Оцінювання якості прогнозів

5.  Оцінювання якості прогнозів

Забезпечення адекватності регресійної моделі

Адекватність регресійної моделі означає здатність її правильно описати реальну структуру взаємозв'язків між ознаками  та y. Методологічною основою вирішення проблеми адекватності є теоретичний, змістовний аналіз матеріальної природи процесу (явища) та обґрунтування типу й структури моделі, яка описує механізм його формування. Практично з метою забезпечення адекватності моделі змістовний аналіз поєднується з формальними процедурами перевірки гіпотез щодо дотримання логіко-статистичних умов використання МНК.

Мірою адекватності моделі слугують відхилення фактичних значень від теоретичних . На величину цих відхилень впливає весь комплекс умов, зокрема:

-  обсяг та однорідність сукупності;

-  незалежність спостережень;

-  інформативність включених у модель факторів;

-  стабільність не включених у модель факторів;

-  тип моделі.

Репрезентативність оцінок регресійного аналізу прямо пропорційна обсягу та однорідності сукупності. Саме недостатній обсяг сукупності та її неоднорідність вважаються найвагомішими чинниками неадекватності моделей. Тому при формуванні ознакової множини моделі слід враховувати співвідношення між обсягом вибірки і кількістю включених у модель факторів (воно має бути приблизно 8:1).

Оцінювання однорідності сукупності здійснюється на етапі розвідувального аналізу даних. Так, наявність аномальних значень, які не узгоджуються з розподілом основної маси даних, може бути наслідком помилок спостереження або результатом незвичайної комбінації причин і умов, у яких функціонує одиниця сукупності. Ідентифікація таких спостережень дає можливість Усунути помилки, а якщо це неможливо, то вилучити аномальний об'єкт з подальшого аналізу. Якщо сукупність розшарована на групи (кластери), то в моделі можна врахувати таку неоднорідність.

Інформативність включених у модель факторних ознак залежить як від соціально-економічного змісту, так і від шкали вимірювання ознаки. Якщо ознака за змістом не інформативна, то ніякий спосіб моделювання не забезпечить належних результатів. Так само результати аналізу будуть суттєво різнитися залежно від того, якою шкалою представлено одну й ту саму ознаку (метричною, ранговою чи номінальною).

Ті властивості, що безпосередньо не вимірюються або не мають єдиного вимірника, включаються в модель у вигляді інтегральних оцінок. Наприклад, погодні умови характеризуються середньодобовою температурою повітря, кількістю опадів, тривалістю сонячного світла, хмарністю і т. ін. Усі ці характеристики агрегуються в індексі погодних умов.

Важливою умовою регресійного аналізу є відсутність мультиколінеарності, яка веде до зсунення оцінок параметрів моделі та унеможливлює коректну інтерпретацію результатів. Два фактори вважаються колінеарними, якщо коефіцієнт кореляції між ними перевищує сукупний коефіцієнт кореляції, тобто . Найпростіший спосіб усунення мультиколінеарності — виключити одну із корельованих ознак із моделі або замінити її іншою. Часом колінеарні фактори агрегуються в одну узагальнюючу оцінку.

Стабільність не включених у модель факторів означає, що вплив їх на варіацію у незначний і врівноважується, він однаковий в усіх частинах сукупності. Математичною основою дотримання цих передумов МНК слугує імовірнісний розподіл залишків . Передбачається, що:

-  для кожного спостереження залишок  — випадкова величина, яка має нормальний розподіл. Умова нормальності необхідна для визначення довірчих меж коефіцієнтів регресії і для перевірки гіпотез щодо їх істотності;

-  математичне сподівання залишків М(е) = 0;

-  дисперсія залишків однакова в усіх частинах сукупності: . Ця умова пов'язана з однорідністю сукупності;

-  залишки незалежні, тобто відсутня серійна кореляція чи автокореляція даних.

Використовуючи параметри моделі, можна також оцінити потенційно можливі рівні показника-функції для кожної одиниці Окупності, визначити резерви збільшення (зменшення) показника у за рахунок факторів, які піддаються регулюванню (суб'єктивних факторів). У нашому прикладі — це збільшення виходу цукру з 1 т сировини за рахунок зменшення витрат при зберіганні цукрового буряка і в процесі його переробки. Така оцінка, природно, орієнтована на кращі досягнення в галузі. Ефект регулювання і-го фактора на -му об'єкті визначається за формулою

,

де  — база порівняння,  — коефіцієнт регресії і-го фактора.

Застосовуючи цю методику, визначимо резерв збільшення виходу цукру з 1 т сировини для -го заводу (табл. 5.1).

Таблиця 5.1

Фактор	Рівень втрат, %		Відхилення	Коефіцієнт регресії	Ефект регулювання фактора
	фактичний	мінімальний
	1,06	0,90	0,16	-10,084	-1,613
	2,68	2,0	0,68	-1,729	-1,175
Разом	X	X	X	X	-2,788

Якщо мінімальні втрати цукрового буряка при переробці — 2,0%, а на -му заводі — 2,68%, то ефект доведення втрат до мінімального рівня становить (2,68-2,0)(-1,729) = -1,175. Зменшення втрат при зберіганні цукрового буряка дає ефект (1,06--0,90)(-10,084) = -1,613. Отже, сумарний ефект за рахунок обох факторів -2,788, а потенційно можливий вихід цукру з 1 т сировини за незмінності цукристості буряка, яка є зовнішнім, об'єктивним фактором, становить 11,91 кг. Відношення фактичного рівня до потенційно можливого характеризує ступінь використання об'єктивних можливостей. У розглянутому прикладі це відношення становить 9,13 : 11,91 =0,777, тобто ефективність використання сировини на заводі нижча за потенційно можливу на 23,3%. При визначенні резервів збільшення (зменшення) показника функції за рахунок регулювання суб'єктивних факторів базою порівняння може бути середня величина, норматив, стандарт тощо.

Функція нормального розподілу .

Додаток 1

 

z	00	11	22	23	44	55	66	77	88	99
00,0	500	504	508	512	516	520	524	528	532	536
00,1	540	544	548	552	556	560	564	567	571	575
00,2	580	583	587	591	595	599	603	606	610	614
00,3	618	622	626	629	633	637	641	644	648	652
00,4	655	659	663	666	670	674	677	681	684	688
00,5	691	695	698	702	705	709	712	716	719	722
00,6	726	729	732	736	739	742	745	749	752	755
00,7	758	761	764	767	770	773	776	779	782	785
00,8	788	791	794	797	800	802	805	808	811	813
00,9	816	819	821	824	826	829	831	834	836	839
11,0	841	844	846	849	851	853	855	858	860	862
11,1	864	867	869	871	873	875	877	879	881	883
11,2	885	887	889	891	893	894	896	898	900	901
11,3	903	905	907	908	910	911	913	915	916	918
11,4	919	921	922	924	925	926	928	929	931	932
11,5	933	934	936	937	938	939	941	942	943	944
11,6	945	946	947	948	950	951	952	953	954	954
11,7	955	956	957	958	959	960	961	962	962	963
11,8	964	965	966	966	967	968	969	969	970	971
11,9	971	972	973	973	974	974	975	976	976	977
22,0	977	978	978	979	979	980	980	981	981	982
22,1	982	983	983	983	984	984	985	985	985	986
22,2	986	986	987	987	987	988	988	988	989	989
22,3	989	990	990	990	990	991	991	991	991	992
22,4	992	992	992	992	993	993	993	993	993	994
22,5	994	994	994	994	994	995	995	995	995	995
22,6	995	995	996	996	996	996	996	996	996	996
22,8	997	998	998	998	998	998	998	998	998	998
22,9	998	998	998	998	998	998	998	999	999	999

Критичні значення

Додаток 2

/с	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
<х =0,10	2,71	4,61	6,25	7,78	9,24	10,64	12,02	13,36	14,68	15,99	17,28
а =0,05	3,84	5,99	7,81	9,49	11,07	12,59	14,07	15,51	16,92	18,31	19,67

 

Квантилі t-розподілу Стьюдента t_1-0,05 (k): | t | 1 — двосторонній критерій; t— односторонній критерій

Додаток 3

Іс	І'І	І	£	І'І	І
5	2,57	3,04	18	2,10	2,17
6	2,45	2,78	20	2,09	2,15
7	2,37	2,62	25	2,06	2,11
8	2,31	2,51	30	2,05	2,08
9	2,26	2,43	40	2,02	2,05
10	2,23	2,37	50	2,01	2,03
11	2,20	2,33	60	2,00	2,02
12	2,18	2,29	100	1,98	1,99
14	2,15	2,24	¥	1,96	1,96
16	2,12	2,20

 

Значення Z* для оцінювання довірчих меж прогнозу (лінійний тренд)

Додаток 4

 

n	V			n	v
	1	2	3		1	2	3
5	1,366	1,524	1,702	10	1,211	1,270	1,335
7	1,309	1,427	1,558	11	1,191	1,239	1,293
8	1,267	1,358	1,459	12	1,174	1,215	1,260
9	1,236	1,308	1,389

 

Критичні значення циклічного коефіцієнта автокореляції (а = 0,05)

Додаток 5

n	Додатні значення	Від'ємні значення	n	Додатні значення	Від'ємні значення
5	0,253	-0,753	20	0,299	-0,399
6	0,345	-0,708	25	0,276	-0,356
7	0,370	-0,674	ЗО	0,257	-0,356
8	0,371	-0,625	35	0,242	-0,300
9	0,366	-0,593	40	0,229	-0,279
10	0,360	-0,564	50	0,208	-0,248
11	0,353	-0,539	60	0,191	-0,225
12	0,348	-0,516	70	0,178	-0,207
13	0,341	-0,497	80	0,170	-0,195
14	0,335	-0,479	90	0,161	-0,184
15	0,328	-0,462	100	0,154	-0,174

 

Квантилі F-розподілу (a = 0,05)

Додаток 6

k2		k1
	1		2	3	4	5	6	7	8	9	10
5		6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,77	4,74
6		5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06
7		5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,64
8		5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,59	3,50	3,44	3,39	3,35
9		5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,14
10		4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,98
11		4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,85
12		4,75	3,89	3,49	3,26	3,11	3,00	2,91	2,85	2,80	2,75
13		4,67	3,81	3,41	3,18	3,03	2,92	2,83	2,77	2,71	2,67
14		4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,76	2,70	2,65	2,60
15		4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,71	2,64	2,59	2,54
16		4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49
18		4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51	2,46	2,41
20		4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,51	2,45	2,39	2,35
22		4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,46	2,40	2,34	2,30
24		4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2.51	2,42	2,36	2,30	2,25
26		4,23	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,39	2,32	2,27	2,22
28		4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,45	2,36	2,29	2,24	2,19
30		4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2,27	2,21	2,16
40		4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12	2,08
60		4,00	3,15	2,76	2,53	2,37	2,25	2,17	2,10	2,04	1,99
120		3,92	3,07	2,68	2,45	2,29	2,17	2,09	2,02	1,96	1,91
¥		3,84	3,00	2,60	2,37	2,21	2,10	2,01	1,94	1,88	1,83

 

Критичні значення коефіцієнта детермінації R² кореляційного  відношення h² для рівня істотності α = 0,05

Додаток 7

k2/k1	1	2	3	4	5
5	0,569	699	764	806	835
6	500	632	704	751	785
7	444	575	651	702	739
8	399	527	604	657	697
9	362	488	563	618	659
10	332	451	527	582	624
12	283	394	466	521	564
14	247	348	417	471	514
16	219	312	378	429	477
18	197	283	345	394	435
20	179	259	318	364	404
24	151	221	273	316	353
28	130	193	240	279	314
32	115	171	214	250	282
36	102	153	192	226	256
40	093	139	176	207	234
50	075	113	143	170	194
60	063	095	121	144	165
80	047	072	093	110	127
100	038	058	075	090	103
120	032	049	063	075	087
200	019	030	038	046	053