Представления сообщений с помощью полиномов Лежандра

2. Представления сообщений с помощью полиномов Лежандра

Поместим начало отсчета времени в середину интервала представления:

Рисунок 2

Введем нормированное время

При таких обозначениях полиномы Лежандра задаются соотношением:

, (9)

где  - целая часть n/2.

В частных случаях полиномы Лежандра имеют вид:

 (10)

Полиномы Лежандра при  описываются рекуррентным соотношением:

 . ( 11)

Графики первых четырех полиномов Лежандра приведены на рисунке 3:

Рисунок 3

Структурная схема формирования полинома Лежандра имеет вид (рисунок 4):

Рисунок 4

Структурная схема формирования координат  изображена на рисунке 5, где

, (12)

 - коэффициенты пропорциональности.

Рисунок 5

Недостатки обобщенных представлений с помощью полиномов Лежандра:

1. Сложность формирования весовых функций .

2. Необходимость контроля коэффициента усиления каналов формирования координат .

3. Высокие требования к синхронизации.

При цифровом представлении весовых функций эти недостатки снимаются.

3. Представление сообщений с помощью функций Уолша

Использование этих представлений позволяет избежать многих недостатков представления сообщений с помощью полиномов Лежандра. Достоинством является простота реализации таких представлений с помощью цифровой техники.

Выберем начало отсчета времени у левой границы интервала представления (рисунок 6).

Рисунок 6

Введем нормированное время: , . При использовании функций Уолша число отсчетов следует выбирать так, чтобы выполнялось равенство: , где -целое число.

Функции Уолша строятся на основе базовых функций следующего вида (рисунок 7):

Рисунок 7

Базовые функции ортогональны, т.е. для них выполняется следующее условие:

 . (13)

Все функции Уолша находятся из соотношения:

, (14)

где

, , - целые числа, .

Используя формулу ( 14), определим первые восемь функций Уолша:

1. ;

2. , , ;

3. , , ;

4. , , , ;

5. , , ;

6. , , , ;

7. , , , ;

8. , , , , ;

Построим графики функций Уолша (рисунок 8).

Функции Уолша также ортогональны:

 . (15)

Формирование функций Уолша возможно с помощью элементов цифровой техники. Структурная схема формирования функций Уолша имеет вид, представленный на рисунке 9.

Формирование координат  производится в соответствии с выражением

. ( 16)

Рисунок 8

Рисунок 9

Недостатки обобщенных представлений с помощью функций Уолша:

1. Требуется большее число координат, чем при представлении с помощью полиномов Лежандра при той же точности.

2. Требуется большая полоса устройств формирования при реализации функций Уолша, чем при полиномах Лежандра.

дискретный сигнал представление полином

 

Заключение

Существует два основных способа представления процессов: аналоговый и дискретный. Аналоговое представление заключается в том, что электрическая величина, играющая роль сообщения, формируется непрерывно. Такое представление используется в системах ЧРК, где непрерывное напряжение модулирует несущие или поднесущие гармонические колебания. Дискретное представление делится на дискретно-аналоговое и дискретно-квантованное (цифровое). Дискретно-аналоговое представление сводится к тому, что непрерывный процесс  заменяется совокупностью аналоговых выборок, которые формируются через определенные интервалы времени (используются АИМ, ШИМ, ВИМ). Дискретно-квантованное представление отличается от дискретно-аналогового тем, что выборки формируются в цифровой форме.

При обобщенном дискретном представлении координаты сообщения представляют собой коэффициенты некоторого ряда, это позволяет сократить количество координат, т.е. объем выборки. В качестве координат функций могут использоваться полиномы Чебышева, Лежандра, Уолша и др.

 

Список литературы:

 

1.  Кириллов С.Н., Поспелов А.В. Дискретные сигналы в радиотехнических системах. Учебное пособие. Рязань. РГРТА, 2003. 60с.

2.  Кириллов С.Н., Виноградов О.Л., Лоцманов А.А. Алгоритмы адаптации цифровых фильтров в радиотехнических устройствах. Учебное пособие. Рязань. РГРТА, 2004. 80с.

3.  Кириллов С.Н., Дмитриев В.Т. Алгоритмы защиты речевой информации в телекоммуникационных системах. Учебное пособие с грифом УМО. Рязань. РГРТА, 2005. 128с.

4.  Системы радиосвязи: Учебник для вузов / Н.И. Калашников, Э.И. Крупицкий, И.Л. Дороднов, В.И. Носов; Под ред. Н.И. Калашникова. М.: Радио и связь. 1988. 352с.

5.  Тепляков И.М., Рощин Б.В., Фомин А.И., Вейцель В.А. Радиосистемы передачи информации: Учебное пособие для вузов / М.: Радио и связь. 1982. 264с.