Расчёт электрических цепей

ЗАДАНИЕ № 1

 

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

В соответствии с вариантом, заданным двумя последними цифрами шифра, указанного в зачетной книжке, выписать из табл. 1.1 и 1.2 условия задачи и выполнить следующее:

1.  Начертить схему электрической цепи с обозначением узлов и элементов ветвей, соблюдая требования ЕСКД.

2.  Определить и составить необходимое число уравнений по законам Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.

3.  Определить токи ветвей методом контурных токов и узловых потенциалов и свести их в таблицу.

4.  Проверить результаты расчетов по уравнениям баланса мощностей.

5.  Определить ток в первой ветви методом эквивалентного генератора.

Таблица 1.1

Сопротивления резисторов, Ом. Э.д.с. источников в В и тока в А
R1	R2	R3	R4	R5	R6	Е1	E2	Е3	Е4	E5	J6
5	6	7	8	9	10	21	22	23	24	25	1

УСЛОВИЯ К ЗАДАНИЮ № 1.

Таблица 1.2

ЛОГИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Схема электрической цепи
a(R1 +R3Ē3bR4)cR2Ē2d(R6Ĵ6b+R5)а

РЕШЕНИЕ:

Электрическая схема:

Дано: = 5 Om;  = 6 Om;  = 7 Om;  = 8 Om;

 = 9 Om;  = 10 Om;

E2= 22 B; E3 = 23B; J =1A.

Для нахождения количества контуров упростим схему:

Подставим вместо источника J эдс ER6= 1А·

Определим количество узлов и контуров.

Узлов = 4;

Контуров =4.

Составим необходимое количество уравнений по законам Кирхгофа.

По первому закону n = У -1 =3;

По второму n = К =3.

Общее количество уравнений N = 3+5=8.

По первому закону Кирхгофа:

Узел с:

Узел а:

Узел b:

По второму закону Кирхгофа.

Для контура 1:

Для контура 2 :

Для контура 3:

Подставим числовые значения:

Рассчитаем токи методом контурных токов(МКТ).

В данной схеме 3 независимых контура. Значит и уравнений будет тоже 2.

 , где

Подставим полученные значения в систему уравнений:

Решим уравнения и найдем контурные токи.

Выразим  из первого уравнения через , из третьего  через  и подставим во второе.

Подставим это выражение в уравнение 2,3

Составим новую систему уравнений

Выразим из первого уравнений  через

Подставим во второе уравнение

Найдем ,

Далее выразим истинные токи через контурные токи:

Определим баланс мощности

. = 72.953 Вт.

 = 73.29.

Допускается расхождение

Баланс сходится , значит расчет верен.

Определим токи во всех ветвях методом узловых потенциалов.

Выберем в качестве нулевого узла узел «с». Необходимо найти потенциалы узлов a,b,d.

Вычислим собственные проводимости этих узлов:

=

Общая проводимость этих узлов:

Находим узловые токи:

В узле «а»:

Составим систему уравнений для нахождения потенциалов узлов по методу узловых потенциалов.

Подставляем числовые значения

Решим эту систему и найдем потенциалы узлов. Выразим  из первого уравнения через .

Подставим полученный результата во второе уравнение.

=-3.22 + 0.322· - 0.133·

Подставим в третье уравнение.

=-1.734 – 0.134 + 0.344·

Запишем новую систему.

Выразим из первого уравнения через

Подставим во второе уравнение

70.7·=1015 =14.36 В

Найдем ==10.58 В.

Найдем = - 0.17 В. Рассчитаем токи

Как видно, токи, полученные методом контурных токов и методом узловых потенциалов примерно равны. Погрешности объясняются округлением результатов вычислений.

Определение тока методом эквивалентного генератора. Найдем ток .

Определим токи в ветвях этой схемы методом контурных токов.

Найдем  и  и выразим через них истинные токи в ветвях этой схеме.

=

Внутреннее сопротивление эквивалентного источника равно входному сопротивлению относительно выводов « ac» пассивного двухполюсника.

Преобразуем схему

Тогда

Окончательная схема имеет вид

По закону Ома:

ЗАДАНИЕ № 2

 

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО

СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Выписать из табл. 2.1 и 2.2 условия задания и выполнить следующее.

1.  Начертить схему электрической цепи, соблюдая требования ЕСКД.

2.  Составить уравнения по законам Кирхгофа для токов в интегро-дифференциальной и символической формах.

3.  Применить один из методов расчета линейных электрических цепей. Опре­делить комплексные действующие токи во всех ветвях цепи. Записать выра­жения для мгновенных значений токов. Частота тока во всех вариантах

4.  ƒ= 400 Гц.

5.  Построить топографическую диаграмму для цепи, совмещенную с векторной диаграммой токов.

6.  Обозначить произвольно начала двух катушек в любых двух ветвях и преду­смотрев взаимную индуктивную связь М между ними, записать уравнения, составленные по законам Кирхгофа в интегро-дифференциальной и в символической формах.

7.  Определить показания ваттметра цепи.

P=R_e

УСЛОВИЯ К ЗАДАНИЮ №2.

Таблица 2.1

ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЦЕПИ

L1 L2 L3 мгн			С1 С2 С3 мкф			R1 R2 R3 Ом			Й1 Еs2 Й2 Еs2 Й3 ES3 В/град						г, Гц
7	8	7	5	4	5	2	0	8	14/45	20/0	10/60	50/30	50/0	18/90	400

Таблица 2.2

ЛОГИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Схема электрической цепи
a(Ē1"R1L1+Ē2"C2+Ē3'L3R3C3)b

РЕШЕНИЕ:

Исходные данные

= 2 Ом; ;

 =0,007 Гн;  =0,007 Гн;

 =4 мкФ;  =5 мкФ;

; ;.

Составим уравнения по законам Кирхгофа в интегро-дифференциальной и символической формах. Направление токов выберем произвольно.

Перейдем от мгновенных значений ЭДС к комплексам действующих значений.

𝛚=2∙р∙f=2∙3.14∙400=2513.27 рад/с

Интегро-дифференциальная форма.

Комплексная форма.

Где

=2+j17.59=17.7∙

= - j∙99.47=99.47∙

=8 – j61.98=62.5∙

3. Определим комплексные действующие токи во всех цепях.

Применим метод узловых потенциалов. Найдем проводимости цепей.

Пусть , тогда по методу двух узлов(частный случай метода узловых потенциалов) имеем:

.

Теперь рассчитаем токи.

Проверим уравнения, составленные по законам Кирхгофа.

1) 

2) 

()∙( - j∙99.47)=-16.47-J17.675

3) 

(

4) 

Как видно, все уравнения сошлись.

4. Векторная диаграмма, совмещенная с топографической.

Найдем потенциалы остальных точек.

1) 

2) 

3) 

Небольшие неточности в неравнозначности  связаны с погрешностями расчетов.

Построим диаграмму.

5. Взаимоиндукция.

Обозначим начала катушек и запишем уравнения, составленные по законам Кирхгофа. M – взаимоиндукция.

1) 

2) 

3) 

В символической форме:

1) 

2) 

3) 

6. Определить показание ваттметра.

P=Re[=

P=U·I·==8.178 Вт.

ЗАДАНИЕ № 3

 

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Выписать из табл. 3.1 и 3.2 условия задания и выполнить следующее:

1.  Начертить схему электрической цепи с обозначением узлов и элементов ветвей.

2.  Рассчитать переходный процесс классическим и операторным методами: т.е. определить для тока в одной из ветвей и для напряжения на одном из элементов ветвей в функции времени.

3.  Построить графики переходных процессов в функции времени.

4.  Определить энергию, рассеиваемую на одном из резисторов цепи в переходном процессе.

Примечание: символу « K » соответствует разомкнутое состояние ключа до коммутации.

Таблица 3.1

ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЦЕПИ

R1  Ом	R2 Ом	R3 Ом	L1 мгн	C1 мкф	L2 мгн	C2 мкф	Е В
10	2	40	100	10	10	5	12

Таблица 3.2

ЛОГИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Схема электрической цепи

a(L1 R1+ER3+KC1)b

РЕШЕНИЕ:

Исходные данные:

R1 =10 Ом; R3=40 Ом ;

E1=12 В; С=10мкФ;

L=100 мГн.

1. Расчет классическим методом. 1)  Расчет режима до коммутации (при t = 0_ )

 i₁(0_) = i₂(0_)=

i₃ (0_)=0

u_c(0₊)= 0

 по независимым начальным условиям( законам коммутации):

i₂(0₊)= i₂(0_)=

u_c(0₊)=u_c(0_)=0

2)  Составим характеристическое уравнение

Z(p)==

Подставляем числовые значения:

40·10^-5·0.1·p²+(40·10·10^-5·+0.1)p+50=0

4·10^-5·p²+0.104·p+50=0

Найдем корни уравнения:

P1,2=

P1-636.675c-1

P2-1963.325c-1

Корни действительные и разные, значит переходной процесс будет апериодическим.

3)  Запишем свободную составляющую тока i₂

i_{2 св}(t)=A₁ ·+A·,

где А_1, А₂ – постоянные интегрирования.

<, поэтому экспонента с показателем p₂t будет заухать быстрее, чем с показателем p₁t.

4)  Расчет установившегося режима после коммутации.

i₂ пр = i₁ пр=

i_{3 пр}=0

u_{c пр}= i_{2 пр}·2.4В

5)  Свободные составляющие токов напряжений при t=0₊ найдем как разницу между переходными и принужденными величинами.

i_2св (0₊)= i₂ (0₊) - i_{2 пр}= 0.24-0.24=0

u_{c св} (0₊)= u_c (0₊)- u_{c пр}=0-2.4=-2.4В

по второму закону Кирхгофа для свободны составляющих:

L

=

6)  Определим постоянные интегрирования по начальным условиям

Подставим в эти уравнения при

Из первого уравнения имеем А₁=-А₂

Подставим это выражение во второе и получим А₂

-·p₁+

 A

 A

7)  Ток i₂(t) найдем как сумму его принужденной и свободной составляющих.

 (t)=+ = A₁ ·+A₂·=0.24 -0.0180912·, А

Для проверки подставим в это уравнение , получим  ()=0.24А, что совпадает с расчетом по п.1.

2. Расчет операторным методом.

 

Определим

Расчет режима до коммутации:

1)  Начальные условия:

2)  Составим систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа.

Выразим из 2 уравнения , из 3 -  и подставим в первое.

Т.к. , то

Подставим числовые значения.

Найдем корни уравнения .

Корни действительные и разные. Значит, переходной процесс будет апериодическим.

3)  Для перехода от изображения к оригиналу воспользуемся формулой разложения для простых корней.

В соответствии с этой формулой ток  будет равен:

Напряжение

4)  Определим энергию, рассеивающуюся на  при переходном процессе. Переходной процесс заканчивается примерно при T=4t, где t – наименьший по модулю корень характеристического уравнения.

5)  Построим графики переходных процессов.

Для тока

Для