Складання математичної моделі теплообміну вольфрамового провідника

3 Складання математичної моделі теплообміну вольфрамового провідника

Запропонована фізико-математична модель тепломасообміну та окислення вольфрамового провідника, що нагрівається електричним струмом, з урахуванням випаровування оксидної плівки з його поверхні.

Рівняння теплового балансу має вигляд:

, . (1)

Зміна товщини окисної плівки з урахуванням її випаровування описується рівнянням:

, , (2)

, , , (3)

, , (4)

, , (5)

, , (6)

 

, (7)

де , ,  – питома теплоємність, коефіцієнт теплопровідності та густина вольфраму; , , ; , , – температура частки, газу та стінок реакційного устрою, К; – товщина оксидної плівки, м; – відносна масова концентрація кисню в повітрі, =0.23 при =10⁵ Па; – тепловий ефект реакції, ; Nu, Sh – критерії Нуссельта, Шервуда; – коефіцієнт дифузії кисню через плівку окислу, ; – енергія активації, ; – коефіцієнт теплообміну, ; ,  – коефіцієнт теплопровідності та густина газу, , ; степінь чорноти оксидної плівки; - питомий опір при температурі Т₀=273 К, Ом×м; –температурний коефіцієнт опору, ; сила струму, А;  – питома теплота пароутворення, ; , – швидкості наростання та випаровування оксидної плівки, ; , , , – густини теплових потоків конвекцією, випромінюванням, до контактів та на випаровування оксиду, ; , густини хімічного та джоулева тепловиділення, .

Рівняння (1)-(7) описують високотемпературний тепломасообмін і кінетику окислення металевих дротиків при нагріванні їх електричним струмом.

На рис. 1 представлені результати розрахунків по даній фізико-математичній моделі для вольфрамового дротика, який нагрівається електричним струмом в середовищі кисню в порівнянні з експериментальними даними. Коректність побудованої моделі забезпечується добрим погодженням результатів теоретичних та експериментальних досліджень.

 

Рис.1. Часові залежності температури вольфрамового провідника (а) та товщини окислу на його поверхні (б) при потужності електричного струму

=106,4×10^-4 Вт/м². =50 мкм, =7 см, =1, швидкість обдуву провідника =0.13 м/с. 1 – з врахуванням, 2 – без врахування тепловтрат на випаровування оксидної плівки; ооо – експериментальні дані [1]  Мержанов А.Г. Тепловая теория воспламенения частиц металлов // Ракетная техника и космонавтика. – 1975. – Т.13, №2. – С.106-112.

Без врахування тепловтрат на випаровування оксиду температура дротика зростає, досягає максимального значення, потім зменшується внаслідок збільшення товщини оксиду (рис.1, крива 2). При досягненні товщиною оксидної плівки критичного значення  відбувається затухання реакції окислення на поверхні провідника, внаслідок зменшення густини хімічного тепловиділення. Врахування випару оксиду приводить до появи макcимуму на залежності  (крива 1), так як швидкість випаровування плівки при певних температурах починає перевищувати швидкість її утворення.

Із умови теплової рівноваги знайдемо залежність сили струму від стаціонарної температури провідника, яка визначає стійкі та критичні режими його окислення і тепломасообміну з газовим середовищем:

. (8)

Розрахована по формулі (8) залежність  представлена на рис.2. Екстремуми на кривій  характеризують критичні режими запалення дротику (т. -максимум) та потухання (т.-мінімум) при відповідно критичних значеннях сили струму  та . Крива до т. -область низькотемпературного окислення дротику. Щоб перевести дротик із заданою початковою товщиною оксидної плівки  до високотемпературного стану, необхідно збільшити силу струму до значення, обумовленого т., у якій загальний теплоприхід до дротика за рахунок джоулева і хімічного тепловиділення максимально перевищує тепловтрати в газ, до стінок і через кінці дротика до контактів. Для всіх значень сили струму  дротик із заданою  буде запалюватися і переходити в стійкий високотемпературний стан. Для того, щоб перевести дротик з високотемпературного стану в низькотемпературний, потрібно зменшити значення сили струму до величини . Запалювання дротика силою струму в інтервалі  може також відбуватися, якщо його початкова температура вища значення, що лежить на кривій між точками  та  для відповідного значення . Таким чином, спостерігається гістерезисна поведінка температури дротика в залежності від сили струму, що нагріває його. Область гістерезису обмежується критичними значеннями  та _. Критичні режими нестійкі і визначають переходи з низькотемпературного стану до високотемпературного і навпаки. При значеннях сили струму  запалювання дротика неможливо ні при яких значеннях його початкової температури.

Рис.2 демонструє, що випар оксиду приводить до збільшення критичного значення сили струму, що характеризує потухання провідника , і значного зменшення температури горіння (крива 2).

Рис.2. Залежність  для вольфрамового провідника =70 мкм, =10 см, ==288 K; =0.4 мкм; 1– без врахування випаровування, 2–з врахуванням випаровування WO2; ооо –наші експериментальні дані.

Зростання  пояснюється збільшенням тепловтрат від дротика, отже, для збереження умови стаціонарності силу струму потрібно збільшити. Випар окисла не впливає на режими низькотемпературного тепломасообміну і критичні параметри запалювання провідника, тому що при цих температурах швидкість випару невелика.

Кружечками на рис. 2 представлені експериментальні дані, отримані нами для вольфрамового дроту тих же геометричних розмірів.

Спостерігається гарна згода експериментальних і розрахун- кових стаціонарних низько- температурних режимів тепломасообміну.

В даному розділі надаються результати експериментальних досліджень впливу геометричних розмірів дротику (діаметр та довжина) на стійкі та критичні високо- і низькотемпературні його стани. Доказано, що збільшення діаметру вольфрамового зразка приводить до зростання критичних значень сили струму, що визначають його запалювання та потухання. Цей факт пояснюється тим, що при збільшенні діаметру дротика зменшується його опір і для збереження умови стаціонарності необхідно збільшити силу струму. Довжина дротика впливає тільки на тепловой потік теплопровідністю до контактів (), значення якого мале в порівнянні з іншими тепловими потоками. Тому зміна довжини дротику практично не впливає на залежності .

Показано, що в областях малих (<40 мкм) і великих (>1000 мкм) діаметрів дротику екстремуми на залежностях  переходять в точку перегину-відбувається виродження критичних умов запалення і потухання. Доказано, що випар оксиду з поверхні вольфрамового дротика приводить до збільшення більш ніж у 2 рази критичних значень сили струму і діаметра, при яких відбувається виродження критичних умов.

В результаті розрахунків стаціонарних режимів тепломасообміну і окислення вольфрамового дротика без теплообміну випромінюванням зі стінками установки виявлено інтервал його діаметрів, для якого зникають критичні режими затухання. Залежність  для одного із таких діаметрів дротика представлена на рис.3, де видно, що загасити дротик зменшенням сили струму у випадку  неможливо.

Рис.3. Залежність  для вольфрамового провідника =250 мкм, =10 см, ==288 K, = 0,4 мкм. 1– розрахунок при =0, 2–розрахунок при ≠0. ооо - наші експериментальні дані

Таким чином, знайдено інтервал діаметрів вольфра- мового провідника, де недопустимо зневажання в фізико-математичних моделях теплообміном випромінюван- ням.

Із рис. 3 видно, що для визначення критичних параметрів запалювання (т.) теплообміном випромінюван- ням можно знехтувати. Для цього випадку в роботі отримано аналітичний вираз для розрахунку критичних умов запалювання металевого дротика, який нагрівається електричним струмом в газі:

, (9)

з якого можна визначити критичні значення товщини оксидної плівки, вище яких, при заданій силі струму, високотемпературні режими дротика не спостерігаються.

, , , (10)

-ефективна температура провідника, яка у випадку температурної залежності коефіцієнта теплопровідності повітря знаходиться із трансцендентного рівняння:

. (11)

Порівняльний аналіз критичних умов запалювання вольфрамових провідників різних діаметрів представлено на рис. 4. Результати розрахунку критичних значень температур  та товщин оксиду , що характеризують запалювання, з використанням формул (10)-(11) (криві 2) добре погоджуються з рішенням по точній моделі (криві 1). Крива 3 відповідає випадку неврахування температурної залежності коефіцієнта теплопровідності повітря при визначенні . Це приводить до значної похибки при визначенні критичних значень температури провідника і товщини оксидного шару на його поверхні. Таким чином, для оцінки критичних умов запалювання провідника можно використовувати формули (9)-(10) та трансцендентне рівняння (11).

Рис.4. Залежності критичних значень температури вольфрамового дротика і товщини оксидного шару від його діаметру. =1 А, =288 К, =10 см, =0, =0, ооо – наші експериментальні дані.

Встановлено, що стефанівська течія приводить до збільшення критичного значення товщини оксидної плівки, при якій частка потухає. Це пояснюється тим, що у випадку стефанівської течії зростають концентрація кисню на поверхні частки та її температура.