Прогноз годовой прибыли

ВАРИАНТ 5

Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1995 г., представленным в табл. 5.

Таблица 5

Страна	Y	X1	X2	X3	X4
Мозамбик	47	3,0	2,6	2,4	113
Бурунди	49	2,3	2,6	2,7	98
……………………………………………………………………………………..
Швейцария	78	95,9	1,0	0,8	6

Принятые в таблице обозначения:

·  Y — средняя ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет;

·  X₁ — ВВП в паритетах покупательной способности;

·  X₂ — цепные темпы прироста населения, %;

·  X₃ — цепные темпы прироста рабочей силы, %;

·  Х₄ — коэффициент младенческой смертности, %.

Требуется:

1.  Составить матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными и выявить коллинеарные факторы.

2.  Построить уравнение регрессии, не содержащее коллинеарных факторов. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

3.  Построить уравнение регрессии, содержащее только статистически значимые и информативные факторы. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

Пункты 4 — 6 относятся к уравнению регрессии, построенному при выполнении пункта 3.

4.  Оценить качество и точность уравнения регрессии.

5.  Дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии и сравнительную оценку силы влияния факторов на результативную переменную Y.

6.  Рассчитать прогнозное значение результативной переменной Y, если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений. Построить доверительный интервал прогноза фактического значения Y c надежностью 80 %.

Решение. Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

1.С помощью надстройки «Анализ данных… Корреляция» строим матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными (меню «Сервис» ® «Анализ данных…» ® «Корреляция»). На рис. 1 изображена панель корреляционного анализа с заполненными полями[1]. Результаты корреляционного анализа приведены в прил. 2 и перенесены в табл. 1.

рис. 1. Панель корреляционного анализа

Таблица 1

 

Матрица парных коэффициентов корреляции

	Y	X1	X2	X3	X4
Y	1
X1	0,780235	1
X2	-0,72516	-0,62251	1
X3	-0,53397	-0,65771	0,874008	1
X4	-0,96876	-0,74333	0,736073	0,55373	1

 

Анализ межфакторных коэффициентов корреляции показывает, что значение 0,8 превышает по абсолютной величине коэффициент корреляции между парой факторов Х₂–Х₃ (выделен жирным шрифтом). Факторы Х₂–Х₃ таким образом, признаются коллинеарными.

2. Как было показано в пункте 1, факторы Х₂–Х₃ являются коллинеарными, а это означает, что они фактически дублируют друг друга, и их одновременное включение в модель приведет к неправильной интерпретации соответствующих коэффициентов регрессии. Видно, что фактор Х₂ имеет больший по модулю коэффициент корреляции с результатом Y, чем фактор Х₃: r_y,x2=0,72516; r_y,x3=0,53397; |r_y,x2|>|r_y,x3| (см. табл. 1). Это свидетельствует о более сильном влиянии фактора Х₂ на изменение Y. Фактор Х₃, таким образом, исключается из рассмотрения.

Для построения уравнения регрессии значения используемых переменных (Y, X₁, X₂, X₄) скопируем на чистый рабочий лист (прил. 3). Уравнение регрессии строим с помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия» (меню «Сервис» ® «Анализ данных…» ® «Регрессия»). Панель регрессионного анализа с заполненными полями изображена на рис. 2.

Результаты регрессионного анализа приведены в прил. 4 и перенесены в табл. 2. Уравнение регрессии имеет вид (см. «Коэффициенты» в табл. 2):

ŷ = 75.44 + 0.0447 · x₁ - 0.0453 · x₂ - 0.24 · x₄

Уравнение регрессии признается статистически значимым, так как вероятность его случайного формирования в том виде, в котором оно получено, составляет 1.04571·10^-45 (см. «Значимость F» в табл. 2), что существенно ниже принятого уровня значимости a=0,05.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторе Х₁ ниже принятого уровня значимости a=0,05 (см. «P-Значение» в табл. 2), что свидетельствует о статистической значимости коэффициентов и существенном влиянии этих факторов на изменение годовой прибыли Y.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторах Х₂ и Х₄ превышает принятый уровень значимости a=0,05 (см. «P-Значение» в табл. 2), и эти коэффициенты не признаются статистически значимыми.

рис. 2. Панель регрессионного анализа модели Y(X₁,X₂,X₄)

Таблица 2

Результаты регрессионного анализа модели Y(X₁, X₂, X₄)

Регрессионная статистика
Множественный R	0,97292594
R-квадрат	0,946584884
Нормированный R-квадрат	0,944359254
Стандартная ошибка	2,267611945
Наблюдения	76

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	6560,929292	2186,98	425,31101	1,04571E-45
Остаток	72	370,2286032	5,14206
Итого	75	6931,157895
		Уравнение регрессии
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	75,43927547	0,998411562	75,5593	2,545E-70	73,44897843	77,4295725	73,44897843	77,42957252
X1	0,044670594	0,01380341	3,2362	0,0018316	0,017154	0,07218719	0,017154	0,072187188
X2	-0,045296701	0,421363275	-0,1075	0,914691	-0,885269026	0,79467562	-0,885269026	0,794675624
X4	-0,239566687	0,013204423	-18,1429	1,438E-28	-0,265889223	-0,2132442	-0,265889223	-0,213244151

3.По результатам проверки статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии, проведенной в предыдущем пункте, строим новую регрессионную модель, содержащую только информативные факторы, к которым относятся:

·  факторы, коэффициенты при которых статистически значимы;

·  факторы, у коэффициентов которых t‑статистика превышает по модулю единицу (другими словами, абсолютная величина коэффициента больше его стандартной ошибки).

К первой группе относится фактор Х₁ ко второй — фактор X₄. Фактор X₂ исключается из рассмотрения как неинформативный, и окончательно регрессионная модель будет содержать факторы X₁, X₄.

Для построения уравнения регрессии скопируем на чистый рабочий лист значения используемых переменных (прил. 5) и проведем регрессионный анализ (рис. 3). Его результаты приведены в прил. 6 и перенесены в табл. 3. Уравнение регрессии имеет вид:

ŷ = 75.38278 + 0.044918 · x₁ - 0.24031 · x₄

(см. «Коэффициенты» в табл.3).

рис. 3. Панель регрессионного анализа модели Y(X₁, X₄)

Таблица 3

Результаты регрессионного анализа модели Y(X₁, X₄)

Регрессионная статистика
Множественный R	0,972922
R-квадрат	0,946576
Нормированный R-квадрат	0,945113
Стандартная ошибка	2,252208
Наблюдения	76
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	6560,87	3280,435	646,7175	3,65E-47
Остаток	73	370,288	5,072439
Итого	75	6931,158
Уравнение регрессии
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	75,38278	0,843142	89,40701	2,44E-76
X1	0,044918	0,013518	3,322694	0,001395
X4	-0,24031	0,011185	-21,4848	2,74E-33

Уравнение регрессии статистически значимо: вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «Значимость F» в табл.3).

Статистически значимым признается и коэффициент при факторе Х₁ вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «P-Значение» в табл. 3). Это свидетельствует о существенном влиянии ВВП в паритетах покупательной способности X₁ на изменение годовой прибыли Y.

Коэффициент при факторе Х₄ (годовой коэффициент младенческой смертности) не является статистически значимым. Однако этот фактор все же можно считать информативным, так как t‑статистика его коэффициента превышает по модулю единицу, хотя к дальнейшим выводам относительно фактора Х₄ следует относиться с некоторой долей осторожности.

4.Оценим качество и точность последнего уравнения регрессии, используя некоторые статистические характеристики, полученные в ходе регрессионного анализа (см. «Регрессионную статистику» в табл. 3):

·  множественный коэффициент детерминации

n

 ^{∑ (ŷ}_i - y⁾²

R²= ^{_i=1____________ =0.946576}

 ⁿ

^∑(ŷ_i - y⁾²

 ⁱ⁼¹

 

R²=показывает, что регрессионная модель объясняет 94,7 % вариации средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y, причем эта вариация обусловлена изменением включенных в модель регрессии факторов X₁, X₄;

·  стандартная ошибка регрессии

показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,252208 лет.

Средняя относительная ошибка аппроксимации определяется по приближенной формуле:

S_рег

E_отн≈0,8 · — · 100%=0.8 · 2.252208/66.9 · 100%≈2.7

 − y

где  тыс. руб. — среднее значение продолжительности жизни (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ»; прил. 1).

Е_отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения годовой прибыли Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,7 %. Модель имеет высокую точность (при  — точность модели высокая, при  — хорошая, при  — удовлетворительная, при  — неудовлетворительная).

5.Для экономической интерпретации коэффициентов уравнения регрессии сведем в таблицу средние значения и стандартные отклонения переменных в исходных данных (табл. 4). Средние значения были определены с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ», стандартные отклонения — с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН» (см. прил. 1).

Таблица 4

Средние значения и стандартные отклонения используемых переменных

Переменная	Y	X1	X4
Среднее	66,9	29,75	40,9
Стандартное отклонение	9,6	28,76	34,8

1) Фактор X₁ (ВВП в паритетах покупательной способности)

Значение коэффициента b₁=0,044918 показывает, что рост ВВП в паритетах покупательной способности на 1 %. приводит к повышению средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении на 0,044918 лет.

Средний коэффициент эластичности фактора X₁ имеет значение

x₁ 29.75

Е₁= b₁ · ― = 0.044918 · ____ ≈ 0.01997

 y 66.9

Он показывает, что при увеличении ВВП в паритетах покупательской способности на 1 % годовая прибыль увеличивается в среднем на 0,01997 %.

2) Фактор X₄ (коэффициент младенческой смертности)

Значение коэффициента b₄=(-0,24031) показывает, что рост коэффициента младенческой смертности на 1 %. приводит к уменьшению средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении в среднем на -0,24031 лет.

Средний коэффициент эластичности фактора X₄ имеет значение

 x₄ 40.9

Е₄ = b₄ · ― = - 0.24031 · ____ ≈ 0.1469

 y 66.9

Он показывает, что при увеличении коэффициента младенческой смертности на 1 % средняя ожидаемая продолжительность жизни увеличивается в среднем на 0,1469 %.

Средний коэффициент эластичности для фиктивных переменных лишен смысла, поэтому не рассчитывается.

Сравним между собой силу влияния факторов, включенных в регрессионную модель, на годовую прибыль, для чего определим их бета–коэффициенты:

S_x1 28.76

B₁ = b₁ · ― = 0.044918 · ____ ≈ 0.1346;

S_y9.6

 S_x4 3 4.8

B₄ = b₄ · ― - 0.24031 · ____ ≈ - 0.8711

S_y9.6

Сравнивая по абсолютной величине значения бета–коэффициентов, можно сделать вывод о том, что на изменение средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y сильнее всего влияет ВВП в паритетах покупательской способности Х₁, далее по степени влияния следует коэффициент младенческой смертности Х₄.

Определим дельта–коэффициенты факторов:

r_y,x1 0.780235

Δ₁ = B₁ · ___ = 0.1346 · _______ ≈ 0.11094;

 R² 0.946585

 r_y,x4 - 0.96876

Δ₄ = B₄ · ___ = - 0.8711 · _______ ≈ 0.8915;

R² 0.946585

где r_y,x1=0,780235; r_y,x4=(–0,96876); — коэффициенты корреляции между парами переменных Y–X₁ и Y–X₄ соответственно (см. табл. 1); R²=0,946585 — множественный коэффициент детерминации (см. табл. 3).

Сумма дельта–коэффициентов факторов, включенных в модель, должна быть равна единице. Небольшое неравенство может быть вызвано погрешностями промежуточных округлений.

Таким образом, в суммарном влиянии на среднюю ожидаемую продолжительность жизни при рождении Y всех факторов, включенных в модель, доля влияния ВВП в паритетах покупательной способности X₁ составляет 11,094 %, коэффициента младенческой смертности Х₄ — 89,15 %.

6.Рассчитаем прогнозное значение годовой прибыли, если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений в исходных данных. Максимальные значения факторов были определены с помощью встроенной функции «МАКС» (см. прил. 1). Прогнозные значения рассчитываются только для количественных факторов X₁ и X₄:

·  фактор Х₁: х₀₁=0,75*х_1max=0.75*100=75;

·  фактор Х₄: x₀₄=0.75*x_4max=0.75*124=93.

Среднее прогнозируемое значение (точечный прогноз) годовой прибыли государственной компании (x₀₆=0) составляет:

Для частной компании (x₀₆=1) этот показатель равен

Стандартная ошибка прогноза фактического значения годовой прибыли y₀ рассчитывается по формуле

Так как фиктивная переменная Х₆ может принимать два значения — 0 или 1, то S_y0 определяется для обоих случаев:

·  для государственных компаний (x₀₆=0):

·  для частных компаний (x₀₆=1):

Построим интервальный прогноз фактического значения годовой прибыли y₀ с доверительной вероятностью g=0,8. Доверительный интервал имеет вид:

,

где t_таб=1,321 — табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости  и числе степеней свободы  (p=4 — число факторов в модели) (см. Справочные таблицы).

Для государственных компаний:

 тыс. руб.

Таким образом, с вероятностью 80 % годовая прибыль государственных компаний при заданных значениях факторов будет находиться в интервале от 272,4 до 945,4 тыс. руб.

Для частных компаний:

 тыс. руб.

С вероятностью 80 % годовая прибыль частных компаний будет находиться в интервале от 499,1 до 1173,7 тыс. руб.

[1]Для копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+Print Screen (на некоторых клавиатурах — Alt+PrtSc).