3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе анализа остаточной компоненты (см. табл. 1).

Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона по формуле , т. к. =0,74, d1=1,08, d2=1,36, т.е. d<d1, значит ряд остатков содержит автокорреляцию.

Для обнаружения гетероскедастичности используем тест Голдфельда – Квандта:

1) Упорядочим наблюдения по мере возрастания переменной х.

2) Разделим совокупность на 2 группы по 5 наблюдений и для каждой определим уравнение регрессии. Воспользуемся инструментом Регрессия пакета Анализ данных, полученные результаты представлены в табл. 2.

Таблица 2

n

у1

Предсказанное у1

е1

е12

у2

Предсказанное у2

е2

е22

1 13 13,81 -0,81 0,66 22 22,46 -0,46 0,21
2 15 16,52 -1,52 2,30 26 25,73 0,27 0,07
3 19 16,52 2,48 6,16 26 27,60 -1,60 2,57
4 20 21,25 -1,25 1,57 27 28,07 -1,07 1,15
5 21 19,90 1,10 1,21 30 27,14 2,86 8,20
сумма 11,90 12,20

3) Определим остаточную сумму квадратов для первой  и второй регрессии .

4) Вычислим отношение , т. к. Fнабл=0,98, Fкр(α,к1,к2)= Fкр(0,05,5,5) =5,05 (из таблицы критерия Фишера), Fнабл <Fкр, то гетероскедастичность отсутствует, предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величии не нарушена.

4. Проверим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t‑критерия Стьюдента Расчетные значения t‑критерия Стьюдента для коэффициента уравнения регрессии а1 приведены в четвертом столбце протокола Excel, полученном при использовании инструмента Регрессия (рис. 2).

Рисунок 2

Табличное значение t‑критерия Стьюдента 2,30. tрасч=6,92, так как tрасч>tтабл, то коэффициент а1 значим.

5. Значение коэффициента детерминации (R – квадрат) можно найти в таблице Регрессионная статистика (рис. 2). Коэффициент детерминации/ Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 85,7% вариации зависимой переменной (объем выпуска продукции) учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора (объем капиталовложений).

Значение F – критерия Фишера можно найти в таблице протокола Excel (рис. 2), Fрасч=47,83. Табличное значение F – критерия при доверительной вероятности 0,05 равно 4,46, т. к. Fрасч>Fтабл, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации? в среднем расчетные значения у для линейной модели отличаются от фактических на 1% – хорошее качество модели.

6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя  при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Модель зависимости объема выпуска продукции от величины капиталовложений у=11,78+0,76х. Для того чтобы определить среднее значение фактора У при 80% максимального значения фактора Х, необходимо подставить Хпрогнmax*0,8=22*0,8=17,6 в полученную модель: Упрогн=11,78+0,76*17,6=25,17

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Критерий Стьюдента (при v=n -2=10–2=8) равен 1,8595. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

,

таким образом, прогнозное значение будет находиться между:

Yпрогн(80 % max)+= 25,17+7,26=32,43 – верхняя граница прогноза,

Yпрогн(80 % max) – =25,17–7,26=17,91 – нижняя граница прогноза.

7. Графическое представление (рис. 3) модели парной регрессии зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложений: фактические и модельные значения  точки прогноза.

Рисунок 3


8. Уравнение гиперболической функции: y=a+b/x. Произведем линеаризацию путем замены Х=1/х. В результате получим линейное уравнение y=a+bХ. Рассчитаем его параметры по данным таблицы 3

Таблица 3

n

х

у

Х

уХ

Х2

y-ycp

(у-уср)2

Упр

ε

ε2

/ε/у/*100%

1 17 26 0,05882 1,52941 0,0035 4,1 16,81 24,3846 1,62 2,61 6,213
2 22 27 0,04545 1,22727 0,0021 5,1 26,01 25,066 1,93 3,74 7,163
3 10 22 0,10000 2,20000 0,0100 0,1 0,01 22,2859 -0,29 0,08 1,299
4 7 19 0,14286 2,71429 0,0204 -2,9 8,41 20,1015 -1,10 1,21 5,797
5 12 21 0,08333 1,75000 0,0069 -0,9 0,81 23,1354 -2,14 4,56 10,168
6 21 26 0,04762 1,23810 0,0023 4,1 16,81 24,9557 1,04 1,09 4,016
7 14 20 0,07143 1,42857 0,0051 -1,9 3,61 23,7422 -3,74 14,00 18,711
8 7 15 0,14286 2,14286 0,0204 -6,9 47,61 20,1015 -5,10 26,02 34,010
9 20 30 0,05000 1,50000 0,0025 8,1 65,61 24,8344 5,17 26,68 17,219
10 3 13 0,33333 4,33333 0,1111 -8,9 79,21 10,3929 2,61 6,80 20,054
сумма 219 20,0638 0,1843 265 219 0,00 86,80 124,65
ср. знач. 13,3 21,9 0,10757 2,00638 0,0184 12,465

,

получим следующее уравнение гиперболической модели: ỹ =27,38–50,97/х.

Уравнение степенной модели имеет вид: у=а*хb. Для линеаризации переменных произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lga+blgx. Обозначим Y=lgy', X=lgx, A=lga. Тогда уравнение примет вид Y=A+bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные табл. 4:


Таблица 4

n

у

Y=lg(y)

х

X=lg(x)

YX

X2

yпр

ε

ε2

|ε/y|*100%

1 26 1,415 17 1,230 1,741 1,514 24,823 1,177 1,385 0,045
2 27 1,431 22 1,342 1,921 1,802 27,476 -0,476 0,226 0,018
3 22 1,342 10 1,000 1,342 1,000 20,142 1,858 3,452 0,084
4 19 1,279 7 0,845 1,081 0,714 17,503 1,497 2,242 0,079
5 21 1,322 12 1,079 1,427 1,165 21,641 -0,641 0,411 0,031
6 26 1,415 21 1,322 1,871 1,748 26,977 -0,977 0,955 0,038
7 20 1,301 14 1,146 1,491 1,314 22,996 -2,996 8,975 0,150
8 15 1,176 7 0,845 0,994 0,714 17,503 -2,503 6,263 0,167
9 30 1,477 20 1,301 1,922 1,693 26,464 3,536 12,505 0,118
10 13 1,114 3 0,477 0,531 0,228 12,537 0,463 0,214 0,036
сумма 219 13,273 10,589 14,322 11,891 0,939 36,630 0,764
ср. знач. 1,327 1,059 1,432 1,189 0,076

Уравнение регрессии будет иметь вид: У=0,9103+0,3938*Х. Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения: ỹ=100,91030,3938.

Получим уравнение степенной модели регрессии: ỹ=8,1339*х0,3938.

Уравнение показательной кривой: ỹ=а*bx. Осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lga+x*lgb. Обозначим Y=lgy', В=lgb, A=lga. Получим линейное уравнение регрессии: Y=A+Вх. Рассчитаем его параметры, используя данные табл. 5

Таблица 5

n

у

Y=lg(y)

х

Ух

х2

У-Уср

(У-Уср)2

х-хср

(х-хср)2

Упр

ε

ε2

|ε/y|*100%

1 26 1,415 17 24,0545 289 0,088 0,008 3,7 13,69 24,365 1,635 2,673 26
2 27 1,431 22 31,49 484 0,104 0,011 8,7 75,69 29,318 -2,318 5,375 27
3 22 1,342 10 13,4242 100 0,015 0,000 -3,3 10,89 18,804 3,196 10,21 22
4 19 1,279 7 8,95128 49 -0,049 0,002 -6,3 39,69 16,827 2,173 4,720 19
5 21 1,322 12 15,8666 144 -0,005 0,000 -1,3 1,69 20,248 0,752 0,565 21
6 26 1,415 21 29,7144 441 0,088 0,008 7,7 59,29 28,253 -2,253 5,076 26
7 20 1,301 14 18,2144 196 -0,026 0,001 0,7 0,49 21,804 -1,804 3,255 20
8 15 1,176 7 8,23264 49 -0,151 0,023 -6,3 39,69 16,827 -1,827 3,339 15
9 30 1,477 20 29,5424 400 0,150 0,022 6,7 44,89 27,226 2,774 7,693 30
10 13 1,114 3 3,34183 9 -0,213 0,046 -10,3 106,09 14,512 -1,512 2,285 13
сумма 219 13,273 133 182,832 2161 0,120 392,1 0,814 45,199 219
ср. зн 1,327 13,3 18,2832 216,1

Уравнение имеет вид: У=1,11+0,0161х. Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование уравнения:

ỹ =101,11(10 0,0161)х, ỹ =12,99*1,038х – уравнение показательной кривой.

Графики построенных уравнений регрессии приведены на рис. 4.

Рисунок 4

9. Коэффициент детерминации:

Для сравнения и выбора лучшей модели строим сводную таблицу результатов (табл. 6).


Таблица 6

Параметры

Модель

коэффициент детерминации средняя относительная ошибка аппроксимации коэффициент эластичности
гиперболическая 0,672 7,257 -0,250
степенная 0,862 0,034 0,239
показательная 0,829 3,82 0,010

Вывод: на основании полученных данных лучшей является степенная модель регрессии, т. к. она имеет наибольший коэффициент детерминации R2=0,862, т.е. вариация факторного признака У (объем выпуска продукции) на 86,2% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений), и наименьшую относительную ошибку (в среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических данных на 0,034%). Также степенная модель имеет наибольший коэффициент эластичности, т.е. при изменении фактора на 1% зависимая переменная изменится на 0,24%, таким образом степенную модель можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

Задача 2а и 2б

Имеются два варианта структурной формы модели, заданные в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо для каждой матрицы записать системы одновременных уравнений и проверить их на идентифицируемость.

Задача 2а

Решение.

Запишем систему одновременных уравнений:

у1= b12 у2+ b13 у3+ a12 х2+ a13 х3

у2= b23 у3+ a21 х1+ a22 х2+ a24 x4

у3 = b32 у2+ a31 х1+ a32х2+a33х3


Проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В первом уравнении три эндогенные переменные у1, у2, у3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х1, х4 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 2+1=3 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х1 и х4 (табл. 7)

Таблица 7

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные

х1

х4

2

a21

a24

3

a31

0

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.

2) Во втором уравнении две эндогенные переменные у2, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х3 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1 и х3 (табл. 8)

Таблица 8

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные

у1

х3

1

-1

a13

3

0

a33

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, второе уравнение идентифицируемо.

3) В третьем уравнении две эндогенные переменные у2, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х4 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1 и х4 (табл. 9)

Таблица 9

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные

у1

х4

1

-1

0

2

0

a24

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, третье уравнение идентифицируемо.

Вывод: все уравнения системы идентифицируемы, систему можно решать.

Задача 2б

Решение

Запишем систему уравнений:

у1=b13у3+a11 х1+a13 х3+a14 х4

у2= b21 у1+b23 у3+a22 х2+a24 х4

у3=b31 у1+a31 х1+a33 х3+a34 х4

 

Проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В первом уравнении две эндогенные переменные у1, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у2 и х2 (табл. 10)

Таблица 10

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные

у2

х2

2 -1

a22

3 -1 0

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.

2) Во втором уравнении три эндогенные переменные у1, у2, у3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х1, х3 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 2+1=3 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х1 и х3 (табл. 11)

Таблица 11

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные

х1

х3

1

a11

а13

3

a31

a33

Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.

3) В третьем уравнении две эндогенные переменные у1, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у2 и х2 (табл. 12)


Таблица 12

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные

у2

х2

1 0 0
2 -1

a22

Определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Вывод: не все уравнения системы идентифицируемы, систему решать нельзя.

Задача 2в

По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), построить структурную форму модели вида:

y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 + e1

y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 + e2

 

 

Вар.

n

y1

y2

x1

x2

8 1 61,3 31,3 9 7
2 88,2 52,2 9 20
3 38,0 14,1 4 2
4 48,4 21,7 2 9
5 57,0 27,6 7 7
6 59,7 30,3 3 13

Решение

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в табл. 13.


Таблица 13. Фактические данные для построения модели

n

y1

y2

x1

x2

1 61,3 31,3 9 7
2 88,2 52,2 9 20
3 38 14,1 4 2
4 48,4 21,7 2 9
5 57 27,6 7 7
6 59,7 30,3 3 13
Сумма 352,60 177,20 34,00 58,00
Среднее значение 58,77 29,53 5,67 9,67

Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:

 

у1=d11x1+d12x2+u1

y2=d21x1+d22x2+u2, где u1 и u2 – случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК. Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней у=у-уср и х=х-хср. Преобразованные таким образом данные табл. 13 сведены в табл. 14. Здесь же показаны промежуточные рассчеты, необходимые для определения коэффициентов d.

Таблица 14

n

у1

у2

х1

х2

у1*х1

х12

х1*х2

у1*х2

у2*х1

у2*х2

х22

1 2,53 1,77 3,33 -2,67 8,444 11,111 -8,889 -6,756 5,889 -4,711 7,111
2 29,43 22,67 3,33 10,33 98,111 11,111 34,444 304,144 75,556 234,222 106,778
3 -20,77 -15,43 -1,67 -7,67 34,611 2,778 12,778 159,211 25,722 118,322 58,778
4 -10,37 -7,83 -3,67 -0,67 38,011 13,444 2,444 6,911 28,722 5,222 0,444
5 -1,77 -1,93 1,33 -2,67 -2,356 1,778 -3,556 4,711 -2,578 5,156 7,111
6 0,93 0,77 -2,67 3,33 -2,489 7,111 -8,889 3,111 -2,044 2,556 11,111
Σ 0,00 0,00 0,00 0,00 174,333 47,333 28,333 471,333 131,267 360,767 191,333

Для нахождения коэффициентов первого приведенного уравнения можно использовать систему нормальных уравнений:

 

Σу1х1=d11Σx12+d12Σx1x2;

Σy1x2=d11Σx1x2+d12Σx22.

Подставляя рассчитанные в табл. 14 значения сумм, получим:

 

174,333= 47,333d11+28,333d12

471,333=28,333d11+191,333d12.

Решение этих уравнений дает значения d11=2,423, d12=2,105. Первое уравнение приведенной формы примет вид: у1=2,423х1+2,105х2+u1.

Для нахождения коэффициентов второго приведенного уравнения можно использовать систему нормальных уравнений:

 

Σу2х1=d21Σx12+d22Σx1x2

Σy2x2=d21Σx1x2+d22Σx22

Подставляя рассчитанные в табл. 14 значения сумм, получим:

 

131,267=47,333d21+28,333d22

360,767=28,333d21+191,333d22.

Решение этих уравнений дает значения d21=1,805, d22=1,618. Второе уравнение приведенной формы примет вид: у2=1,805х1+1,618х2+u2

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х2из второго уравнения приведенной модели:

 

х2=(у2-1,805х1)/1,618.

Подставив это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

 

у1=2,423х1+2,105 (у2-1,805х1)/1,618=2,423х1+1,3у2-1,115х1=1,3у2+1,308х1

Таким образом, b12=1,3 а11=1,308.

Найдем х1 из первого уравнения у1=2,423х1+2,105х2 приведенной формы:

 

х1=(у1-2,105х2)/2,423

Подставив это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

у2=1,805 (у1-2,105х2)/2,423+1,618х2=0,745 у1-0,868х2 +1,618х2=0,745у1+0,75х2

Таким образом, b21= 0,745 а22=0,75

Свободные члены структурной формы находим из уравнений:

А011,ср-b12у2,ср11х1,ср=58,77 – 1,3*29,53–1,308*5,67=14,04

А022,ср-b21у1,ср22х2,ср=29,53–0,745*58,77–0,75*9,67=-5,83

 

Окончательный вид структурной модели:

 

y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 + e1=14,04+1,3у2+1,308х1+ e1;

y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 + e2=-5,83+0,745у1+0,75х2+ e2.


Информация о работе «Составление и решение уравнений линейной регрессии»
Раздел: Экономико-математическое моделирование
Количество знаков с пробелами: 18722
Количество таблиц: 16
Количество изображений: 4

Похожие работы

Скачать
243212
11
51

... от темпов роста совокупных активов, что свидетельствует о торможении развития предприятия и ухудшении его финансового состояния в этот период. 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОММЕНДАЦИИ ПО ПРИНЯТИЮ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВАНИИ ФИНАНСОВОГО АНАЛИЗА   5.1 Анализ кредитоспособности ОАО «ММК им. Ильича» Предприятия часто прибегают к услугам коммерческих банков, чтобы покрыть свою дополнительную ...

Скачать
6017
1
0

объема экспериментальных исследований. Применение современной вычислительной техники позволяет в ряде случаев упростить процедуру определения релаксационных констант. Особенно этот метод эффективен, с нашей точки зрения, при изучении релаксационных процессов в модифицированных полимерных материалах, когда известны релаксационные константы полимера-связующего. Суть подхода в определении U, Tm и B ...

Скачать
231668
20
3

... можно прогнозировать динамику уровня кредиторской задолженности предприятия по полученным авансам при планировании изменения объемов реализации продукции на ОАО СЗКО «Молот». 3.5 Автоматизация анализа текущих обязательств Экономический анализ сопровождается выполнением большого объема разнообразных вычислений: абсолютных и относительных отклонений; средних величин; дисперсии; процентных ...

Скачать
30677
0
1

... по данным производственных измерений. Таким образом, найденное уравнение регрессии описывает совместное влияние x 1 и x2 на функцию у. Коэффициенты a, b 1 и b 2 при этом имеют математический смысл. Коэффициент а равен функции у при нулевых значениях аргументов x1 и x 2. В геометрической интерпретации коэффициент а соответствует ординате точки пересечения плоскости регрессии Р с осью ...

0 комментариев


Наверх