Расчет линейной электрической цепи

Введение

В данной курсовой работе исследуется линейная электрическая схема, содержащая динамические элементы. Производится расчёт токов в ветвях электрической цепи до и после коммутации методом контурных токов и методом узловых напряжений, рассчитывается баланс мощностей в цепи до коммутации. Перед произведением всех расчётов по току линеаризуется вольт – амперная характеристика нелинейного элемента (резистора). В процессе расчётов цепи методами контурных токов и узловых потенциалов выясняется какой из методов является наиболее удобным и почему. Исследуется переходный процесс в динамическом элементе классическим и операторным методами. Осваивается метод расчета параметров четырёхполюсника, рассчитывается передаточная функция по заданной координате. Анализируются применяемые методы расчёта переходного процесса в динамических элементах, их достоинства и недостатки. Приобретается опыт применения ПЭВМ.

1 Расчет линейной электрической цепи в схеме до коммутации

1.1 Вольт - амперная характеристика нелинейного элемента

Исходные данные:

Еm1 = 208 В; Еm2 = 115 В; j1 = -60°; j2 = 30°; R1 = 90 Ом; R2 = 75 Ом; R4= 90 Ом;

R3 = 60 Ом; L1 = 24 мГн; L2= 28 мГн; С1 = 5,33 мкФ; С2 = 5 мкФ; f = 350 Гц.

Искомая функция – U_L

Таблица 1 - ВАХ нелинейного элемента

Рисунок 1 – схема электрическая

Для удобства расчета электрической цепи производится линеаризация ВАХ нелинейного элемента. По исход­ным данным таблицы 1 строится ВАХ. Далее через точку (0;0) пересекая нелинейную характеристику проводится прямая так, чтобы расстояние Dх в точке, соответствую­щей напряжению 140 В, и Dх в точке, соответствующей на­пряжению 70 В, были равны между собой. Точка пересече­ния прямой и нелинейной характеристики будет точкой, для которой определяется статическое сопротивление не­линейного элемента.

R_CT = (m _U / m _I ) · tg α, , ( 1. 1 )

где m _U - масштаб напряжения (в одном сантиметре D Вольт);

m _I - масштаб тока (в одном сантиметре С Ампер);

α - угол между прямой и осью тока.

График ВАХ нелинейного элемента представлен в приложении А. По графику определяется

m _U = 10 В/см; m _I = 0,1 А/см; α = 55 °.

По формуле (1.1) определяют

R_CT = (10/ 0,1) · tg 55 ° = 142 Ом.

В дальнейших расчетах сопротивление нелинейного элемента принимается равным R_НЭ = 142 Ом.

1.2 Подготовка данных для ввода в ПЭВМ

1.2.1 Расчет электрической цепи методом контурных токов

Рассматриваетсясхема до коммутации в соответствии с рисунком , при этом элемент каждой цепи заменяется на эквивалентное комплексное сопротивление в соответствии с рисунком 2

Рисунок 2 – схема замещения

Задаетсянаправление тока в цепи. Расчитывается количество независимых контуров по формуле

k = m – (n – 1),

где m – количество ветвей, m = 6;

n – количество узлов, n = 4.

К=6-(4-1)=3

Следовательно в схеме замещения задают направления трех контурных токов. Рассчитывают значение комплексных сопротивлений и ЭДС.

ω = 2 ^. π ^. f = 2 ^. 3,14 ^. 350 = 2198 (с^-1) ;

Z₁ = R₁ = 90 Ом;

Z₂ = R₂ + jX_L2 = R₂ + ωL₂= 75+j2198 * 28 * 10^-3= 75 + j61,544 Ом;

Z₃ = R₃= 60 Ом;

Z₄ = - j Х_C2 = - j = -j = -j 90,99 Ом;

Z₅ = - j Х_C1 = - j= -j = -j 85,36 Ом;

Z₆ = R_н =R_ст = 143 Ом;

Е₁ = Е_m1^. (cos φ₁ + j sin φ₁) = 208 ^. (cos (-60°) +j sin (-60°)) =

= 104 - j 180,13 (В);

Е₂ = Е_m2^. (cos φ₂ + j sin φ₂) = 115^. (cos 30° + sin 30°) = 99,59 + j57,5 (В).

Схема, в соответствии с рисунком 2, используется для построений матрицы при расчете токов и напряжений методом контурных токов, который заключаются в том, что на оснований второго закона Кирхгофа вместо токов в ветвях сначала определяется контурные токи, замыкающиеся в контурах.

Если ток n-ой ветви присутствует в контуре и совпадает по направлению с контурным током, то на пересечении ветви и контура ставится 1. Если ток в ветви не совпадает по направлению с контурным током ставится -1. Если контурный ток не проходит через какую-либо ветвь, ставится 0. Таким образом получают матрицу С.

_{. . . . . .}

I₁ I₂ I₃ I₄ I₅ I₆

I₁₁ 1 0 0 1 1 0

I₂₂ 0 1 1 1 0 0

I₃₃ -1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 1 0

С = 0 1 1 1 0 0

-1 1 0 0 0 1

Полученные значения Z, E матрицы С вводятся в ПЭВМ. Чтобы проверить точность расчёта токи и напряжения в ветвях определяют ещё одним методом – методом узловых потенциалов, который заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа определяется потенциалы в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла, потенциал которого равен нулю. Падение напряжения на какой – либо ветви равно разности узловых потенциалов на концах этой ветви, а произведение этого напряжения на проводимости ветви равного проходящему через неё току.

1.2.2 Расчет электрической цепи методом узловых потенциалов

Схеме в соответствии с рисунком 2, заменяется на эквивалентность. Вместо комплексных сопротивлений используется комплексные проводимости, а источники напряжения заменяется источниками тока.

Рисунок 3 – Схема эквивалентная

Определяется величины по формуле

Y=1/Z;

Y₁= = = 0,011111

Y₂= =

Y₃= =

Y₄=

Y₅=

Y₆=

Находятся токи, вырабатываемые источниками

I=E/Z.

I₁= (A)

В схеме, в соответствии с рисунком 3, обозначают узлы и выбираются базисные узлы (4 узел), потенциал которого равен нулю U₄ = 0. Составляются матрицы, в которой строки соответствуют узлам, столбцы – токам в ветвях.

_{. . . . . .}

I₁ I₂ I₃ I₄ I₅ I₆

1 узел -1 0 0 0 1 -1

2 узел 1 1 0 -1 0 0

3 узел 0 -1 1 0 0 1

_{. . . . . .}

I₁ I₂ I₃ I₄ I₅ I₆

-1 0 0 0 1 -1

D = 1 1 0 -1 0 0

0 -1 1 0 0 1

Если ток входит в узел, то записывается в матрице 1, если ток выходит из узла – -1, если ток отсутствует по отношению к рассматриваемому узлу, записывается 0. В результате получают матрицу D.

1.3 Баланс мощности электрической цепи

Баланс мощностей рассчитывается в схеме до коммутации, в соответствии с рисунком 1. Задача состоит в необходимости доказать, что мощность, вырабатываемая источниками равна мощности, потребляемой нагрузкой.

.

,

где E₁, E₂ – комплексные значения э.д.с.,

. .

I₁, I₂ – сопряжённые значения к комплексным значениям токов I₁, I_2.

Потребляемая мощность представляет собой сумму активной и реактивной мощностей:

S_потр = P_акт + jQ_реакт , для которой

P_акт. = R₁I_m4²+R₂ I_m6²+ R₃ I_m2²+ R_cт I_m1²

jQ_реакт = I² m₅X_C1 + I² m₄X_C2 + I² m₂X_L,

_.

где I_m = I_max определяется по формуле I_m =, ток I₁ = a + jb берется из приложения Б.

P_aкт = 90 (0,097 + 0,027) + 75 (0,662 + 0,512) +

+60 (0,0015 + 0,874) + 142 (0,599+0,047) = 11,1 + 88 + 52,5 + 91,7 = 243,3

jQ_реак = 61,5 (0,662 + 0,512) – 90,99 (1,267+ 0,779) – 85,36 (1,181 + 0,002) =

= 72,2 – 186,1 – 100,9 = - 214,8

S_потр =243,3 - j214,8

Из расчетов видно, что мощность вырабатываемая источником равна мощности потребляемой нагрузки

2 Расчет токов и напряжений в цепи после коммутации

2.1 Расчет электрической цепи методом контурных токов

В схеме, в соответствии с рисунком 1, производится коммутация, т. е. размыкается ключ, при этом схема имеет следующий вид.

Рисунок 4 – Схема электрическая

Для данной схемы составляется замещение, в соответствии с рисунком 5.

Рисунок 5 – Схема замещения

Для схемы замещения определяется значения сопротивлении z₁^’, z₂^’, z₃^’

Z₁^’ = R_НЭ;

Z₂^’ = R₁ + R₂ + j ωL₂;

Z₃^’= - j;

Z₁^’ = 143 Ом;

Z₂^’ = 90 + 75 + j61,54 = 165+j61,54 Ом ;

Z₃^’ = 60- j85,36

В схеме, в соответствии с рисунком 5, задаются направления обхода контурных токов.

В соответствии с рисунком 4, m=3, n=2 где - m число ветвей, n – число узлов.

К=3-(2-1)=2

Аналогично схеме в соответствии с рисунком 2, для соответствии с рисунком 5, составляется матрица С.

С= 0 1 -1

1 1 0

Значения Z и Е_экв, матрицы С вводятся в ПЭВМ для расчета токов в цепи после коммутации.

2.2 Расчет электрической цепи методом узловых потенциалов

Схеме в соответствии с рисунком 5 заменяют на эквивалентную, представленную на рисунке 6.

Рисунок 6 – схема эквивалентная

Для данной схемы в соответствий с рисунком 6, определяется значение проводимостей у₁^’, y₂^’, y₃^’

Составляется матрица D, используя сведения описанное в пункте 1.2.1 для методов узловых потенциалов.

D = -1 1 1

Значения Y_экв, I_экв, матрица D вводятся в ПЭВМ. При расчете токов в цепи после коммутации двумя методами значения токов должны совпадать. Результаты представлены в приложении Б. Полученные результаты используется в дальнейших расчетах.

3 Расчет переходного процесса в электрической цепи

3.1 Расчет электрической цепи классическим методом

На рисунке 7 представлена исходная схема после коммутации.

Рисунок 7 – схема электрическая после коммутации

Переходный процесс в разветвлённой цепи описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, общее решение которых находится как сумма принуждённой и свободной составляющих.

В приложении Б представлены токи в ветвях. В соответствий с рисунком 7 через индуктивность проходит ток I₂, значение которого определяется в приложении Б.

I₂= 0,036 + j0,621

Значение тока I₂ записывается в синусоидальной форме

i_L(t) = I_m Sin(wt + j),

i_L(t) = i_Lпр(t)

I_m = ,

j = arctg

I_m = ,

j = arctg

i_L(t) =0.619 Sin(wt + 1.51),

U_прL(t)=38.09 cos(wt+1.51)

Свободная составляющая представляют собой общее решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений. Для получения характеристического уравнения составляется система уравнений по законам Кирхгофа, в соответствии с рисунком 7.

,

,

.

Производится замена jwL = qL, =и записывается система однородных уравнений:

,

,

.

Данная система уравнений имеет решение, отличное от нуля, если определить системы равен нулю т.е:

1 1 -1 142 1 1 -1

D = 0 = 0 =

0 142 142 0

= - (18420+1,68q + + 5253 + 23430 + 3,97q) = -5,65 – 47103 -

Определитель приравнивается к нулю, таким образом получается характеристическое уравнение второго порядка

5,65q² + 47103q + 57,59 * 10⁶ = 0

Находятся корни характеристического уравнения

D = 2218692609 – 1301534000 = 917158609

q₁=

q₂=

Для действительных отрицательных корней решение однородного дифференциального уравнения имеет следующий вид:

i_Lсв(t) = A₁e^q1t + A₂e^q2t .

где, А₁ и А₂ постоянные интегрирования, которые определяется из начальных условий.

q₁ и q₂ - корни характеристического уравнения

Для нахождения постоянного интегрирования рассматривается система уравнении.

i_L(-0) = i_Lпр + A₁ + A₂,

i_L¢(-0) = i_Lпр¢ + q₁A₁ + q₂A₂.

Ток на индуктивности i_L(0) на основании первого закона коммутаций равен току на индуктивности. В соответствии с рисунком 2 определяется ток I₂ до коммутации и приложение Б.

I₂= 0,813 + j 0,716

Выражение I₂ записывается в синусоидальной форме

I_m = ,

j = arctg

i_L(-0) =1,0803 sin(wt + 0,715),

при t=0

i_Lпр(t)=1,083* sin(2380t+ 0,715)

i_L(-0) =1 ,083* sin(0.715)=0.71

i_L¢(-0)=2380 * 0,754 = 1796

i_Lпр(0)=0,619*0,998=0,62

i_Lпр¢(0)= 1360,5 * 0,052=71

U_L(-0)=66.65*cos(wt + 0,715),

При известных значениях i_L(-0), i_L¢(-0), i_Lпр(0), i_Lпр¢(0), q₁, q₂ система уравнений примет вид:

0,71=0,62+A₁+A₂

1796 = 71 – 1488 A₁ – 6848 A₂

A₁=0,09 – A₂

1796= 71 – 134 + 1488A₂ – 6848 A₂

1859 = - 5360 A₂

A₂ = -0,35

A₁ = 0,44

Зная величинуi_Lсв , находится U_Lсв

U_L(t)=L

График переходного процесса, рассчитанного классическим методом , представлен в приложении В.

3.2 Расчёт электрической цепи операторным методом.

Рисунок 8 – эквивалентная операторная схема в режиме после коммутации

В данной схеме задаются направления двух контурных токов.

К=m-(n-1)=3-(2-1)=2

Данная формула справедлива для действительных и комплексных корней.

Составим уравнения по методу контурных токов и запишем полученную сиcтему уравнений в матричном виде:

Составится матрица сопротивлений и находится определитель

D = =

=69075 + 225 pL₂ +

Определитель приравнивается к нулю и определяется корни характеристического уравнения. При это полученные корни p₁ и p₂ должны быть равным, получившимся в классическом методе.

5.65 p² + 47103p + 57.59 *10⁶=0

p₁= -1488

p₂=-6848

Затем определяется определитель D₁

D₁ =

Значение И_с(-0) и i_L(-0) в данных выражениях берутся из приложении Б при t=0 . В схеме до коммутации

И_с(-0) = I₁*X_c1= (0.312 + j0.166) * (-j85.36)= 14.16 – j 26.6

И_m =

j = arctg

U_c(-0) =30.15 sin(wt – 1.082)=-26.6,

i_L(-0) =0.71

D₁ = = =

D₂ = = =

Затем вычисляются контурные токи:

;

Так как изображения имеет сложный вид, используется теорема разложения

,

График переходного процесса , рассчитанного операторным методом представлен в приложении Г.

4 Определение параметров четырехполюсника

Рассматривается четырехполюсник относительно зажимов ЭДС в схеме в соответствии с рисунком 4

Рисунок 9 – схема четырехполюсника

Рисунок 10 – схема замещения

,

.

Где - обратный коэффициент передачи по напряжению, рассчитывается в режиме холостого хода на выходе.

проводимость передачи от входа к выходу, рассчитывается в режиме холостого входа при разомкнутом выходе.

сопротивление передачи от входа к выходу при коротком замыкании выхода.

обратный коэффициент передачи по току, рассчитывается в режиме короткого замыкания на выходе.

4.1 Передаточная функция

Рисунок 12 – схема замещения

Передаточная функция тока:

Модуль этих комплексных отношений представляет собой, амплитудно - частотную характеристику, а их аргументы – фаза – частотную характеристику четырехполюсника.

АЧХ:

ФЧХ:

Заключение

В данной курсовой работе был подробно изучен переходный процесс, методы расчета переходного процесса, определение параметра четырехполюсника, правила построении АЧХ и ФЧХ.

В разделе 1.2 курсовой работы были изучены и применены на практике методы расчета токов и напряжении (метод контурных токов и метод узловых потенциалов). Расчеты проводились с использованием ПВЭМ.

В разделе 1.3 курсовой работы рассчитывается баланс мощности, потребляемой нагрузкой и вырабатываемая активными элементами цепи. Приблизительно равно этих двух значений доказывает справедливость закона баланса мощностей и верность расчетов.

В разделе 3 осуществляется переходного процесса классическим и операторным методом. В обоих случаях расчета переходного процесса были одинаковые и комплексно сопряженные корни р₁ и р₂ характеристического уравнения. Это доказывает правильность расчетов обоих методов.

В разделе 4 и 4.1 были рассчитаны параметры четырехполюсника и найдена передаточная функция по току, используя которую получили графическое изображение АЧХ (см. Приложении Д) и ФЧХ (см. Приложении Е).