Линии напряженности точечных зарядов

3.9 Линии напряженности точечных зарядов

а) поле положительного заряда

б) поле отрицательного заряда

в) поле двух разноименных зарядов			г) поле двух одноименных зарядов

 

Теорема Гаусса

 

Поток вектора напряжeнности электрического поля

Поток вектора для однородного поля

Для

Здесь - вектор нормали к поверхности S.

 

Поток вектора через бесконечно малую площадку в неоднородном поле

Как и в (4.1.1):

Поток вектора через произвольную поверхность в неоднородном поле

 

Поток пропорционален числу силовых линий

Ф пропорционален числу линий напряженности, проходящих через площадь S (3.3) и (3.8)

Поток вектора через сферу (для поля точечного заряда).

Заряд - в центре сферы

На поверхности сферы поле постоянно по величине (3.7):

.

В любой точке сферы поле направлено перпендикулярно ее поверхности, т.е.

.

Из (4.13):

Мы получили, что:

.

 

Заряд в произвольном месте внутри сферы

.

Поток Ф пропорционален числу силовых линий, проходящих через сферу, а их число не изменяется при изменении положения заряда внутри сферы, т.е. поток тоже будет постоянным:

.

 

Поток вектора поля точечного заряда через "измятую" сферу - произвольную поверхность

Число проходящих через "измятую" сферу силовых линий не изменилось, т.е.

.

Эта формула верна для потока вектора Е поля точечного заряда, расположенного ВНУТРИ замкнутой поверхности произвольной формы.

"Измятая" сфера:

Поток вектора Е поля системы зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности

Т.к. (3.6) , то по (4.1.3) и (4.2.3) Для произвольного числа зарядов N: - алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности, делённая на ε0.

Поток вектора Е для поля, созданного зарядами, находящимися вне замкнутой поверхности

Силовая линия дважды проходит через замкнутую поверхность, один раз она учитывается со знаком "+", другой раз - со знаком "-". В результате поток в этом случае Ф = 0.

Формулировка теоремы Гаусса

Из (4.2.4) и (4.2.5) следует, что поток вектора напряженности электрического поля через ЛЮБУЮ замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, деленной на ε0:

Из (4.1.3) , тогда теорема Гаусса запишется так:

 

Применение теоремы Гаусса для вычисления полей

Теорема Гаусса:

S - любая замкнутая поверхность, - сумма зарядов внутри S. Применяя теорему Гаусса, мы должны:

а) САМИ выбрать конкретную гауссову поверхность S, такую, чтобы интеграл по этой поверхности легко считался. Затем найти ;

б) посчитать сумму зарядов внутри выбранной нами S;

в) приравнять результат полученный в пункте а), к результату, полученному в пункте б), деленному на ε₀.

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

а) выбор гауссовой поверхности: куда может быть направлено - только по нормали к плоскости! Значит, S надо выбрать так, чтобы вектор был либо параллелен ей (Е_n=0), либо перпендикулярен (Е_n=E).

Этим условиям удовлетворяет, например, "гауссов ящик", изображенный на рисунке.

б) считаем Σq_i внутри "гауссова ящика": очевидно,

;

в) приравниваем результат, полученный в пункте а), к результату пункта б), деленному на ε₀:

.

Выражаем E: .

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости однородно.

 

Поле плоского конденсатора

 

По 3.6. .

Т.к. , то по 4.4.1 .

Поле однородно заряженного бесконечного цилиндра

- линейная плотность заряда.

Применяя теорему Гаусса, получим:

, при r > R.

Поле однородно заряженной сферы

Применяя теорему Гаусса (9.4.4.) , получим: при r > R. Если r < R, то E = 0.

Поле объемного заряженного шара

 

- объемная плотность заряда q- суммарный заряд шара

Применяя теорему Гаусса (4.4.), получим:

Работа электростатического поля

из (3.5).

Из (5.3.2), (5.3.3):

.

 

Работа электрического поля точечного заряда

Пусть Е создается точечным зарядом q, тогда из (3.7)

;

,

из (5.3.3):

.

 

Потенциал - энергетическая характеристика поля

Потенциал электростатического поля в точке r равен отношению потенциальной энергии пробного точечного заряда q', помещенного в данную точку, к величине этого заряда q'.

,

φ - не зависит от q'!

 

Единица потенциала - 1 вольт (1 В)

.

Разность потенциалов, связь с работой

Из (5.7): . Из (9.6): ; ;

φ₁ - φ₂ - разность потенциалов, .

 

Потенциал поля точечного заряда

Из (5.1)

.

Из (.6.2)

.

Значит, потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q:

,

здесь мы полагаем, что на бесконечности потенциал φ равен нулю.

Потенциал поля системы точечных зарядов

В общем случае:

,

здесь q_i - алгебраические величины.

 

Электрон-вольт - внесистемная единица работы

;

Проводник в электрическом поле

Проводник. Заряды в проводнике способны перемещаться по его объему под действием сколь угодно малой силы (свободные заряды).

Чаще всего эти заряды - электроны, у них:

Масса электрона очень мала, поэтому электроны перемещаются очень быстро.

Так, при Е = 1 В/м расстояние S = 1 м электрон пройдет в вакууме за

.

В проводнике, из-за столкновений с ионами, средняя дрейфовая скорость электронов порядка 1мм/с, но скорость распространения электрического поля с=3·10⁸ м/с.

 

Условия равновесия зарядов на проводнике

Равновесие - .

Внутри проводника

 (объем проводника эквипотенциален)

На поверхности проводника на заряд может действовать сила, направленная по нормали к поверхности, т.е.

- на поверхности, сама поверхность (7), (.8) - эквипотенциальная.

 

Проводник во внешнем электрическом поле

Мысленный опыт:

Однородное электрическое поле напряженностью

Мгновенно внесли в поле металлический параллелипипед. Электроны под действием силы начинают двигаться против поля.

Через очень малое время часть электронов сместится к левой грани параллелепипеда, на правой - положительные ионы. Перераспределившиеся заряды создают поле E', направленное навстречу E0. Когда величина E' сравняется с Е0, тогда результирующее поле в проводнике E = E0 - E' = 0, перераспределение электронов закончится.

Электроемкость уединенного проводника

Заряд q1 создаёт на уединённом проводнике потенциал φ1.

Заряд q2= 2q1 создаёт на том же проводнике потенциал φ2= 2φ1.

Значит,

.

Таким образом:

- постоянная для данного проводника величена.

С - электроемкость уединенного проводника.

.

Единица емкости - фарада, Ф.

Электроемкость конденсатора

Конденсатор - это два проводника, обычно плоской цилиндрической или сферической формы, расположенные на небольшом расстоянии друг от друга. Проводники, обкладки конденсатора, заряжают разноименными зарядами, равными по абсолютной величине:

.

Емкость конденсатора:

.

 

Электроемкость плоского конденсатора

Плоский конденсатор - это две плоские пластины расположенные на небольшом расстоянии друг от друга.

Поле плоского конденсатора было рассмотрено в разделе (4.4.2)

По (7): по (4.4.2): по (4.4.1):

Из (11):

 

Энергия электрического поля

(4.4.1)

Рассмотрим движение пластины с зарядом q- в поле пластины с зарядом q+.

q₊ = q_- = q, .

Напряженность поля пластины q₊:

 (4.4.2).

Работа по перемещению пластины q_- (5.3.1):

См. (3.5)

Поле  в объеме ΔV исчезло, значит работа A₁₂ совершена за счет убыли энергии поля:

.

В единице объема поля запасена энергия:

,

где

.

 

Плотность энергии электрического поля в вакууме

 

В случае неоднородного поля: , и энергия электрического поля в объеме V:

.

 

Энергия заряженного конденсатора

Энергия электрического поля плоского конденсатора, как следует из (12), равна

,

здесь V=Sd - объем конденсатора.

Из (7) для однородного поля следует, что

,

здесь разность потенциалов φ₁ - φ₂ обозначена буквой U. В результате для энергии электрического поля получим:

.

Эта формула верна для конденсаторов любой формы. Таким образом, энергия заряженного конденсатора:

 

.

здесь

С - емкость конденсатора, U - разность потенциалов на его обкладках.

Электрическое поле в диэлектрике

 

Диэлектрик

Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, прочно связаны друг с другом и под действием внешнего поля могут лишь немного смещаться в противоположные стороны.

Два типа диэлектриков - полярные и неполярные

Полярные - центры "+" заряда и центры "-" заряда смещены, например, в молекуле воды H₂O.

Модель полярного диэлектрика жесткий диполь:

Дипольный момент молекулы:

.

Неполярные диэлектрики - центры распределения "+" и "-" зарядов совпадают, молекула (атом) симметричны. Например, атом водорода. У него в отсутствии поля центр распределения отрицательного заряда совпадает с положением положительного заряда. При включении поля положительный заряд смещается в направлении поля, отрицательный - против поля:

модель неполярного диэлектрика - упругий диполь:

Дипольный момент этого диполя пропорционален электрическому полю

.

 

Поляризованность диэлектрика (вектор поляризации) - это дипольный момент единицы объема:

.

- дипольный момент одной молекулы.

У диэлектриков любого типа

.

α - диэлектрическая восприимчивость (безразмерная величина).

 

Пластина диэлектрика в плоском конденсаторе

На следующих рисунках изображен плоский конденсатор без диэлектрика (рис. а) и с диэлектриком (рис. б). В конденсаторе без диэлектрика поле E₀ создается свободными зарядами, т. е. зарядами, находящимися на пластинах конденсатора. В конденсаторе с диэлектриком поле E в объеме, занятом диэлектриком, является разностью двух полей: поля свободных зарядов (E₀) и поля связанных зарядов (E'):

Поле в диэлектрике

.

Выразим σ' через вектор поляризации (13.2)

.

- дипольный момент пластины диэлектрика, - объем пластины.

Тогда

.

С другой стороны (13.2),

.

В результате

,

откуда: поле в однородном и изотропном диэлектрике

в 1 + α раз меньше, чем поле в вакууме Е₀.

Обозначим

- диэлектрическая проницаемость.

В однородном изотропном диэлектрике, свойства которого не зависят от направления в пространстве (изотропность), электрическое поле ослабляется в ε раз:

.

Эта формула справедлива для аморфных, некристаллических диэлектриков. В кристаллах ситуация значительно сложнее.

Постоянный электрический ток

Электрический ток - это упорядоченное движение электрических зарядов, в металле - электронов.

Ток, не изменяющийся со временем, называют постоянным.

 

Сила тока

.

За время dt переносится заряд dq.

.

Единица силы тока - ампер.

Плотность тока

, dI - сила тока, проходящего через площадку dS1.

Связь плотности тока и скорости упорядоченного движения зарядов

За время dt через площадку dS пройдут заряды, отстоящие от нее не дальше чем на vdt. Заряд dq, прошедший за dt через dS: ,  где q0 - заряд одного носителя;  n - число зарядов в единице объема;  dS·v·dt - объем.

Сила тока:

.

Плотность тока (2):

.

Вектор направлен как и вектор .

 

ЭДС источника

Для поддержания постоянного замкнутого тока при наличии сил, тормозящих движение носителей, необходимо компенсировать носителям заряда потери энергии, т.е. совершать над ними работу.

Работа электростатического поля (6.2) по замкнутой траектории:

.

φ₁ = φ₂, если траектория замкнута.

Следовательно, эту работу должны совершать силы неэлектрического происхождения, сторонние силы.

ЭДС - это

.

где q - заряд, над которым сторонние силы совершили работу A_ст.сил.

.

Единица ЭДС - такая же, как и единица потенциала - вольт.

 

Закон Ома для участка цепи

,

R - сопротивление проводника.

.

Единица сопротивления - Ом.

Для однородного проводника длиной l и сечением S:

,

ρ - удельное сопротивление (из таблиц).

.

 

Закон Ома в дифференциальной форме

Закон Ома (4) для элементарного объема проводника.

См. (7)

Используя (2) получим:

	,	где	.
	Закон Ома в дифференциальной форме		Удельная проводимость

 

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

Количество тепла, выделяемое в элементарном объеме с сопротивлением R при прохождении тока I в течении времени dt:

Найдем		-	закон Джоуля-Ленца.
		-	плотность мощности.

-

закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

См. (2), (4), (5).

 

Закон Ома для неоднородного участка цепи

 

Неоднородный участок - участок, содержащий ЭДС.

Работа при перемещении заряда dq из точки 1 в точку 2: , где dq(φ1-φ2) - работа сил поля (6.2), dq ε12 - работа сторонних сил (3).

dA₁₂ переходит в джоулево тепло I²Rdt (6):

,

 (10.1),

.

Закон Ома для неоднородного участка цепи:

.

МАГНЕТИЗМ Магнитное поле в вакууме

Движущийся заряд - источник магнитного поля, индикатор магнитного поля - другой движущийся заряд

Заряд q1- создает в точке, удаленной на расстояние r, электрическое поле напряженностью (3.7): , и магнитное поле с индукцией . На заряд q2 действуют две силы: - электрическая, см. (3.5), - магнитная сила, или сила Лоренца, см. (7). Если q2 неподвижен, на него действует ТОЛЬКО .

 

Проводник с током создает только магнитное поле, другой проводник с током реагирует только на магнитное поле

Проводник с током I1 электрически нейтрален (Σqi=0) и не создает вокруг себя электрическое поле, только магнитное. Проводник с током I2 не реагирует на электрическое поле, т.к. он не заряжен (Σqi=0), на проводник с током действует сила только со стороны магнитного поля.

Рамка с током как регистратор магнитного поля. Вектор магнитной индукции

В этом положении на рамку действует максимальный вращающий момент. Модуль вектора магнитной индукции пропорционален максимальному вращающему моменту: .

Вращающий момент (1)

.

Направление вектора совпадает с направлением положительной нормали к рамке.

Вектор связан с направлением тока I правилом правого винта.

В этом положении рамка в равновесии.  [B] - Тл, единица магнитной индукции - тесла .

 

Линии магнитной индукции:

а) замкнуты, т.к. в природе нет магнитных зарядов;
б) вектор В направлен по касательной к линии магнитной индукции;
в) густота линий магнитной индукции пропорциональна модулю вектора (сравните с 3.8).

Закон Био-Савара-Лапласа

Направление плоскости , в которой лежит и и определяется правилом правого винта: винт установить плоскости и и вращать от к , поступательное движение винта покажет направление - магнитного поля, созданного элементом проводника с током I.

Модуль вектора :

.

Применение закона Био-Савара-Лапласа для нахождения магнитного поля прямого тока

Независимо от положения на проводнике все направлены в одну сторону - от нас. Значит, - без векторов!

Из 4:

Для бесконечного проводника α₁ = 0, α₂ = π, Сos α₁ - Сos α₂ = 2  

.

Теорема о циркуляции вектора В

 

Циркуляция вектора В по произвольному контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, помноженной на μ₀.

Циркуляция вектора - это интеграл вида:

Интеграл берется по замкнутому контуру.

 

Циркуляция для плоского контура, охватывающего бесконечный прямой проводник с током

Из (11.4.1):

Ток за контуром

При обходе контура 1 через 3 к 2 поворачивается по часовой стрелке, от 2 к 1 через 4 - на тот же угол против часовой стрелки. В результате

 

Формулировка теоремы о циркуляции

Пусть контур произвольной формы охватывает произвольное число токов. В этом случае теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора по некоторому (произвольному!) контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, умноженной на μ, т.е.

.

Например:

Ток I₄ в сумму не входит!

Применение теоремы о циркуляции для вычисления магнитного поля бесконечно длинного соленоида

 

Соленоид - провод, навитый на цилиндрический каркас. На один метр длины - n витков.

Выберем такой контур, как на рисунке, т.к. из соображений симметрии вектор может быть направлен только вдоль оси соленоида.

Тогда

.

1) В интервалах от точки 2 до точки 3 и от точки 4 до точки 1 стороне контура, значит В_l = 0.

2) Тогда:

.

3) Можно показать, что вне бесконечного соленоида B=0, т.е.

.

Значит:

,

т.к. внутри соленоида B = B_l = const, то

.

По теореме о циркуляции (5.4)

.

Откуда магнитное поле бесконечного соленоида:

.

Направлено вдоль оси соленоида, в соответствии с правилом правого винта.

Магнитное поле тороида

Тороид - провод, навитый на тор (бублик). Контур для вычисления циркуляции - окружность радиуса r, центр еe - в центре тороида. Из соображений симметрии направлен по касательной к контуру, т.е. Вl = В.Тогда . По теореме о циркуляции: , , R - радиус тора.

Магнитное поле тороида:

.

Вне тора поле = 0 (докажите!)

При r/R ≈ 1, B = μ₀nI, (сравните с 5.5).

 

Закон Ампера

По закону Ампера на элемент проводника с током I, помещенного в магнитное поле, действует сила , которая определяется следующим образом. Направлен вектор в соответствии с правилом правого винта: винт установить  и , вращать от к , поступательное движение винта укажет направление .

 

Сила Лоренца - это сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся в нем заряд

См. (2), (2.1)

n-концентрация носителей.

Сила Ампера (6) есть сумма сил Лоренца.

Сила Лоренца

.

Направление силы Лоренца для положительного заряда совпадает с направлением векторного произведения , для отрицательного - противоположно ему.

 

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

7.1.1

Линии индукции направлены за чертеж, В = const.

Ускорение, по (6)

,

нормальное ускорение.

Из (10.1)

.

Частица движется по окружности такого радиуса: .

Время одного оборота:

.

Т не зависит от v!

 

Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток)

 

Повторить (4.1)

 

Для однородного

 

Поток вектора через бесконечно малую поверхность в неоднородном поле

 

Поток вектора через произвольную поверхность в неоднородном поле

 

Явление электромагнитной индукции состоит в том, что любое изменение магнитного потока Ф, пронизывающего замкнутый контур, вызывает появление индукционного тока в контуре.

 

Закон Фарадея - Ленца

Закон Фарадея-Ленца утверждает, что

ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком.

Знак минус напоминает о правиле Ленца:

индукционный ток имеет такое направление, чтобы создаваемое им магнитное поле препятствовало изменению магнитного потока.

 

Электронный механизм ЭДС индукции

На рисунке изображена рамка с подвижной стороной. Магнитное поле направлено от нас.

Тянем подвижную сторону со скоростью . На заряд +q действует сила Лоренца

,

перемещающая заряд на расстояние l и совершающая работу (5.3.1):

.

ЭДС ε (3):

.

Найдем e по закону Фарадея (10.1):

.

Подвижная сторона рамки "заметает" за время dt площадь dS = lvdt, тогда

.

Результат тот же, значит:

Электронный механизм возникновения ЭДС индукции - это работа компоненты силы Лоренца.

 

Самоиндукция

 

Контур с током I по (4) создает В ~ I, по (9.3) - магнитный поток Ф через контур пропорционален току I.

Можно записать связь между потоком и током:

,

здесь L - индуктивность контура, [L] = Гн (генри).

Если I ≠ const, I = I(t), то Ф = Ф(t), и возникает ЭДС индукции, по (10.1)

,

если L = const, то

.

Магнитное поле в веществе

Магнитная проницаемость - это отношение магнитной индукции B в веществе к магнитной индукции в вакууме B₀.

.

 

Классификация магнетиков

μ < 1, не зависит от температуры	-	диамагнетики (вода, медь, графит, кварц) ,
μ > 1, зависит от температуры	-	парамагнетики (алюминий, платина, натрий) при T ≈ 300 K,
μ >> 1, зависит от температуры и нелинейно от поля B0	-	ферромагнетики (железо, никель, кобальт) для Fe, при T ≈ 300 K, при

Диамагнетики - по закону Фарадея-Ленца при внесении в магнитное поле любого вещества в атомах вещества возникают внутренние токи, создающие магнитное поле , направленное навстречу внешнему полю . В результате поле в веществе ослабляется. Если в веществе кроме этого отсутствуют другие магнитные эффекты, то оно будет диамагнетиком. Диамагнетизм проявляется у вещества, атомы которых не имеют собственного магнитного момента (8.1.1.),

 

Парамагнетизм проявляется у веществ, атомы которых имеют собственный магнитный момент. Магнитные моменты атомов выстраиваются по полю .

Тепловые колебания атомов нарушают ориентацию магнитных моментов.

 

Ферромагнетизм - объясняется самопроизвольным упорядочением спиновых магнитных моментов электронов в пределах областей спонтанного намагничивания (доменов).

В пределах одного домена магнитные моменты электронов ориентированы в одном направлении. Магнитные моменты разных доменов в отсутствии внешнего поля ориентированы по разному, так, чтобы энергия созданного ими поля была минимальная:

а)

При включении внешнего поля расширяются за счет соседей те домены, которые ориентированы по полю:

б)

в)

Затем переориентируются оставшиеся домены, и ферромагнетик намагничивается до насыщения:

г)

В результате этого зависимость поля в ферромагнетике от переменного внешнего поля имеет вид петли гистерезиса, которую изображают в осях B-H.

Вектор называется вектором напряженности магнитного поля. Он носит вспомогательный характер, силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции  Связь между векторами и записывается следующим образом:

.