Расчет тока в линейных проводах и разветвленной цепи

Задача 1. Расчет разветвленной цепи постоянного тока с одним источником энергии

 

Условие задачи. В электрической цепи, изображенной на рисунке, определить токи в ветвях, напряжение на зажимах и составить баланс мощности. Значения сопротивлений резисторов и ток в ветви с сопротивлением r₂.

I₂ = 12A; r₁ = 8Ом; r₂ = 7Ом; r₃ = 9Ом; r₄ = 7Ом; r₅ = 6Ом; r₆ = 15Ом.

Решение:

Преобразуем цепь к эквивалентной.

Сопротивления r₄ и r₅ соединены параллельно, поэтому их можно заменить сопротивлением

Схеме будет иметь вид:

Сопротивления r₂ , r_4,5 и r₆ соединены последовательно. Следовательно их можно заменить сопротивлением

Схема будет иметь вид:

Сопротивления r₃ и r_2,4,5,6 соединены параллельно, поэтому заменяем их сопротивлением :

Схема имеет вид:

Сопротивления и соединены последовательно, поэтому общее сопротивление цепи:

Эквивалентная схема:

Ток в ветви с r₂ известен, соответственно, ток через сопротивления r_4,5 и r₆ такой же, т.к. эти элементы соединены последовательно. Поэтому I₆ = I₂ = 12A. Падение напряжения на этих сопротивлениях (по закону Ома ):

Токи через сопротивления r4 и r5 :

Т.к. r₃ и r_2,4,5,6 соединены параллельно, то падение напряжения на r₃ такое же, как и на r_2,4,5,6.

Ток через сопротивление r₃;

Т.к. U_2,3,4,5,6 = U₃ = U_2,4,5,6 , то ток через сопротивление r_2,3,4,5,6 равен:

Т.к. r₁ и r_2,3,4,5,6 соединены последовательно, то

Следовательно напряжение на зажимах:

Составляем баланс мощности:

Различия получившихся значений составляет:

 , что вызвано ошибками округления.

Следовательно, в пределах ошибок вычислений, полученные величины совпадают

Ответ: I1 = 45,183A ; I2 = 12A ; I3 = 33,641A ; I4 = 5,539A ; I5 = 6,462A; I6 = 12A ; U =664,235B

Задача 2. Расчет разветвленной цепи постоянного тока с несколькими источниками энергии

 

Условие задачи. Для разветвленной электрической цепи, требуется:

– на основе законов Кирхгофа составить уравнения для определения токов (решать систему уравнений не следует);

– определить токи в ветвях схемы методом контурных токов;

– определить режимы работы активных ветвей и составить баланс мощностей.

Е₁ = 70В; Е₂ = 190В; r₁ = 1Ом; r₂ = 4Ом; r₃ = 25Ом; r₄ = 18Ом; r₅ = 24ОМ; r₆ = 22Ом.

Решение:

1)  укажем направления токов во всех ветвях схемы. Контуры I, II и III будем обходить по часовой стрелке.

В данной схеме 4 узла; 6 ветвей. Следовательно, по 1-му закону Кирхгофа можно составить 6 – 4 + 1 =3 ур-я. Имеем:

I₁ – I₄ – I₅ = 0

I₃ + I₄ – I₆ = 0

I₂ – I₁ – I₃ = 0

По 2-му закону Кирхгофа составляем 6 – 3 = 3 ур-я.

- E₁ = I₁ * r₁ + I₄ * r₄ – I₃ * r₃

O = I₅ * r₅ – I₆ * r₆ – I₄ * r₄

E₂ = I₂ * r₂ + I₃ * r₃ + I₆ * r₆

используем метод контурных токов. Полагаем, что контурные токи текут в в контурах I, II и III по часовой стрелке. Поэтому получим:

Подставляя числовые значения, получим систему:

Решаем данную систему по формулам Крамера:

Т.о.

Следовательно, токи в ветвях равны:

2)  определим режим работы активных ветвей

для источника Е₁ направления движения ЭДС и тока I₁ не совпадают, поэтому ветвь работает в режиме потребителя; для Е₂ – направлены одинаково ветвь работает в режиме генератора.

 

Баланс мощности:

Задача 3. Расчет разветвленной цепи синусоидального переменного тока

 

Условие задачи. В цепи переменного тока, заданы параметры включенных в нее элементов, действующее значение и начальная фаза ψ _U напряжения, а также частота питающего напряжения f = 50 Гц .

f = 50 Гц; U = 380B; ψ _U = 15⁰; r₁ = 8Ом; L₁ = 26мГн; C₁ = 200миФ; r₂ = 12Ом; r₃ = 5Ом; L₂ = 31мГн; L₃ = 12мГн; C₂ = 200миФ; C₃ = 250миФ.

Решение

1)  Запишем сопротивления ветвей в комплексной форме.

Объединяя С₃ и r₃ в одну ветвь, имеем:

Найдем комплексное значение полного сопротивления на участие с параллельным соединением

Общее сопротивление всей цепи:

2)  напряжение источника в комплексной форме:

Тогда ток в неразветвленной части цепи:

Напряжение на участие с параллельным соединением ветвей:

Токи в параллельных ветвях цепи:

Для ветви с r₂, L₂ и С₂ имеем:

Для ветви с параллельным соединением r₃ и С₃:

Для отдельно рассматриваемых r₃ и С₃ получим:

3)  мгновенные значения напряжения на участие цепи с параллельными соединением:

Для токов в ветвях имеем:

Неразветвленная часть цепи:

Для ветви с r₂, L₂ и С₂:

Для ветвей с параллельным соединением r₃ и С₃:

Для отдельно рассматриваемых r₃ и С₃:

4)  строим векторную диаграмму по расчетным значениям токов и напряжений при этом учитываем, что

 

 

5)  полная мощность источника:

 ;

где  - сопряженное комплексное значение тока.

Активная мощность равна действительной части комплексного значения полной мощности: Р = 9402,9 Вт ; а реактивная – мнимой части : Q = =5739,5вар.

6)  баланс мощности

 , Различие вызвано ошибками округления

 , вызвано ошибками округления

Итог: задача решена верно.

 

Задача 4. Расчет трехфазной цепи переменного тока

 

Условие задачи. К трехфазному источнику с симметричной системой фазных напряжений подключены сопротивления, распределение которых по фазам. Значения линейного напряжения Uл, активных r, индуктивных Х_L и емкостных X_C сопротивлений приемников. При расчете цепи пренебрегаем сопротивлением линейных и нейтрального проводов.

Требуется: 1) нарисовать схему соединения приемников в звезду с нулевым проводом; 2) определить токи в линейных и нейтральном проводах; 3) определить активную и реактивную мощности, потребляемые цепью; 4) построить векторную диаграмму; 5) включить эти же элементы приемника по схеме треугольника, определить фазные и линейные токи.

Вариант 1

Uл = 380В

Фаза А: r 1 = 6 Ом

Фаза В: r 2 = 6 Ом ; xL2 = 6 Ом

Фаза С: r 3 = 3 Ом ; xС3 = 5 Ом

Решение:

1)  Схема соединения в звезду с нулевым приводом:

2)  напряжения в фазах приемника в комплексной форме:

; ; ;

где

Модули и фазы сопротивлений:

;  

При соединении приемников в звезду токи линейные равны токам фазным, и определяются по закону Ома:

Ток в нейтральном проводе определяется по первому закону Кирхгофа:

3)  определяем активную и реактивную мощности, потребляемые системой.

Где U_i и I_i –действующие значения токов и напряжений; ψ_i – сдвиг фаз между U и I.

Т.к. ;  , то

;  

 ;  

Следовательно,

Полная мощность:

4)  векторную диаграмму строим по найденным значениям токов и напряжений.

Ток

5)  при соединении нагрузки в треугольник для фазных напряжений имеем:

Токи в фазах приемника по закону Ома:

Токи в линейных проводах равны:

Из сравнения линейных токов для соединения в звезду и треугольник видно, что при соединении токи в в линейных проводах увеличиваются.