравнения представляют в виде суммы частного решения неоднородного уравнения (ЛНДУ) и общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ). Частное решение определяется видом правой части уравнения. В цепях в правой части уравнения стоят источники энергии схемы после коммутации. Физический смысл частного решения уравнения в цепях – это новый установившийся режим, к которому будет стремиться схема после коммутации под действием источников. Поэтому частное решение ЛНДУ называют принужденной составляющей режима. Общее решение ЛОДУ физического смысла не имеет. В противоположность принужденной составляющей, его называют свободной составляющей переходного процесса. Свободная составляющая записывается в виде суммы слагаемых, число и вид которых определяются корнями характеристического уравнения.

После записи решения необходимо рассчитать произвольные постоянные, вошедшие в выражение общего решения. Это можно сделать, если известны начальные условия. Начальные условия – это значения искомой функции времени и необходимого числа её производных по времени в начале переходного процесса, т.е. при t=0.

Все начальные условия делят на две группы:

- независимые начальные условия, это L(0) и uC(0), которые находятся по законам коммутации, с помощью вычисленных ранее L(0-) и uC(0-) в схеме до коммутации;

- все остальные начальные условия – зависимые. Их приходится искать из цепи после коммутации в переходном режиме по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений при t=0 с помощью независимых начальных условий. Имея необходимое число начальных условий и рассматривая решение и его производные по времени в момент , получают систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) из которой находят произвольные постоянные.

В соответствии с изложенным, порядок расчета переходного процесса классическим методом может быть таким:

1) рассматривают установившийся режим схемы до коммутации и находят L(0-) и uC (0-);

2) рассматривают цепь после коммутации в новом установившемся режиме и находят принужденную составляющую переходного процесса;

3) тем или иным способом получают характеристическое уравнение и находят его корни в соответствии с которыми определяют вид свободной составляющей;

4) записывают решение в виде суммы принужденной и свободной составляющих.Если характеристическое уравнение n – ого порядка, то формируется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) n - ого порядка, включающая (n-1) производную решения. Переписывают СЛАУ для ;

5) рассматривают цепь после коммутации в переходном режиме; рассчитывают необходимые начальные условия (ННУ);

6) подставляют ННУ в СЛАУ при  и находят произвольные постоянные;

7) записывают полученное решение.

Способы получения характеристического уравнения

Существуют различные способы получения характеристического уравнения.

Если цепь описывается всего одним уравнением, то его алгебраизируют: d/dt заменяют на p, dt заменяют на 1/p, правую часть обращают в ноль и получают характеристическое уравнение.

Если режим в цепи описывается системой из нескольких уравнений, то методом подстановки их сводят к одному и поступают точно также как описано выше (обычно так не делает).

Универсальный способ

Систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи после коммутации алгебраизируют и составляют определитель системы, и приравняв его к нулю, получают характеристическое уравнение.

Воспользуемся этим способом.

Пусть схема после коммутации имеет вид:

, ,

Если в схеме нет управляемых источников и взаимных индуктивностей, то проще всего поступить так: в схеме после коммутации все источники заменить их внутренним сопротивлением, вместо индуктивности L написать pL, вместо емкости C написать .

а) Если в полученной схеме нет ветви без сопротивления, томожно разомкнуть любую ветвь полученной пассивной схемы и относительно точек разрыва записать выражение для нахождения .

б) Если в полученной схеме есть ветви без сопротивления, то размыкать надо именно ту ветвь, в которой ищется переходный ток или напряжение и относительно точек разрыва записывают .

Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Для рассмотренного выше примера получим:

Выражение для свободной составляющей содержит столько слагаемых, сколько есть корней, а слагаемые имеют такой вид:

а) каждому простому вещественному корню  соответствует слагаемое .

Если два корня, то процесс апериодический.

б) двум комплексно-сопряженным корням:  и  соответствует A1ePx1 t +A2ePx2 t, где A1, A2 – получаются комплексными числами, причем комплексно-сопряженными числами. Поэтому с помощью формулы Эйлера этот результат можно записать в другом виде (где не будет j): .

По этому выражению не очень удобно строить графики. Используя формулы тригонометрии его можно преобразовать (либо в sin, либо в cos): Ce-t sin(ct+1)=De-tcos(c t+2) – затухающий во времени гармонический процесс – колебательный процесс.

в) среди корней есть m одинаковы[ (если таких корней два, то переходный процесс называется критическим).

;

Пример: Дано: E=40В, R1=R2=400 Ом, L=5Гн, C=5 мкФ. Найти .

1) В схеме до коммутации стоит постоянный источник, следовательно, ток в установившемся режиме постоянный.


t<0

, .

Если источник ЭДС синусоидальный, то эту часть задачи решают символическим методом.

2) Рассчитывают новый установившийся режим, находят принужденную составляющую.

t

Видно, что после коммутации в схеме есть только постоянный источник ЭДС и поэтому в принужденном режиме – постоянный ток.

.

3) получают характеристическое уравнение

.

4) записывают решение

5) определяют начальные условия

Для схемы после коммутации записывают систему уравнений по законам Кирхгофа. Число этих уравнений больше, чем число неизвестных, однако при t=0, известны все iL(0) и uC(0), поэтому при добавлении этих независимых условий из полученной при t=0 системы можно найти все остальные зависимые начальные условия, например, методом подстановки.

При решении надо выразить значения токов и напряжений в момент t=0, их производные по времени в момент t=0 через параметры элементов схемы и независимые начальные условия.

Например, для нашей задачи:

В нашей задаче для расчета  надо найти 2 начальных условия, т.к. имеем 2 корня характеристического уравнения и 2 произвольные постоянные, поэтому надо знать R(0) и R(0).

Из (1):

,

Из (3):

 

,

.

6) расчет произвольных постоянных

В нашем случае:

При :

Тогда из (1)

Из (3)(2)

Ответ: , А.


Информация о работе «Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях»
Раздел: Физика
Количество знаков с пробелами: 25162
Количество таблиц: 1
Количество изображений: 24

Похожие работы

Скачать
7499
0
4

... математических методов, связанных с описанием и анализом типичных явлений, протекающих именно в электротехнических устройствах. 1 Применение преобразования Лапласа и его свойств к расчету переходных процессов Этот метод основан на преобразовании Лапласа. Пусть f(t) – оригинал, а F(p) – изображение этого оригинала по Лапласу. Для сокращения применяют такие обозначения: f(t)F(p), F(p)= Прямое ...

Скачать
4275
4
9

... синусоидальному току, т.е для t≥0 ;  заменяем на р и выражение приравниваем к нулю: (1/с);  (рад/с). 4) С помощью законов коммутации находим начальные условия переходного процесса: (А); (В). Подставляя эти значения в систему (6) при t=0, получаем: (В/с) (А/с) 5) Определим постоянные интегрирования, для этого составим систему уравнений. Первое уравнение системы – это ...

Скачать
11192
17
20

... i(t) либо постоянная величина i0, либо синусоидальные токи in, то для их определения применяют известные методы расчета цепей постоянного и переменного синусоидального токов.   Рассчитать формы и спектры сигналов при нелинейных преобразованиях Исходные данные: U0=0,5 В, U1=1 В, Um=1,5 В, S=16 мА/В, T=11 мкс 1.  Рассчитаем угол отсечки θ в радианах и градусах cos θ= ...

Скачать
7587
0
20

... для изучения последующих дисциплин и для специальности радиоинженера в целом. Значение комплексного коэффициента передачи цепи, временных характеристик линейных цепей и методов анализа переходных процессов в линейных цепях, необходимо для изучения основных методов расчета радиотехнических устройств (спектрального, временного и операторного). Овладение этими методами позволяет выбирать в каждом ...

0 комментариев


Наверх