Вариационный размах - показывает, насколько велико различие между наибольшей и наименьшей единицами совокупности

10. Вариационный размах - показывает, насколько велико различие между наибольшей и наименьшей единицами совокупности

R = X _{max -} X _min=3,79

На основании полученных вычислений можно сделать следующие выводы:

1. Необходимое условие для того, чтобы выборка имела нормальный закон распределения, выполняется, т.к. для коэффициента вариации V выполняется неравенство:

V = 5,603735% < 33%

Отсюда следует, что все выборочные значения случайной величины X положительны, что мы и видим в исходных данных.

2. Для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса должны быть равны нулю, т.е. А_s = Е = О

Выборочный коэффициент асимметрии служит для характеристики асимметрии распределения случайной величины. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен 0.

По результатам вычисления асимметрия близка к нулю А_s = 0,069231.

В связи с этим необходимы дополнительные исследования для выяснения степени близости распределения выборки к нормальному распределению.

1.3 Результаты вычисления интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии

Для вычисления интервальной оценки математического ожидания воспользуемся формулой:

Где a=M [X] - математическое ожидание,

N-1=V=59 - число степеней свободы,

 - величина, численно равная половине интервала, в который может попасть случайная величина , имеющая определённый закон распределения при заданной доверительной вероятности р и заданном числе степеней свободы V.

Подставляем в формулу вычисленные ранее значения , и N. В результате получим

16,0515 - t_{59,p (}0,899484/√60) ‹a‹16,0515 + t_{59,p (}0,899484/√60)

Задаёмся доверительной вероятностью ;

Для каждого значения  (i=1,2) находим по таблице значения и вычисляем два варианта интервальных оценок для математического ожидания.

1. При  

16,0515 - 2 ₍0,899484/√60) = 15,81925

16,0515 + 2 (0,899484/√60) = 16,28375

15,81925 < a < 16,28375

2.При  t_{59; 0,99}= 2,66

16,0515 - 2,66 ₍0,899484/√60) = 15,74261

16,0515 + 2,66 (0,899484/√60) = 16,36039

15,74261 < a < 16,36039

Для интервальной оценки дисперсии существуют следующие неравенства:

Подставляем в неравенство известные значения N и получим неравенство, в котором неизвестны  и .

(59*0,809071) /Х₂²<σ²< (59*0,809071) / Х₁²

Задаваясь доверительной вероятностью  (или уровнем значимости а) вычисляем значения  и . Используем эти два значения и степень свободы V=N-1 по таблице находим  и

 и  - это границы интервала, в который попадает случайная величина Х, имеющая  распределение вероятности  и заданной степени свободы V.

Для =0,95

  и V=59 находим по таблице:

Подставляя в неравенства  и  и произведя вычисления, получим интервальную оценку:

(59*0,809071) /83,2976<σ²< (59*0,809071) / 40,4817

0,573068<σ²<1,179179

Для

;  и V=59 находим по таблице:

,

Подставляя в неравенства  и  и произведя вычисления, получим интервальную оценку:

(59*0,809071) /91,9517<σ²< (59*0,809071) / 35,5346

0,519133<σ²<1,343343

Для интервальной оценки среднего квадратического отклонения имеем

При

σ = 0,899484

6,909064

0,757017<σ<1,085904

При

0,093802<σ< 0,368412

 

1.4 Результаты ранжирования выборочных данных вычисления моды и медианы

Используя исходные данные, записываем все заданные значения выборки в виде неубывающей последовательности значений случайной величины Х.

Таблица 1.4.1

Ранжированный ряд

1	14,4	11	15,15	21	15,61	31	15,88	41	16,4	51	17,02
2	14,44	12	15,15	22	15,64	32	15,93	42	16,4	52	17,12
3	14,85	13	15,22	23	15,68	33	15,96	43	16,52	53	17,26
4	15,01	14	15,22	24	15,7	34	16,05	44	16,6	54	17,36
5	15,02	15	15,26	25	15,78	35	16,26	45	16,62	55	17,38
6	15,03	16	15,28	26	15,8	36	16,29	46	16,67	56	17,39
7	15,04	17	15,31	27	15,81	37	16,3	47	16,75	57	17,7
8	15,07	18	15,38	28	15,81	38	16,31	48	16,84	58	17,78
9	15,1	19	15,41	29	15,85	39	16,38	49	16,91	59	17,94
10	15,12	20	15,59	30	15,86	40	16,38	50	16,91	60	18, 19

Интервал [14,40; 18, 19], содержащий все элементы выборки, разбиваем на частичные интервалы, используя при этом формулу Стерджесса для определения оптимальной длины и границ этих частичных интервалов.

По формуле Стерджесса длина частичного интервала равна:

= 0,548717225

Для удобства и простоты расчетов округляем полученный результат до сотых: h = 0,55

За начало первого интервала принимаем значение:

Х_о=Х_min - h/2 = 14,13

Х₁=Х₀ + h = 14,67

Х₂ = Х₁+h = 15,22

Х₃ = Х₂ + h = 15,77

Х₄=16,32

Х₅=16,87

Х₆=17,42

Х₇=17,97

Х₈ = 18,52

Вычисление границ заканчивается как только выполняется неравенство

Х_n >X _max: Х₈ = 18,52 > Х_max = 18, 19

По результатам вычислений составляем таблицу. В первой строке таблицы помещаем частичные интервалы, на второй строке - середины интервалов, в третьей строке записано количество элементов выборки, попавших в каждый интервал частоты, в четвертой строке записаны относительные частоты и в пятой строке записаны значения плотности относительных частот или значения выборочной, экспериментальной функции плотности (таблица 1.4.2).

Таблица 1.4.2

Значение выборочной функции и плотности

Интервалы h	[14,33; 14,67)	[14,67; 15,22)	[15,22; 15,77)	[15,77; 16,32)	[16,32,16,87)	[16,87; 17,42)	[17,42; 17,97)	[17,97; 18,52)
	14,40	14,95	15,50	16,05	16,59	17,14	17,69	18,24
частота ni	2	12	10	14	10	8	3	1
	0,033333333	0,2	0,166666667	0,233333333	0,166666667	0,133333333	0,05	0,016666667
	0,060747744	0,364486462	0,303738718	0,425234206	0,303738718	0,242990975	0,091121615	0,030373872
	60,747744	364,486462	303,738718	425,234206	303,738718	242,990975	91,121615	30,373872

По результатам вычислений функции плотности, представленной в таблице 4.1 можно сделать вывод, что мода имеет один локальный максимум в окрестностях точки х=0.34 с частотой n=20.

Оценку медианы находим, используя вариационный ряд

Т.к. N=2k, то k=N/2=30

Сравнение оценок  медианы = 15,87 и оценки математического ожидания 16,0515 показывает, что они отличаются на 1,14 %.

 

1.5 Параметрическая оценка функции плотности распределения

Исходя из гипотезы, что заданная выборка имеет нормальный закон распределения, найдём параметрическую оценку функции плотности, используя формулу для плотности распределения вероятности нормального закона

где  и  известны - они вычисляются по выборке.

=0,899484

=16,0515

Значения этой функции вычисляют для середин частичных интервалов вариационного ряда, т.е. при . На практике для упрощения вычислений функции , где i=1,2,…,k, пользуются таблицами значений функции плотности стандартной нормальной величины.

Для этого вычисляем значения  для i=1,2,…,k:

,

Затем по таблице находим значение

:

0,0775

 0,1895

 0,3271

 0,3986

 0,3230

 0,1804

0,0694

0,0184

И после вычисляем функцию :

0,0862

0,2107

 0,3637

0,4431

0,3591

0, 2006

0,0772

0,0205

Функция , вычисленная при заданных параметрах  и  в середине частичного интервала фактически является теоретической относительной частотой, отнесённой к середине частичного интервала

поэтому для определения теоретической частоты , распределённой по всей ширине интервала, эту функцию необходимо умножить на N*h.

, где h=0,55

0,55*0,0862= 0,0473

0,1156

0, 1995

0,2432

0, 1970

0,1101

p₇^T=0,0423

p₈^T=0,0112

 где N=60

0,0473*60= 2,8367

6,9361

11,9726

 14,5896

11,8225

6,6030

n₇^T=2,5402

n₈^T=0,6735

Результаты вычислений вероятностей и соответствующих частот приведены в таблице 5.1.

Таблица 1.5.1

[14,33; 14,67)	2	14,40	0,0333	0,0607	-1,84	0,0862	0,0473	2,8367
[14,67; 15,22)	12	14,95	0,2	0,3644	-1,23	0,2107	0,1156	6,9361
[15,22; 15,77)	10	15,50	0,1666	0,3037	-0,62	0,3637	0, 1995	11,9726
[15,77; 16,32)	14	16,05	0,2333	0,4252	-0,01	0,4431	0,2432	14,5896
[16,32,16,87)	10	16,59	0,1666	0,3037	0,60	0,3591	0, 1970	11,8225
[16,87; 17,42)	8	17,14	0,1333	0,2429	1,21	0, 2006	0,1101	6,6030
[17,42; 17,97)	3	17,69	0,05	0,0911	1,82	0,0772	0,0423	2,5402
[17,97; 18,52)	1	18,24	0,0166	0,0303	2,43	0,0205	0,0112	0,6735
	60		1				0,9662	57,9742

Результаты вычисления экспериментальных и теоретических вероятностей и частот.

1

0,9662

57,9742

Из результатов вычислений следует, что сумма вероятностей в интервале [14,33; 18,52) равна единице, а сумма частот равна 57,9742. Это объясняется тем, что мы вычисляем вероятности в интервале, где заданы экспериментальные данные. Сравнение экспериментальных и теоретических частот по критерию Пирсона с целью проверки гипотезы о нормальном распределении возможно только в том случае, если для каждого частичного интервала выполняется условие . Результаты вычислений приведённые в таблице 5.1 показывают, что это условие выполняется не везде. Поэтому, те частичные интервалы, для которых частоты  объединяем с соседними.

Соответственно объединяем и экспериментальные частоты .

Таблица 1.5.2

Теоретическая и экспериментальная плотности вероятности

	0,0607	0,3644	0,3037	0,4252	0,3037	0,2429	0,0911	0,0303
	0,0862	0,2107	0,3637	0,4431	0,3591	0, 2006	0,0772	0,0205

 

Рис.5.1 Теоретическая и экспериментальная плотности

 

1.6. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х сравнивают между собой экспериментальные и теоретические частоты по критерию Пирсона:

Статистика  имеет распределение с V=k-r-1 степенями свободы, где число k - число интервалов эмпирического распределения, r - число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным. Для нормального распределения число степеней свободы равно V=k-3.

В теории математической статистики оказывается, что проверку гипотезы о модели закона распределения по критерию Пирсона можно делать только в том случае, если выполняются следующие неравенства:   где i=1,2,3,… Из результатов вычислении, приведённых в таблице 5.1 следует, что необходимое условие для применения критерия согласия Пирсона не выполнены, т.к. в некоторых группах . Поэтому те группы вариационного ряда, для которых необходимое условие не выполняется, объединяют с соседними и, соответственно, уменьшают число групп, при этом частоты объединённых групп суммируются. Так объединяют все группы с частотами  до тех пор, пока для каждой новой группы не выполнится условие .

При уменьшении числа групп для теоретических частот соответственно уменьшают и число групп для эмпирических частот. После объединения групп в формуле для числа степеней свободы V=k-3 в качестве k принимают

новое число групп, полученное после объединения частот.

Результаты объединения интервалов и теоретических частот для таблицы 5.1 приведены соответственно в таблице 6.1 Результаты вычислений из таблицы 6.1 можно используют для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

Таблица 1.6

Результаты объединения интервалов и теоретических частот.

[14,33; 15,22)	0,1629	9,7728	14	17,86922	1,828465
[15,22; 15,77)	0, 1995	11,9726	10	3,891151	0,325005
[15,77; 16,32)	0,2432	14,5896	14	0,347628	0,023827
[16,32,16,87)	0, 197	11,8225	10	3,321506	0,280948
[16,87; 18,52)	0,1636	9,8167	12	4,766799	0,485581
сумма	0,9662	57,9742	60		2,943825

Процедура проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х выполняется в следующей последовательности:

1. Задаёмся уровнем значимости  или одним из следующих значений , , .