Навигация
3 АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Аксиоматический метод дает возможность делать заключения и открывать законы без опоры на наблюдения и эксперименты, а посредствам логического вывода.
Пожалуй, одним из первых успешных применений аксиоматического метода стала геометрия древнегреческого математика Евклида (она появилась где-то в 330-320 гг. до н.э.). Евклидову аксиоматическую систему в общих словах можно охарактеризовать следующим образом. Изучение окружающего нас пространства дало возможность описать некоторые свойства объектов, которые получили название точка, прямая, плоскость, треугольник, круг и т.д. Несколько утверждений об этих объектах Евклид выбрал в качестве аксиом или постулатов. Их истинность, по его мнению, не нуждалось в доказательстве из-за их очевидности и легкого понимания. К числу аксиом он отнес суждения: «Через две точки можно провести только одну прямую», «Через прямую и точку вне ее может проходить лишь одна плоскость» и др. Из этих аксиом чисто логическим путем Евклиду удалось вывести все нужные геометрические утверждения и законы, которые обычно называются теоремами.
Справедливости ради нужно сказать, что доказательства Евклида (как и доказательства школьной геометрии, которую все мы изучили) сопровождаются многочисленными чертежами. И понадобилось немало времени, чтобы прийти к очевидной мысли, что чертежи не должны быть существенной частью самого процесса доказательства. Они должны либо облегчать процесс доказательства, либо помогать следить за ходом доказательства, либо, наконец, способствовать запоминанию доказательства. Этот недостаток геометрии Евклида исправил Д. Гильберт в своей книге «Основания геометрии» (1999).
То обстоятельство, что аксиоматически построенная геометрия давала чрезвычайно, простой, удобный и экономный способ установления истинности геометрических рассуждений, производило сильное впечатление. Аксиоматический метод стали пытаться применять не только в математических теориях, но даже в философии (Спиноза). Представители очень многих наук надеялись, что в конце концов многие теории с помощью аксиоматики можно довести до такого же изящества и совершенства как евклидовую геометрию. Аксиоматический метод подвергся тщательному изучению. Первые наиболее важные результаты были получены опять таки в геометрии.
Пятый постулат Евклида (его можно сформулировать так: две параллельные прямые не пересекаются, сколько бы мы их не продолжали) казался математикам менее очевидным, чем остальные. Было предпринято множество попыток доказать этот постулат, посредством вывода его из остальных постулатов евклидовой системы. Но все эти попытки потерпели неудачу. В 1923 году Н.Н. Лобачевский и в 1933 г. Бойаи построили геометрию, в которой в качестве постулата фигурировало отрицание пятого постулата Евклида, т.е. в качестве аксиомы было взято суждение о том, что через точку вне прямой можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой. Первоначально многие математики встретили неевклидовую геометрию в штыки из-за ее явного противоречия воспринимаемому физическому пространству. Однако, в 1950 г. Фр. Клейн нашел очень удачную интерпретацию (разъяснение) этой геометрии. Если под «плоскостью» понимать внутренность какого-то круга евклидовой плоскости, под «точкой» - точку этого круга, а под «прямой» - хорду его окружности, то внутри круга будут выполняться все аксиомы и теоремы геометрии Лобачевского-Бойаи. Из этих открытий были сделаны важные заключения о любой аксиоматической системе: аксиомы этой системы должны удовлетворять требованиям независимости, полноты, непротиворечивости и она не должна быть вырожденной.
Требование независимости означает, что не одна из аксиом не должна выводиться в качестве теоремы из остальных. Полнота аксиоматики какой-то теории означает, что из аксиом по правилам логики должны выводиться все утверждения этой теории. Система аксиом должна быть непротиворечивой. Из них не должно выводиться какое-то утверждение вместе со своим отрицанием. Если это случается, то по закону исключенного третьего одно из суждений обязательно ложно. Какое, установить нельзя, потому что и то и другое будет выводиться по законам логики. Наконец, система аксиом будет невырожденной, если удается найти какие-то объекты (физические или теоретические), которые описывает теория, выведенная из этих аксиом.
Но еще больше вопросов, связанных с аксиоматическим методом, возникло с открытием в XX1 веке парадоксов теории множеств. Они представляли собой рассуждения совершенно справедливые с интуитивной (содержательной) точки зрения, но тем не менее приводящие к противоречиям. Некоторые из них, например, парадокс «Лжец» были известны с древности. Напомним, что суть этого парадокса в следующем: некто говорит: «Я лгу». Если при этом он лжет, то сказанное им ложь, и, следовательно, он не лжет. Если же при этом он не лжет, то сказанное им истина, и, следовательно, он лжет. Так что в любом случае он лжет и не лжет одновременно. Однако связь парадокса «Лжец» с теорией множеств не была осознанной. Это случилось тогда, когда из аксиоматической теорией множеств, предложенной Г.Кантором и др. стали выводиться аналогичные парадоксы. Самый простой из них – парадокс Берри (2006). Суть его такова: множество всех натуральных чисел, которые могут быть названы по-русски посредством числа слогов (или букв), меньше некоторого конечного натурального числа, безусловно, конечно, следовательно, должно существовать наименьшее из чисел, которые не могут быть так названы. Но «наименьшее целое число, которое не может быть названо по-русски меньше, чем в пятьдесят слогов» (подсчитайте число слогов) есть выражение русского языка, содержащие менее пятидесяти слогов. Известны различные модификации этого парадокса. При исследовании систем аксиом арифметики, теории множеств и других аксиоматических теорий обнаружилось, что не существует полной системы аксиом, из которых можно было бы вывести такую простую теорию как арифметика (К.Гедель). Оказалось так же, что проблемы непротиворечивости систем аксиом теории множеств и других теорий чрезвычайно трудны. При попытках их решения математики и логики раскололись на враждующие между собой группировки. По мнению Гильберта и его формалистской школы, чтобы избавить математику от парадоксов нужно сформулировать ее в виде аксиоматической теории, после чего следует доказать непротиворечивость этой теории. По мнению интуиционистов, возглавляемых Бауэром, чтобы избавить математику от парадоксов, надо отказаться от признания универсального характера некоторых законов логики, в частности закона исключенного третьего.
Итак, суть аксиоматического метода в следующем. В теорию вводятся без определения некие объекты, природа которых не определена. Затем посредством аксиом задают определенные отношения между объектами. Построить аксиоматическую теорию – это значит вывести логические следствия из аксиом, отказавшись от каких-либо других предложений относительно природы рассматриваемых объектов. Для построенной таким образом теории стремятся доказать полноту, непротиворечивость, независимость и невырожденность системы её аксиом.
4 ГИПОТЕКО-ДЕДУКТИВНЫЙ МЕТОД
Гипотетико-дедуктивный метод является своеобразным синтезом аксиоматического и экспериментального методов. При построении теории этим методом сначала несколько гипотез или догадок объединяются в систему аксиом. Затем из этой содержательной аксиоматики логическими средствами извлекаются следствия. И после всего этого ищут подтверждения этих следствий посредствам наблюдений или экспериментов.
Итак, отличие гипотетико-дедуктивного метода от аксиоматического метода заключается в исследовательской ситуации. При аксиоматическом методе вывод положений из аксиом является свидетельством истинности этих положений. Что же касается гипотетико-дедуктивного метода истинность положений, выведенных из допущений, является свидетельством истинности этих допущений.
Гипотетико-дедуктивный метод применяется большей частью в тех науках, которые широко используют математические методы и, прежде всего в теоретической механике, физике, астрономии и др. В науках, не достигших теоретической зрелости, таких как ботаника, медицина и др., преобладают описательные методы. В этих науках приходится довольствоваться простыми индуктивными обобщениями.
Литература
1. Логика. К. - Хатнюк В.С. 2005 г.
2. Логика – исскуство мышления. Тимирязев А.К.– К. 2000 г.
3. Философия и жизнь – журнал- К. 2004 г.
4. История логики и мышления – Касинов В.И. 1999.
5. Логика и человек – М. 2000.
6. Философия жизни. Матюшенко В.М. – Москва – 2003 г.
7. Философия бытия. Марикова А.В. – К. 2000 г.
Похожие работы
... , целиком до начала всякого исследования, но в значительной мере должен формироваться всякий раз заново в соответствии со спецификой предмета. Развитие современного научного познания свидетельствует о том, что методология "... не одалживается у близких или дальних соседей на время построения теории. Она принципиально не представима здесь в виде спускаемых откуда-то сверху поучений по поводу ...
... ; это на новом уровне возвращает нас к проблеме цели и смысла Вселенной, говорит о запланированном появлении разума, который полностью проявит себя в будущем. 2. Общая классификация методов научных исследований Многообразие видов человеческой деятельности обусловливает многообразный спектр методов, которые могут быть классифицированы по самым различным основаниям (критериям). Прежде всего ...
... или моделях в лабораторных условиях, при которых устанавливаются новые свойства, зависимости и закономерности, а также служат для подтверждения выдвинутых теоретических предположений. Научные исследования по сфере использования результатов подразделяются на фундаментальные и прикладные. Фундаментальные ставят целью решение принципиально новых теоретических проблем, открытие новых законов, ...
... философии - особенно с методологических позиций материалистического понимания истории и материалистической диалектики с учетом социокультурной обусловленности этого процесса. Однако в западной философии и методологии науки XX в. фактически - особенно в годы «триумфального шествия» логического позитивизма (а у него действительно были немалые успехи) - научное знание исследовалось без учета его ...
0 комментариев