Закон динамики вращательного движения. Скорость и энергия внешних сил. Расчет КПД

Частица вращается по окружности , и уравнение движения . Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент . Найдем угловую скорость : ; Линейная скорость находиться по формуле Тангенциальное ускорение : , Нормальное ускорение : ,
Полное ускорение : , Ответ: тангенциальное ускорение , нормальное ускорение , полное ускорение . Тело движется вдоль прямой, замедляясь при . В начальной точке скорость была . Какой путь пройдет тело до остановки.

Мгновенная скорость , следовательно

Мгновенное ускорение , следовательно

Получаем равенство

Проинтегрируем равенство Ответ: тело пройдет путь равный На брусок массой , лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, действует сила . При прямолинейном движении угол между силой и горизонтом изменяется по закону , где  - постоянная. Найти скорость бруска как функцию от .

Уравнение движения в проекции  имеет вид

Заменим в уравнении , тогда

Ответ: скорость бруска равна

Конькобежец массой  кг, стоя на коньках на льду, толкает камень  кг под углом 30° к горизонту со скоростью . Найти начальную скорость движения конькобежца.

Импульс и закон сохранения импульса

; ;

Перед броском все тела находились в покое: импульс каждого из них был равен 0, равнялась 0 и их векторная сумма

В конце броска импульс груза равен , конькобежца -

В проекции на ось Ox импульс груза равен , конькобежца - .

т.к. , то

.

Ответ: ;

Тело массой  начинает двигаться вдоль оси  со скоростью , где  - перемещение. Найти выражение для работы и вычислить работу при  кг за 3с движения.

Найдем ускорение как производную от скорости

; ;

Ускорение постоянно, значит движение равноускоренное. Зависимость скорости от времени.

Через 3с скорость будет:

Работа равна изменению кинетической энергии. Т.к. в начале тело находилось в состоянии покоя:

; кДж

Ответ: , ;

Диск массой 10 кг и радиусом 20 см вращается относительно оси симметрии под действием момента сил М = 1,8t². Найти угловую скорость колеса через 3 с после начала движения.

Момент инерции диска вычисляется по формуле

;

Основной закон динамики вращательного движения

Проинтегрируем выражение по :

Т.к. , то

Через 3с угловая скорость будет

Ответ:

Найти момент инерции стержни сечением S и плотностью р = p₀(1-r/l), где l - длина, r - расстояние до оси вращения, проходящей черев конец стержня. Вычислить при р = 7800 кг/м³, S = 2 см² и I= 80 см.

Выделим бесконечно тонкий участок стержня толщиной . Его момент инерции:

,

где - масса участка.

Т.к. момент инерции аддитивен, момент инерции всего стержня равен сумме моментов инерции всех его участков.

Ответ:

На скамье Жуковского I = 50 кг-м² стоит человек и держит в руках колесо, момент инерции которого 0,25 кг-м² и скорость вращения 25 рад/с. Ось колеса совпадает с осью скамьи. Найти угловую скорость вращения скамьи и работу внешних сил, если колесо расположить горизонтально.

Когда колесо повернули горизонтально, момент импульса вокруг вертикальной оси сохранился. То есть

,

где  - момент инерции колеса,  - угловая скорость скамьи,  - угловая скорость колеса.

Скамья начала вращаться с угловой скоростью

,

Скорость и энергия внешних сил колеса почти не изменилась. Работа внешних сил пошла на изменение энергии вращения скамьи и равна:

,

Ответ: , .

Колебания точки происходят по закону х = Acos(w t+j ). В некоторый момент времени смещение точки равно 5 см, ее скорость V = 20 см/с и ускорение а = - 80 см/с². Найти амплитуду А. циклическую частоту w , период колебаний Т и фазу (w t+j ) в рассматриваемый момент времени.

Запишем закон движения и его производные:

(1),

(2),

(3).

Подставив  и в (3), найдем :

,

Преобразуем формулу (2) следующим образом:

(2’).

Возведем в квадрат (1) и (2’) и сложим:

см

Период колебаний с.

Найдем фазу: ,

Что соответствует точке на окружности с углом -

Ответ: см, , с, .

Уравнение колебаний частицы массой 1.6-10 ^-2 кг имеет вид х = 0,lsin(p t/8 + л/4) (м). Построить график зависимости от времени силы F, действующей на частицу. Найти значение максимальной силы.

Найдем ускорение как вторую производную по :

Произведение ускорения на массу даст силу:

,

Значение максимальной силы при

График – синусоида с периодом 16 и смещенная на 2 влево.

Диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, походящей через середину радиуса перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину и период колебаний.

Пусть диск повернулся на малый угол , тогда возвращающий момент сил:

, где  - плечо силы.

Момент инерции диска относительно центра:

относительно оси вращения:

Тогда уравнение движения имеет вид:

 или

Это уравнение колебаний с частотой:

У математического маятника

Значит приведенная длина:

, м.

Период колебаний:

Ответ: , .

Определить скорость, если разность фаз D j колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на D x = 10 см, равна p /З. Частота колебаний равна 25 Гц.

Отношение разности фаз к расстоянию между точками есть волновое число

,   - длина волны.

Выразим частоту:

,

где  - скорость распространения.

Ответ: .

При изменении давления газа на 200 Па объем газа изменится на 3 л. Если давление изменить на 500 Па, объем изменится на 5 л. Найти начальный объем и давление гaзa. Температура газа сохраняется постоянной.

Используем, что при . Тогда

.

Аналогично для (2)

Выразим из (1) и подставим в (2).

, отсюда .

При и  положительных мы не знаем, когда газ сжимается, а когда расширяется. Поэтому выберем все величины отрицательными.

Тогда л. Подставив в формулу для , получим Па.

В обоих случаях газ сжимали.

Ответ: , Па.

Найти с помощью распределения Максвелла <V²_x> среднее значение квадрата проекции скорости молекулы газа при температуре Т.

Распределение Максвелла по проекциям:

Среднее значение квадрата проекции ищем по формуле:

Введем новую переменную

, ,

 - табличный интеграл.

Ответ: .

Найти работу, совершающуюся при изотермическом расширении водорода массой 5 г, при температуре 290°К. при увеличении объема газа в три раза.

Количество водорода моль.

 - при расширении от  до .

кДж.

Ответ: кДж.

Во сколько раз увеличится КПД цикла Карно при увеличении температуры нагревателя от t₁ = 300°К до T ₂ = 380 К при температуре холодильника T₂ = 200°К?

КПД находим по формуле

,

где  - температура нагревателя, а  - температура холодильника.

 - во столько раз увеличивается КПД.

Ответ: 1,42.