Математическое моделирование экономических ситуаций

Тема 1

Задача 1

Имеется информация о количестве книг, полученных студентами по абонементу за прошедший учебный год.

2	4	4	7	6	5	2	2	3	4
4	3	6	5	4	7	6	6	5	3
2	4	2	3	5	7	4	3	3	2
4	5	6	6	10	4	3	3	2	3

Построить вариационный, ранжированный, дискретный ряд распределения, обозначив элементы ряда.

Решение:

Ранжированный вариационный ряд:

2	2	2	2	2	2	2	3	3	3
3	3	3	3	3	3	4	4	4	4
4	4	4	4	4	5	5	5	5	5
6	6	6	6	6	6	7	7	7	10

Дискретный вариационный ряд:

	2	3	4	5	6	7	10
	7	9	9	5	6	3	1
	7/40	9/40	9/40	5/40	6/40	3/40	1/40

– варианты, – частоты, =/(7+9+9+5+6+3+1)=/40

 

Тема 2

Задача 1

В таблице приведены данные о продажах автомобилей в одном из автосалонов города за 1 квартал прошедшего года. Определите структуру продаж.

Марка автомобиля	Число проданных автомобилей
Skoda	245
Hyundai	100
Daewoo	125
Nissan	274
Renault	231
Kia	170
Итого	1145

Решение:

Показатель структуры (ОПС):

ОПС = Число проданных автомобилей / 1145

Skoda 245/1145=0.214

Hyundai 100/1145=0.087

Daewoo 125/1145=0.109

Nissan 274/1145=0.239

Renault 231/1145=0.203

Kia 170/1145=0.148

Марка автомобиля	Число проданных автомобилей	Доля в продажах (%)
Skoda	245	21.4
Hyundai	100	8.7
Daewoo	125	10.9
Nissan	274	23.9
Renault	231	20.3
Kia	170	14.8
Итого	1145	100

Тема 3

Задача 1

Имеется информация о численности студентов ВУЗов города и удельном весе (%) обучающихся студентов на коммерческой основе:

ВУЗы города	Общее число студентов (тыс. чел.)	Из них удельный вес (%), обучающихся на коммерческой основе.
УГТУ—УПИ	15	15
УрГЭУ	3	10
УрГЮА	7	20

Определить: 1) средний удельный вес студентов ВУЗов, обучающихся на коммерческой основе; 2) число этих студентов.

Решение:

1) Средний удельный вес студентов ВУЗов, обучающихся на коммерческой основе (%): (15+10+20)/3=15 %

Число студентов, обучающихся в этих трёх ВУЗах на коммерческой основе в сумме: 15*0.15+3*0.1+7*0.2=2.25+0.3+1.4=3.95 тыс. чел.

2) Число студентов ВУЗов, обучающихся на коммерческой основе в среднем: 3.95/3=1.317 тыс. чел.

Тема 4

Задача 1

При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты:

Размер месячного вклада, рубли	Число вкладчиков
	Банк с рекламой	Банк без рекламы
До 500		3
500-520		4
520-540		17
540-560	11	15
560-580	13	6
580-600	18	5
600-620	6
620-640	2
Итого	50	50

Определить:

1)  для каждого банка: а) средний размер вклада за месяц; б) дисперсию вклада;

2)  средний размер вклада за месяц для двух банков вместе.

3)  Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы;

4)  Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы;

5)  Общую дисперсию используя правило сложения;

6)  Коэффициент детерминации;

7)  Корреляционное отношение.

Решение:

(0+500)/2=250, (500+520)/2=510, (520+540)/2=530, (540+560)/2=550,

(560+580)/2=570, (580+600)/2=590, (600+620)/2=610, (620+640)/2=630.

Размер месячного вклада, рубли	Средний размер месячного вклада, рубли	Число вкладчиков
		Банк с рекламой	Банк без рекламы
До 500	250		3
500-520	510		4
520-540	530		17
540-560	550	11	15
560-580	570	13	6
580-600	590	18	5
600-620	610	6
620-640	630	2
Итого		50	50

1) Для банка с рекламой средний размер вклада за месяц составил:

(550*11+570*13+590*18+610*6+630*2)/50=580 руб.

Для банка без рекламы средний размер вклада за месяц составил:

(250*3+510*4+530*17+550*15+570*6+590*5)/50=528,4 руб.

Для банка с рекламой дисперсия вклада будет:

=((550-580)²*11+(570-580)²*13+(590-580)²*18+(610-580)²*6+

+(630-580)²*2)/50=(900*11+100*13+100*18+900*6+2500*2)/50=23400

/50=468

Для банка без рекламы дисперсия вклада будет:

=((250-528,4)²*3+(510-528,4)²*4+(530-528,4)²*17+(550-528,4)²*15+

+(570-528,4)²*6+(590-528,4)²*5)/50=

= (232519,68+1354,24+43,52+6998,4+10383,36+18972,8)/50=

= 270272/50=5405,44

2) Средний размер вклада за месяц для двух банков вместе:

(250*3+510*4+530*17+550*(11+15)+570*(13+6)+590*(18+5)+610*6+63

0*2)/(50+50)=(750+2040+9010+14300+10830+13570+3660+1260)/100=55

4,2 руб. (или (580+528,4)/2=554,2 руб.)

3) Дисперсия вклада для 2-х банков, зависящая от рекламы:

=((550-554,2)²*11+(570-554,2)²*13+(590-554,2)²*18+

+(610-554,2)²*6+(630-554,2)²*2)/50=

=(17,64*11+249,64*13+1281,64*18+3113,64*6+5745,64*2)/50=

=56682/50=1133,64

4) Дисперсия вклада для 2-х банков, зависящая от всех факторов, кроме рекламы:

=((250-554,2)²*3+(510-554,2)²*4+(530-554,2)²*17+(550-554,2)²*15+

+(570-554,2)²*6+(590-554,2)²*5)/50=

=(92537,64*3+1953,64*4+585,64*17+17,64*15+249,64*6+1281,64*5)/50

=303554/50=6071,08

5) Определить общую дисперсию используя правило сложения:

=((250-554,2)²*3+(510-554,2)²*4+(530-554,2)²*17+(550-

554,2)²*(11+15)+

+(570-554,2)²*(13+6)+(590-554,2)²*(18+5)+(610-554,2)²*6+(630-

554,2)²*2)/

/100=(277612,92+7814,56+9955,88+458,64+4743,16+29477,72+18681,84+

+11491,28)/100=360236/100=3602,36

Тема 5

Задача 1

Имеется информация о выпуске продукции (работ, услуг), полученной на основе 10% выборочного наблюдения по предприятиям области:

Группы предприятий по объему продукции, тыс. руб.	Число предприятий (f)
До 100 100-200 200-300 300-400 400-500 500 и >	28 52 164 108 36 12
итого	400

Определить:

1) по предприятиям, включенным в выборку:

а) средний размер произведенной продукции на одно предприятие;

б) дисперсию объема производства;

в) долю предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб.;

2) в целом по области с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать:

а) средний объем производства продукции на одно предприятие;

б) долю предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб.;

3) общий объем выпуска продукции по области.

Решение:

Группы предприятий по объему продукции, тыс. руб.	Средний объём продукции на группу, тыс. руб.	Число предприятий (f)
До 100 100-200 200-300 300-400 400-500 500 и >	50 150 250 350 450 550	28 52 164 108 36 12
итого		400

1) Средний размер произведенной продукции на одно предприятие:

(50*28+150*52+250*164+350*108+450*36+550*12)/400=110800/400=

=277 тыс. руб.

Дисперсия объема производства:

=((50-277)²*28+(150-277)²*52+(250-277)²*164+(350-277)²*108+

+(450-277)²*36+(550-277)²*12)/400=4948400/400=12371

Доля предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб.:

(36+12)/400= 0,12 или 12%

2) Определить в целом по области с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать:

а) средний объем производства продукции на одно предприятие:

 111,225

Величина t определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства

.

Следовательно, в нашем случае последнее равенство принимает вид

Ф(t)=0,954/2=0,477.

Из этого равенства по таблице значений интегральной функции Лапласа  находим значение t=2,00.

√n=√400=20

Найдём нижний предел:

277-2*111,225/20=265,8775 тыс. руб.

Найдём верхний предел:

277+2*111,225/20=288,1225 тыс. руб.

Iγ(a)=( 265,8775 ; 288,1225)

б) долю предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб.:

Средняя: (450+550)/2=500 тыс. руб.

Найдём нижний предел:

500-2*111,225/20= 488,8775 тыс. руб.

Найдём верхний предел:

500+2*111,225/20= 511,1225 тыс. руб.

Iγ(a)=( 488,8775 ; 511,1225)

3) Общий объем выпуска продукции по области:

50*28+150*52+250*164+350*108+450*36+550*12=110800 тыс. руб.

 

Тема 6

Задача 1

Данные о площадях под картофелем до и после изменения границ района, тысяч гектаров:

периоды площадь под картофелем	1	2	3	4	5	6	7
До изменения границ района	110	115	112
После изменения границ района			208	221	229	234	230

Сомкнуть ряд, выразив площадь под картофелем в условиях изменения границ района.

Решение:

208/112=1,857 – коэффициент

110*1,857=204.27

115*1,857=213.55

115/112*100=102,68%

110/112*100=98,21%

221/208*100=106,25%

229/208*100=110,096%

234/208*100=112,5%

230/208*100=110,58%

периоды площадь под картофелем	1	2	3	4	5	6	7
До изменения границ района	110	115	112	-----	-----	-----	-----
После изменения границ района	-----	-----	208	221	229	234	230
Сомкнутый ряд	204.27	213.55	208	221	229	234	230
Сомкнутый ряд относительных величин в % к 3 периоду	98,21	102,68	100,0	106,25	110,096	112,5	110,58

Тема 7

Задача 1

По нижеприведенным данным ответить на вопросы, поставленные в таблице, т.е. определить недостающие показатели

Показатели	Изменение показателей в % к предыдущему кварталу «+»-увеличение, «-» - уменьшение
	II квартал	III квартал	IV квартал
Цена	?	+10	-2
Натуральный объем продаж	Без изменения	?	+5
Товарооборот в денежном выражении	+8	+5	?

Решение:

Найдём в III квартале ip – так как 110-100=10% (+10) в этой ячейке, то значение индекса запишем 110/100=1,1 По аналогии заполним все ячейки.

Индексы	Значения индексов
	II квартал	III квартал	IV квартал
ip	x	1,1	0,98
iq	1,0	y	1,05
Ipq	1,08	1,05	z

Теперь найдём x,y,z:

Ipq= ip* iq

x= Ipq / iq=1,08/1=1,08 (+8)

y=1,05/1,1=0,95 (-5)

z=0,98*1,05=1,03 (+3)

Таблица примет вид:

Показатели	Изменение показателей в % к предыдущему кварталу «+»-увеличение, «-» - уменьшение
	II квартал	III квартал	IV квартал
Цена	+8	+10	-2
Натуральный объем продаж	0	-5	+5
Товарооборот в денежном выражении	+8	+5	+3

Тема 8

Задача 1

По пяти рабочим цеха имеются данные о квалификации и месячной выработке. Для изучения связи между квалификацией рабочих и их выработкой определить линейное уравнение связи и коэффициент корреляции. Дать интерпретацию коэффициентам регрессии и корреляции.

Табельный номер рабочего	Разряд (y)	Выработка продукции за смену, шт. (x)
1 2 3 4 5	6 2 3 5 4	130 60 70 110 90

Решение:

Линейное уравнение связи:

y=a+bx

6=a+130*b, a=6-130*b

5=a+110*b, a=5-110*b

6-130*b=5-110*b; 6-5=130*b-110*b; 1=20*b; b=1/20=0,05

6=a+0,05*130; a=6-0,05*130; a=-0,5

Линейное уравнение примет вид:

y=-0,5+0,05x

Проверка:

4=-0,5+0,05*90, 4=4; 3=-0,5+70/20, 3=3; 2=-0,5+60/20, 2=2,5 –

работник 2-го разряда перевыполняет норму и не вписывается в общую зависимость.

Коэффициент корреляции:

Найдём числитель (n=5):

(2*60+3*70+4*90+5*110+6*130)-(2+3+4+5+6)*

*(60+70+90+110+130)/5=2020-20*460/5=180

Σx²-(Σx)²/n=(60²+70²+90²+110²+130²)-(60+70+90+110+130)²/5=

=45600-211600/5=45600-42320=3280

Σy²-(Σy)²/n=(2²+3²+4²+5²+6²)-(2+3+4+5+6)²/5=90-400/5=90-80=10

r=180/√3280*√10=180/181,1077=0,99388

По шкале Чеддока связь классифицируется как функциональная. Поскольку (0,99388>0,99100), модель надёжна, связь статистически значима.

Тема 9

Задача 1

Имеются следующие данные за 2006 год:

·  Численность населения, тыс. чел.: на 1 января - 430,0; на 1 апреля - 430,2; на 1 июля 430,3; на 1 октября - 430,7; на 1 января 2007 г. 430,8

·  Число умерших, чел. - 8 170

·  Число выбывших на постоянное жительство в другие населенные пункты, чел. - 570

·  Коэффициент жизненности - 1,075

·  Доля женщин в общей численности населения, % - 58

·  Доля женщин в возрасте 15-49 лет в общей численности женщин, % -39

Определите: коэффициенты рождаемости, смертности, естественного, механического и общего прироста населения; число родившихся; число прибывших на постоянное жительство из других населенных пунктов; специальный коэффициент рождаемости.

Решение:

Коэффициент рождаемости

:

N – кол-во родившихся, S – численность населения.

Средняя численность населения:

 

=

 

=(430/2+430,2+430,3+430,7+430,8/2)/(5-1)=

=1721,6/4=430,4

N=430,8-430,0=0,8 тыс. чел. (800 чел.) – За весь 2006 г.

n=1000*0,8/430,4=1,859 (чел./тыс. чел.)

Коэффициент смертности

:

M – кол-во умерших.

m=1000*8,17/430,4=18,982 (чел./тыс. чел.) – за 2006 г.

Коэффициент естественного прироста населения

 

:

Kn-m=1,859-18,982=-17,123 (чел./тыс. чел.)

Коэффициент механического прироста населения

 

:

Коэффициент выбытия населения:

=1000*0,57/430,4=1,324 (чел./тыс. чел.)

Коэффициент прибытия населения:

=0

(В условиях задачи не указано сколько прибыло населения или чему равен Kпр, решение с двумя неизвестными невозможно. Будем считать его равным 0)

=0-1,324=-1,324 (чел./тыс. чел.)

 

Коэффициент общего прироста населения:

=-17,123+(-1,324)=-18,447

 

Специальный коэффициент рождаемости:

=1000*0,8/(430,4*0,39)= 4,766

Тема 10

Задача 1

Имеются данные на конец года по РФ, млн. чел.:

- численность населения – 146,7

- экономически активное население – 66,7

- безработных, всего - 8,9, в том числе

зарегистрированных в службе занятости – 1,93.

Определить: 1) уровень экономически активного населения; 2) уровень занятости; 3) уровень безработицы; 4) уровень зарегистрированных безработных; 5) коэффициент нагрузки на 1 занятого в экономике.

Решение:

Коэффициент экономически активного населения:

=66,7/146,7=0,45467=45,467%

 

Коэффициент занятости

 

:

занятые = экономически активные - безработные =66,7-8,9=57,8 млн. чел.

=57,8/66,7=0,8666=86,66%

Коэффициент безработицы:

=8,9/66,7=0,1334=13,34%

 

Уровень зарегистрированных безработных:

зарегистрированные в службе занятости / экономически активные=1,93/66,7 = 0,0289=2,89%

Коэффициент нагрузки на одного занятого в экономике – это число незанятых в экономике, приходящееся на одного занятого:

S - численность населения.

 

 = (146,7-57,8)/57,8=1,538