Приклади рішення задач з економетрії

 

ІНДУВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ

 

З ДИСЦИПЛІНИ

"Економетрія"

Задача №1

По приведеним даним побудувати і дослідити емпіричну лінійну економетричну модель залежності обсягу виробництва фірми від витрат на заробітну платню персоналу й вартості основних фондів (вихідні данні в умовних одиницях). Виконати наступні завдання.

1.  Скласти матрицю вихідних даних.

2.  Знайти оцінки:

коефіцієнтів моделі;

математичного чекання обсягу виробництва;

залишків моделі;

дисперсії залишків;

коефіцієнта детермінації.

3.  Скласти прогноз середньорічного обсягу виробництва для фірми з витратами на заробітну платню 1,2 ум.од. і основними фондами 15 ум.од.

Обсяг середньорічного виробництва

№ фірми Варіант	1	2	3	4	5	6	7	8
2	7,68	3,16	1,52	3,15	5,77	4,33	8,35	7,02

Заробітна платня та вартість основних фондів

(для усіх варіантів)

№ фірми Показники	1	2	3	4	5	6	7	8
Зарплатня	0,31	0,98	1,21	1,29	1,12	1,49	0,78	0,94
Осн. фонди	10,24	7,51	10,81	9,89	13,72	13,92	8,54	12,36

РІШЕННЯ

По приведеним даним побудувати і дослідити емпіричну лінійну економетричну модель залежності обсягу виробництва фірми від витрат на заробітну платню персоналу й вартості основних фондів (вихідні данні в умовних одиницях). Виконати наступні завдання.

1.  Скласти матрицю вихідних даних.

2.  Знайти оцінки:

коефіцієнтів моделі;

математичного чекання обсягу виробництва;

залишків моделі;

дисперсії залишків;

коефіцієнта детермінації.

3.  Скласти прогноз середньорічного обсягу виробництва для фірми з витратами на заробітну платню 1,2 ум.од. і основними фондами 15 ум.од.

Обсяг середньорічного виробництва

№ фірми Варіант	1	2	3	4	5	6	7	8
2	7,68	3,16	1,52	3,15	5,77	4,33	8,35	7,02

  Заробітна платня та вартість основних фондів

№ фірми Показники	1	2	3	4	5	6	7	8
Зарплатня	0,31	0,98	1,21	1,29	1,12	1,49	0,78	0,94
Осн. фонди	10,24	7,51	10,81	9,89	13,72	13,92	8,54	12,36

  Розв'язання

1.  Усі вихідні данні зводимо в таблицю:

Фірма, № з/п	Обсяг середньорічного виробництва (y), ум.од.	Зарплатня (x2), ум.од.	Основні фонди (х3), ум.од.
1	7,68	0,31	10,24
2	3,16	0,98	7,51
3	1,52	1,21	10,81
4	3,15	1,29	9,89
5	5,77	1,12	13,72
6	4,33	1,49	13,92
7	8,35	0,78	8,54
8	7,02	0,94	12,36

Складемо матрицю вихідних даних:

 .

2.Економетричну модель запишемо у вигляді

,

Де y,  - відповідно фактичні та розрахункові значення обсягу середньорічного виробництва за моделлю (регресант);

регресори (незалежні змінні):

х₁ – допоміжний регресор (приймає одиничні значення);

х₂ - витрати на заробітну платню персоналу;

х₃ - вартість основних фондів;

u – залишки;

 - оцінки параметрів моделі.

Для оцінки коефіцієнтів моделі використовуємо 1МНК.

Оператор оцінювання параметрів моделі за 1МНК має вигляд

де

; ;  .

Матриця Х крім двох векторів незалежних змінних містить вектор одиниць. Він дописується в цій матриці ліворуч тоді, коли економетрична модель має вільний член.

Знайдемо транспоновану матрицю до матриці Х:

Знайдемо добуток  Одержуємо

Знайдемо зворотну матрицю

Знайдемо вектор

.

Отримаємо шуканий вектор 1МНК-оцінок :

=.

Оцінена за допомогою 1МНК емпірична множинна регресія має вид

Отже, коли за всіх одинакових умов регресор х₂ (витрати на заробітну платню персоналу) збільшується на одиницю, то регресант  (обсяг середньорічного виробницьтва) також зменшується на 5,76 одиницю. Якщо за інших незмінних умов незалежна змінна х₃ (обь'єм основних фондів) збільшується на одиницю, то залежна змінна  збільшуеться на 0,42 одиниць.

Знайдемо прогнозні значення (математичне чекання) обсягу виробництва  при даних у задачі значеннях зарплатні та вартості основних фондів:

Знайдемо оцінки залишків моделі  дисперсії залишків , коефіцієнта детермінації

Складемо розрахункову таблицю.

У таблиці залишки  обчислюються згідно з рівністю

,

а середнє значення регресанта підраховується слідуючім чином

.

№ п/п	y
1	7,68	8,9131	-1,2331	1,5206	3,7906	14,3687
2	3,16	3,8920	-0,7320	0,5359	-1,2305	1,5142
3	1,52	3,9723	-2,4523	6,0138	-1,1502	1,3230
4	3,15	3,1198	0,0302	0,0010	-2,0027	4,0108
5	5,77	5,7295	0,0405	0,0017	0,6070	0,3685
6	4,33	3,6837	0,6463	0,4177	-1,4388	2,0702
7	8,35	5,4824	2,8676	8,2232	0,3599	0,1296
8	7,02	6,1872	0,8328	0,6936	1,0647	1,1336
∑	40,98	40,9800		17,4075		24,9186

Незміщена оцінка дісперсії залишків подається так:

3,4815, де n – кiлькiсть спостережень, k –

кiлькiсть незалежних змiнних.

З таблиці маємо дисперсію регресії

.

Обчислимо дисперсію регресанта:

 

Остаточно, коефіцієнт детермінації має значення

Коефіцієнт детермінаціі R², близький до одиниці, що свідчить про те, що отримана багатомірна регресійна модель досить близька до даних, отриманим емпіричним шляхом і може бути використана для визначення обсягу середньорічного виробництва фірми по заданим витратам на заробітну платню персоналу й вартості основних фондів. Отриманий висновок підтверджує графік відповідності теоретичних і емпіричних даних.