Теоретические сведения

3.16 Теоретические сведения

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Проиллюстрируем метод на системе из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

 (1)

В такой системе, по крайней мере, один из коэффициентов  отличен от нуля. Уравнения необходимо переставить таким образом, чтобы на месте первого уравнения было уравнение с максимальным отличным от нуля коэффициентом при Х=0. Далее вводится множитель  , на него умножается первое уравнение системы и вычитается из второго уравнения. При этом мы получим

Третье уравнение системы (1) умножим на коэффициент  и вычтем из второго уравнения первое уравнение, умноженное на этот коэффициент. В результате получим

Таким образом система уравнений (1) приводится к виду:

 (2)

Для системы уравнений (2) введем множитель  , умножим на него второе уравнение системы (2) и вычтем из третьего уравнения. В результате третье уравнение системы (2) примет вид:

Тогда система уравнений (2) примет вид:

 (3)

Мы получили треугольную систему уравнений и необходимо выполнить обратную подстановку для вычисления неизвестных.

Обобщим метод на случай системы из n уравнений с n неизвестными.

На k-ом этапе мы исключаем из системы уравнений с помощью множителей

 

 , где i=k+1, k+2,…,n-1

J=k,k+1,…,n-1

Индекс k принимает значения k=0,1,…,n-2 включительно. При k=n-2 происходит исключение  из последнего уравнения и в результате получится треугольная система уравнений.

В представленной блок-схеме все множители, на которые нужно умножать уравнения, обозначаем буквой m, т. к. на каждом этапе требуется не более 1-го множителя.

k-номер уравнения, который вычитается из остальных, а также неизвестного, который исключается из остальных n-k уравнений

i-номер уравнения, из которого в данный момент исключается неизвестное, j-номер столбца

После приведения системы к ∆-му виду необходимо сделать обратный ход для нахождения неизвестных, значения которых будут вычисляться по формуле:

Где j-n-2, n-3,…,0

Начертим блок-схему для функции обратной подстановки

Начертим блок-схему для функции определения наибольшего коэффициента  и перестановки уравнений при необходимости.

Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Пусть в результате эксперимента получается следующая таблица значений:

x0	x1	…	xn-1
y0	y1	…	yn-1

Требуется найти аналитический вид функции, которая в точках x₀, x₁,…,x_n-1 будет иметь значения достаточно близкие к y₀, y₁,…,y_n-1.

Рассмотрим наиболее простой вид аппроксимации, т.е. замены таблицы значений аналитическим видом функции – аппроксимацию линейной функцией, т.е. будем находить функцию y=a₀*x+a₁, из которой в точках x₀, x₁,…,x_n-1 значения будут близки к y₀, y₁,...,y_n-1. В качестве критерия близости будем рассматривать квадратичный критерий качества

 (1)

Необходимо найти коэффициенты a₀ и a₁, чтобы критерий качества стремился к минимуму. Как известно, необходимое условие минимума – равенство 0 первых производных функции по соответствующим переменным. Найдем производные критерия качества (1) по переменным a₀ и a₁

 (2)

Разделим каждое из уравнений системы (2) на -2 и поставим неизвестные перед коэффициентами

 (3)

Система (3) – система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Будем решать его методом алгебраического сложения. Первое уравнение системы (3) умножим на n, а второе уравнение на  и вычтем из первого уравнения второе, из второго уравнения системы (3) получим выражение для a₁

Аппроксимация квадратичной функции:

Пусть дана таблица значений

x0	x1	………	xn-1
y0	y1	………	yn-1

Требуется аппроксимировать эту таблицу полиномом третьего порядка, т.е. требуется найти коэффициенты полинома y=a₀x²+a₁x+a₂ , который в точках x₀ , x₁ , … , x_n-1 имеет значения достаточно близкие к y₀ , y₁ , … , y_n-1.

В качестве критерия близости выберем квадратичный критерий качества, который должен стремиться к минимуму.

a= (1)

Найдем производные функции (1) по переменным а₀ , а₁ и а₂.

2*

(2) 2* 

2*

Разделим каждое уравнение системы (2) на (-2) и поставим коэффициенты после неизвестных

(3)

Система уравнений (3) это система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными, которую необходимо решать методом Гаусса или итерации.

Для того, чтобы решить систему методом Гаусса необходимо вычислить коэффициенты при неизвестных а₀ , а₁ и а₂ и записать их в соответствующие переменные и, может быть, выполнить переобозначение , так как при решении системы уравнений методом Гаусса систему уравнений мы записывали в виде:

a_00*x₀+a₀₁*x₁+…+a_0,n-1=b₀

a_10*x₀+a₁₁*x₁+…+a_1,n-1=b₁

_{………………………………………...}

a_n-1,0*x₀+a_n-1,1*x₁+…+a_n-1,n-1=b_n-1

или систему уравнений рассмотрим в виде:

x₀₀*a₀+x₀₁*a₁+…+x_0n-1=b₀

x₁₀*a₀+x₁₁*a₁+…+x_1n-1=b₁

…………………………..

Список использованных источников

1)  Программирование на С++ в среде Visual Studio C++. NET: учеб. пособие / А. Б. Лазарева, А. В. Троицкий, С. Н. Митяков – Н. Новгород, 2008.-334

2)  Алгоритмические языки и программирование: методические указания к курсовой работе для студентов специальностей 230401.65 / А. Б. Лазарева, Т. Е. Жилина – АПИ НГТУ 2010.-43