Программа вычисления минимума заданной функции

1. Индивидуальное задание

Вычислить минимум функции F(x)=L(x₁)x²-2.5L(x₂)x-3 на отрезке [a;b] с точностью ε.

L(x₁), L(x₂) значения интерполяционного многочлена, построенного для таблично заданной функции f(x) в точках x₁, x₂.

Исходные данные:

a=0; b=2;

x₁=0.041770;

x₂=0.587282;

ε=10^-4;

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
f(x)	1.858652	1.851659	1.851401	1.848081	1.841914	1.833125	1.821948

 

2. Постановка задачи и формализация

 

Для решения поставленной задачи необходимо разработать программные модули, выполняющие следующие действия:

- главный модуль, получающий исходные данные (таблично заданную f(x), a, b, x₁, x₂, ε), передающий их на обработку и выводящий промежуточные и конечные результаты (L(x₁), L(x₂), найденный минимум функции)

- модуль поиска значения интерполяционного многочлена L(x₁), L(x₂)

- модуль поиска минимума функции F(x) численным методом, использующий L(x₁), L(x₂) как коэффициенты при x² и x

3. Выбор, обоснование, краткое описание методов

3.1 Поиск значений интерполяционного многочлена в точках x₁ и x₂

 

3.1.1 Постановка задачи

Требуется найти L(x₁), L(x₂) - значения интерполяционного многочлена, построенного для таблично заданной функции f(x) в точках x₁,x₂ Здесь решается задача аппроксимации, которая состоит в замене некоторой функции

у = f(х) другой функцией g(х,а₀,а₁,...,a_n) таким образом, чтобы отклонение g(х,а₀,а₁,...,a_n) от f(x) удовлетворяло в некоторой области (на множестве X) определенному условию. Этим условием является g(x_i,a_0,a₁,…a_n)=f(x_i) при i=0,n, которое означает, что аппроксимируемая функция f(x) совпадает с g(x_i,a_0,a₁,…a_n) в т.н. узлах интерполяции x₀,x₁,…,x_n. Это частный случай аппроксимации, называемый интерполяцией.

 

3.1.2 Выбор и описание метода

Задача интерполяции может быть решена множеством методов, среди которых:

1)  интерполяционный многочлен Лагранжа

интерполяционные формулы Ньютона Выберем для решения задачи интерполяции интерполяционный многочлен Лагранжа, так как его построение просто в алгоритмизации, не требует вычисления конечных разностей функции, , может быть умещено в одну небольшую процедуру – функцию.

Кроме того, метод Лагранжа работает и для неравноотстоящих интерполяционных узлов, к тому же не имеет различий, если точки x₁ и x₂ для поиска значений L(x₁), L(x₂) лежат в начале или в конце отрезка, где таблично задана функция.

Описание метода:

Задача интерполяции будем решать построением многочлена Лагранжа, который имеет вид:

 

Степень многочлена n обеспечивается n+1 интерполяционным узлом. Для задания таблицы значений функции будем использовать два массива x() и y(). Полином должен удовлетворять условию L_n(x_i)=y(i)

3.2 Поиск минимума функции F(x) на отрезке [a;b]