Народження граничного циклу подвоєного періоду

2. Народження граничного циклу подвоєного періоду.

Досліджуючи стійкість станів, що відповідають ситуації 1, можна прийти до наступної картини. У результаті біфуркації втрати стійкості граничного циклу у фазовому просторі динамічної системи народжується інваріантний тор. Як і для гамільтонових систем, істотним моментом тут є відношення частот руху уздовж меридіана тору й уздовж його осі. Якщо відношення ірраціональне, тобто не може бути представлене як m/n, де m и n цілі числа, то фазова траєкторія всюди щільно покриває тор. У іншому випадку, тобто при раціональному відношенні частот, у фазовому просторі виникне граничний цикл, що розташований на торі. Поведінка системи в цьому випадку стане періодичною.

З наступною зміною параметра й у фазовому просторі багатомірної динамічної системи може відбутися втрата стійкості двовимірного інваріантного тору й народження тривимірної тороїдальної множини. При цьому поведінка системи характеризується трьома незалежними частотами. Подальша зміна керуючого параметру може привести до послідовності біфуркацій, у результаті яких у фазовому просторі дисипативних динамічних систем виникають інваріантні тори наростаючої розмірності. В кінцевому підсумку ми приходимо до складного квазіперіодичного руху з неспіврозмірними частотами, який при дуже великому μ₀ буде виглядати як хаотичний. Вважаючи, що такий шлях розвитку хаосу дійсно можливий, Ландау і незалежно Хопф висунули гіпотезу, відповідно до якої хаотична динаміка дисипативних систем є не що інше, як рух по інваріантному тору великої розмірності. Такий тор буде займати у фазовому просторі область, що відповідає різним наборам початкових фаз, і фазова траєкторія, що намотується на нього, буде із часом проходити практично через будь-яку як завгодно малу частину цієї області.

Квазіперіодичний рух, нехай навіть із дуже більшим числом неспіврозмірних частот, не може бути названий хаотичним, оскільки для такого руху відсутнє розбігання фазових кривих, відповідальне за появу хаотичної динаміки. Крім того, варто сказати, що багатомірний квазіперіодичний притягаючий рух з більшим числом неспіврозмірних частот не є типовим і зустрічається надзвичайно рідко. Під дією завжди присутніх збурень такий рух із часом вироджується в періодичний, що відповідає появі у фазовому просторі граничного циклу, або ж руйнується й дає початок хаотичному режиму. Відзначимо також, що картина Ландау – Хопфа не підтверджується експериментально: після невеликого числа біфуркацій звичайно спостерігається різкий перехід до хаотичного руху.

Вперше на можливість руйнування тороїдальної множини, у результаті якої відбувається народження дивного атрактора, звернули увагу Д. Рюель і Ф. Такенс. Автори досліджували поводження розв’язку динамічної системи при досить загальних припущеннях щодо характеру векторного поля. Ними було показано, що якщо при зміні керуючих параметрів після трьох біфуркацій (починаючи зі стаціонарного стану) виникає трьохчастотний квазіперіодичний рух, то він нестійкий, легко руйнується, і на місці зруйнованого тривимірного тору з'являється дивний атрактор.

Зупинимося на цьому сценарії розвитку хаосу більш детально.

Нагадаємо, що кожна динамічна система, як припускалося вище, задається відповідним векторним полем V. Сукупність всіх можливих векторних полів V утворить деякий функціональний простір Ф. Кожна точка цього функціонального простору відповідає одній з можливих динамічних систем, і навпаки, кожна динамічна система відповідає єдиній точці функціонального простору Ф. Якщо злегка збурити праві частини рівняння, ми одержимо нову динамічну систему, для якої векторне поле буде близьке до вихідного.

При побудові математичної моделі будь-якого реального процесу завжди доводиться прибігати до певних спрощень, зневажати впливом малоістотних факторів і т.п. Отже векторне поле, що входить у праву частину динамічних рівнянь завжди буде відоме лише з якимсь ступенем точності, тобто в межах деякої границі V функціонального простору Ф. Тому очевидно, що якщо розглянута властивість динамічної системи не є структурно стійкою, то для реальних систем вона в експерименті спостерігатися не буде.

Теорема Рюеля й Такенса стверджує, що якщо існує векторне поле V на тривимірному торі, що відповідає трьохчастотному квазіперіодичному рухові, то в будь-якій околиці V відповідної точки функціонального простору Ф найдуться векторні поля в на тривимірному торі, що володіють дивними атракторами. Аналогічне твердження справедливе для квазіперіодичних рухів і на торах більшої розмірності. Інакше кажучи, у принципі достатньо слабко обурити праві частини системи, щоб рух із квазіперіодичного із трьома неспіврозмірними частотами перейшов в хаотичний. Однак це виконується не для всіх векторних полів.

Деякі експериментальні дані свідчать про те, що сценарій переходу до хаосу Рюэля - Такенса, очевидно, дійсно виконується для ряду систем. Були проведені експерименти по дослідженню конвекції Рэлея -Бенара в горизонтальному шарі. Зі збільшенням градієнта температури перед переходом до хаотичного руху в спектрі швидкості рідини спостерігалася спочатку одна, а потім дві незалежні частоти. Хаотичний режим, що характеризується суцільним спектром, з'являвся відразу слідом за квазіперіодичною двохчастотною течією.

Розділ 5. Застосування понять фізики відкритих систем до моделювання обробки інформації.

Знання основних закономірностей утворення структур в активних середовищах, а також у мережах, що складаються з великої кількості активних елементів, дозволяє перейти до цілеспрямованого створення розподілених динамічних систем, які формують ті або інші просторові структури. Одним з основних застосувань при цьому є завдання аналогової обробки інформації. Використання як елементів обробки інформації не окремих сигналів, а протяжних просторових структур дає можливість різко підвищити ефективність комп'ютера в проблемах розробки штучного інтелекту. Є ряд свідчень, що саме аналогові механізми лежать в основі роботи людського мозку. Людський мозок – це гігантська мережа з десятків мільярдів нервових клітин – нейронів, зв'язаних між собою відростками (дендритами й аксонами). Число зв'язків одного нейрона може досягати десятків тисяч. Завдяки роботам нейрофізіологів досить добре відомий механізм дії окремого нейрона. Нервова клітина здатна перебувати в одному із трьох дискретних станів – спокою, збудження й рефрактерності (стану незбудливості). Переходи між станами керуються як процесами всередині самої клітини, так й електричними сигналами, що надходять до неї по відростках від інших нейронів. Перехід від стану спокою до збудження відбувається пороговим методом при майже одночасному надходженні досить великої кількості імпульсних сигналів збудження. Перейшовши у збуджений стан, нейрон перебуває в ньому протягом певного часу, а потім самостійно переходить у стан рефрактерності. Цей стан характеризується дуже високим порогом збудження: нейрон практично не здатний реагувати на находжені до нього сигналів збудження. Через якийсь час здатність до збудження відновлюється й нейрон повертається в стан спокою.

Крім будови окремих нервових клітин відносно добре вивчені глобальні аспекти діяльності мозку – спеціалізація його великих областей, функціональні зв'язки між ними й т.п. У той же час мало відомо, як же здійснюється обробка інформації на проміжному рівні, у ділянках нейронної мережі, що містять усього десятки тисяч нервових клітин.

Іноді мозок уподібнюють до колосальної обчислювальної машини, що відрізняється від звичайних комп'ютерів лише значно більшим числом складових елементів. Вважається, що кожен імпульс збудження переносить одиницю інформації, а нейрони відіграють роль логічних перемикачів у повній аналогії із будовою ЕОМ. Така точка зору помилкова. Робота мозку повинна ґрунтуватися на дещо інших принципах. У мозку немає твердої структури зв'язків між нейронами, що була б подібна до електричної схеми ЕОМ. Надійність його окремих елементів (нейронів) набагато нижча, ніж елементів, використовуваних для створення сучасних комп'ютерів. Руйнування навіть таких ділянок, які містять досить велике число нейронів, найчастіше майже не впливає на ефективність обробки інформації в цій області мозку. Частина нейронів відмирає при старінні організму. Ніяка обчислювальна машина, побудована на традиційних принципах, не зможе працювати при таких великих ушкодженнях.

Сучасні обчислювальні машини виконують операції послідовно, по одній операції на такт (подібно людині з арифмометром або логарифмічною лінійкою). Число витягається з пам'яті, записується в процесор, де над ним проводиться деяка дія в відповідності з поставленою програмною інструкцією, і результат знову направляється в пам’ять. Взагалі, при виконання окремої операції електричний сигнал повинен пройти по провідниках відстань порядку розмірів центрального процесора, тому виникає обмеження на швидкодію такої обчислювальної машини.

Нехай розмір процесора дорівнює 30 см. Електричний сигнал пробігає цю відстань по металевих провідниках зі швидкістю світла за час 10^-9 с. Тому, якщо всі операції виконуються послідовно, теоретична межа швидкодії цієї обчислювальної машини становить мільярд операцій за секунду.

Аналогові машини виконують за один такт не окрему дію чи операцію, а певну їх сукупність. Сьогодні інтерес до аналогових машин відроджується. Головну увагу привертають розподілені аналогові машини, що представляють собою просторові мережі із взаємодіючих між собою елементів. "Одиницями" обробки інформації в подібних машинах є цілі просторові картини.

Вузьку спеціалізацію аналогових машин можна перебороти, наділивши їх здатністю до навчання. Розглянемо це питання докладніше. Припустимо, що в закони взаємодії між елементами, які формують мережу аналогової машини, спочатку жорстко ("фізично") вбудована тільки одна програма – програма навчання. Підкоряючись цій програмі, у процесі попереднього тренування система перебудовує свою структуру: у ній встановлюються нові або розриваються старі зв'язки між елементами мережі, модифікуються параметри, що характеризують окремі елементи, і т.д. Пройшовши навчання, ця аналогова машина здобуває здатність до вирішення деякого завдання – розпізнавання образів, що належать певному набору, або пошуку оптимального шляху (траєкторії, послідовності дій) і т.д..

В наш час отримує все більш широке визнання точка зору, відповідно до якої мозок людини (і тварин) являє собою саме аналоговий пристрій, що навчається. З експериментів, наприклад, відомо, що процес навчання в людини (і тварин) супроводжується встановленням нових синаптичних контактів між нейронами й модифікацією вже наявних синаптичних зв'язків. Установлено, що пам'ять не локалізована в окремих нейронах або невеликих групах нервових клітин. Зразки, що зберігаються в пам'яті, не губляться, а лише начебто тьмяніють при ушкодженнях окремих ділянок головного мозку.

Основний вид діяльності в людини й вищих тварин - це операції із семантичними структурами: їхнє розпізнавання, генерація, передача, перетворення й порівняння. За словами М. Мінського, «задовго до того як наші предки навчилися розмовляти, у них уже виникли спеціальні механізми мозку для уявлення об'єктів, розходжень і причин; ці механізми пізніше лягли в основу нашої мови (і граматики в тому числі)».

Всі необхідні операції із семантичними структурами повинні здійснюватися в мозку як динамічні процеси в складній розподіленій нелінійній системі. Мозок є середовищем, де семантичні структури "живуть своїм життям": еволюціонують, взаємодіють і конкурують між собою.

Всі ці питання привертають увагу насамперед через можливе практичне застосування. Не очікуючи повного з'ясування всіх питань, що відносяться до роботи мозку, можна ставити завдання побудови таких пристроїв для обробки інформації, у яких були б втілені принципи роботи мозку.

Головна тенденція в розвитку сучасної обчислювальної техніки полягає в переході до використання розподілених систем, які утворені з логічних елементів з досить простою внутрішньою структурою. Великі надії тут зв'язують із молекулярною мікроелектронікою. Сучасний рівень розвитку технології дозволяє створювати схеми із розмірами порядку розмірів полімерної молекули. Розробляються методи масового хімічного синтезу таких молекулярних елементів і способи їхнього сполучення в мережі на основі механізмів самозборки.

Однак, навіть якщо будуть остаточно вирішені проблеми технологічного характеру, на шляху до створення молекулярного комп'ютера залишається кілька принципових теоретичних проблем.

Очевидно, що пристрій молекулярних розмірів не може працювати як традиційна ЕОМ з послідовним виконанням операцій. На молекулярному рівні неможливо позбутися локальних дефектів структури, обумовлених домішками й ''дислокаціями", а також від впливу теплових флуктуацій. Все це вимагає використати схемотехніку з великою стійкістю від локальних ушкоджень. Крім того, як відзначалося вище, сам по собі послідовний характер виконання операцій уже накладає значні обмеження на швидкодію ЕОМ.

Тому молекулярний комп'ютер повинен бути заснований на принципі паралельних обчислень. З декількох сотень або тисяч молекулярних елементів можна формувати блоки, які виконуватимуть роль окремих примітивних процесорів обробки інформації, або клітинних автоматів. Мережа з таких блоків, зв'язаних між собою, формує розподілене обчислювальне середовище.

Основні труднощі, що виникають на цьому шляху, - це "криза програмування". Чим менші розміри окремих блоків і чим щільніше їхнє розміщення, тим складніше програмувати роботу такого комп'ютера. Лише в найпростіших випадках, при прямій аналоговій імітації процесів з локальними взаємодіями, що протікають в однорідних умовах, або при первинній найпростішій обробці зображень, всі елементи мережі повинні виконувати ідентичні інструкції. У наш час неможливо створити такий єдиний програмний блок, що видавав би індивідуальні інструкції для кожного примітивного процесора з молекулярними розмірами.

Вихід тут полягає у створенні систем, які були б здатні до самонавчання. У таких розподілених системах на елементному рівні жорстко запрограмована лише здатність до навчання. Пристосування подібної обчислювальної мережі до рішення конкретних завдань досягається потім у процесі індивідуального її навчання або "тренування". Всі розроблені до теперішнього часу моделі мереж, що здатні до навчання, у тій або іншій мірі засновані на спробах імітації процесів у нейронних мережах мозку. У зв'язку із цим стосовно розроблювального нового покоління обчислювальної техніки, що широко використовує принципи навчання, часто застосовують терміни "нейрокомп’ютер" або "біокомп’ютер".

Хоча найбільш адекватною базою для майбутніх нейрокомп’ютеров є молекулярна електроніка, це не виключає створення обчислювальних мереж, що навчаються, на основі традиційної напівпровідникової плівкової технології або оптоелектроніки.

Висновок

У роботі розглянуті питання, що стосуються розвитку уявлень про фізику відкритих систем, розглянуто основні галузі застосування фізики відкритих систем до аналізу складних рухомих систем, а саме атмосферних явищ, турбулентних та конвективних процесів в рідинах та атмосфері, коливних та авто коливних процесів.

Фізика відкритих систем також займається вивченням методів обробки інформації та створенням систем штучного інтелекту, самонавчаючих систем та нейронних систем обробки інформації, що являється важливим етапом у створенні комп’ютерних систем нового покоління. У майбутньому ми станемо свідками розширення застосування фізики відкритих систем у багатьох галузях життя.

Список використаної літератури.

1.  Ю.Л. Климентович. Введение в физику открытых систем. Соросовский образовательный журнал, №8, 1996, с. 109 – 116.

2.  Ю.Л. Климентович. Критерии относительной упорядоченности открытых систем. Успехи физических наук. Т. 166, 311, 1996, 1231 – 1243.

3.  В. С. Анищенко Динамические системы. Соросовский образовательный журнал, №2, 1994, с. 87 – 92.

4.  С.П.Кузнецов Динамический хаос. М.: Наука. 2001, 297 с.

5.  Р. М. Кроновер Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Пер. с англ. М.: Постмаркет, 2000, 352 с.

6.  А.Ю.Лоскутов, А.С.Михайлов Введение в синергетику. М.: Наука, 1990, 272 с.

7.  И.Пригожин, И. Стенгерс Порядок из хаоса. Пер. с англ. М.: Прогресс, 1989, 431 с.

8.  А.Л.Эфрос Физика и геометрия беспорядка. Библиотека «Квант». М.: Наука, 1982, 265 с.