Корреляционный анализ

1.         Корреляционный анализ

Корреляционный анализ проводился с использованием компьютерной программы EXCEL с помощью пакета анализа данных

Таблица 2. Корреляционная зависимость продолжительности жизни от различных факторов.

	У	Х1	Х2	Х3	Х4
У	1
Х1	0,7782	1
Х2	-0,524	-0,49	1
Х3	0,1123	0,096	0,6963	1
Х4	-0,928	-0,763	0,523	-0,032	1

На основании полученных данных можно сделать вывод, что наибольшее влияние на продолжительность жизни оказывает фактор Х1- ВВП в паритетах покупательной способности, у остальных факторов наблюдается слабый корреляционный отклик.

3. Для выбора наилучшей регрессионной функции необходимо ее проанализировать по набору критериев: коэффициенты попарной корреляции, коэффициенты множественной корреляции, критерий Фишера, статистики Стьюдента.

Строим регрессионную функцию по всем регрессорам, использую при этом пакет анализа данных MS Excel «Регрессия»

Таблица 3. Регрессионная статистика

Множественный R	0,9546
R-квадрат	0,9112
Нормированный R-квадрат	0,8981
Стандартная ошибка	2,3541
Наблюдения	32

Пояснения к таблице 2. Регрисеонная статистика содержит строки, характеризующие построенное уравнение регрессии:

Для парной регрессии Множественный R равен коэффициенту корреляции (r_xу). Множественный коэффициент корреляции R определяется как коэффициент корреляции между наблюдаемыми значениями Y_i и расчетными, прогнозируемыми значениями. По его значению 0,9546 можно сказать, что между X и Y существует сильная линейная зависимость.

Строка R–квадрат равна коэффициенту корреляции в квадрате, он близок к 1, это означает что данная модель хорошо описывает данные

Нормированный R–квадрат рассчитывается с учетом степеней свободы числителя (n-2) и знаменателя (n-1) по формуле:

Стандартная ошибка (S) регрессии вычисляется по формуле 1.4.

Последняя строка содержит количество выборочных данных (n). Значимость уравнения в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера

Если найденное значение F больше табличного для уровня значимости α и степеней свободы (n-m-1) и m, то с вероятность 1 - α делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом.

Таблица 4 Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	4	1535,9	383,97	69,285	8,42972E-14
Остаток	27	149,63	5,5418
Итого	31	1685,5

Пояснения к таблице дисперсионного анализа: число регрессоров m = 4 число n-m-1 = 27, где n – число наблюдений

Для уровня значимости α = 0,05 и при степенях свободы 4, 27 табличное значение критерия Фишера Fтаб = 2,71.

Значение F =69,285 существенно превышает табличное, что говорит о статистической значимости уравнения в целом.

Таблица 5 Коэффициенты регрессии

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	72,846	3,4746	20,965	3E-18	65,717	79,976
Х1	0,0031	0,1929	0,0163	0,9871	-0,3925	0,3989
Х2	-6,173	1,9298	-3,199	0,0035	-10,132	-2,213
Х3	5,1218	1,5086	3,395	0,0021	2,02631	8,2173
Х4	-0,18	0,0258	-6,98	2E-07	-0,2326	-0,127

В столбце «Коэффициенты» получены коэффициенты уравнения регрессии.

Коэффициент b0= 72,846 в Таблице анализа – это Y-пересечение. Таким образом, получили уравнение регрессии:

У=72,846+0,0031Х1-6,173Х2+5,122Х3-0,18Х4

Коэффициент b1=0,0013 показывает, что при увеличении ВВП на 1 млр. дол. Средняя продолжительность жизни увеличивается в среднем на 0,0031 лет, увеличение темпов прироста населения на 1%,. приводит в среднем уменьшению продолжительности жизни на 6,173 лет, увеличение темпов прироста рабочей силы на 1% приводит к увеличению продолжительности жизни на 5,122 лет, а увеличение коэффициента младенческой смертности, на 1% ведет к уменьшению средней продолжительности жизни на 0,18 лет.

Стандартные ошибки m_i, t-статистики t_i могут быть вычислены по формулам

Где σ_Y - среднее квадратическое отклонение для отклика Y, σ_Xi - среднее квадратическое отклонение для регрессора Xi (X1, X2, …)R²- коэффициент детерминации для уравнения множественной регрессии,  - коэффициент детерминации для зависимости отклика Y от всех регрессоров кроме Xi,- коэффициент детерминации для зависимости Xi от всех регрессоров кроме Xi.

Табличные t–критерии Стьюдента зависят от принятого уровня значимости и от числа степеней свободы (n-m-1). Если вычисленные значения t–критерия превышают табличные, то говорят, что соответствующий коэффициент регрессии является статистически значимым и на него можно опираться в анализе и прогнозе.

Более того, используя табличное значение t-критерия и стандартную ошибку m_i коэффициента регрессии b_iможно с вероятностью 1 - α сделать вывод о том, что истинное значение коэффициента регрессии попадет в интервал (b_i– t_таб*m_i , b_i+ t_таб*m_i).

Они составляют:

m_(X1) =0.192, m_(X2) =1,9289, m_(X3) =1,5086, m_(X4) =0.0258, m_(y) =3.4746

t_(X1) =0.0163, t_(X2) =-3.199, t_(X3) =3.395, t_(X4) =-6.98, t_(y) =20.965

Табличное значение t–критерия Стьюдента при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы 27 t_таб =2,051. Коэффициенты t- статистики при регрессорах Х1 , Х2 и Х4 меньше t таб., и согласно t–критерию не являются статистически значимыми.

По величине Р-значения возможно определять значимость коэффициентов, не находя критическое значение t-статистики. Если значение t-статистики велико, то соответствующее значение вероятности значимости мало – меньше 0,05, и можно считать, что коэффициент регрессии значим. И наоборот, если значение t-статистики мало, соответственно вероятность значимости больше 0,05 – коэффициент считается незначимым.

Для коэффициентов b₀, b₂, b₃, b₄ значения вероятности близко к нулю, следовательно, b₁ можно считать значимым, b1- близко к единице, коэффициент не значим.

Далее представлены доверительные интервалы (нижняя и верхняя границы) для рассчитанных коэффициентов.

Таблица 6 Расчет относительной ошибки аппроксимации

Страна	У	у ожидаемое	остатки E	остатки/у
Мозамбик	47	48,735	-1,73	0,0369
Бурунди	49	52,969	-3,97	0,081
Чад	48	49,143	-1,14	0,0238
Непал	55	53,316	1,68	0,0306
Буркина-Фасо	49	48,485	0,52	0,0105
Мадагаскар	52	53,552	-1,55	0,0299
Бангладеш	58	57,027	0,97	0,0168
Гаити	57	56,234	0,77	0,0134
Мали	50	46,617	3,38	0,0677
Нигерия	53	54,877	-1,88	0,0354
Кения	58	59,56	-1,56	0,0269
Того	56	52,819	3,18	0,0568
Индия	62	59,73	2,27	0,0366
Бенин	50	50,647	-0,65	0,0129
Пакистан	68	65,915	2,08	0,0307
Мавритания	59	56,25	2,75	0,0466
Зимбабве	47	45,724	1,28	0,0272
Гондурас	60	55,648	4,35	0,0725
Китай	51	53,956	-2,96	0,058
Камерун	57	59,399	-2,40	0,0421
Конго	67	65,687	1,31	0,0196
Шри-Ланка	69	65,577	3,42	0,0496
Египет	57	60,742	-3,74	0,0657
Индонезия	51	52,062	-1,06	0,0208
Филиппины	72	72,195	-0,20	0,0027
Марокко	63	64,082	-1,08	0,0172
Папуа - Новая	64	66,61	-2,61	0,0408
Гвинея	66	66,082	-0,08	0,0012
Гватемала	65	63,929	1,07	0,0165
Эквадор	57	58,912	-1,91	0,0335
Доминиканская Республика	66	64,964	1,04	0,0157
Ямайка	69	69,197	-0,20	0,0029
сумма				1,0424
средняя ошибка аппроксимации				3,2574

Средняя ошибка аппроксимации показывает среднее отклонение расчетных значений от фактических и рассчитывается по формуле:

 

Средняя ошибка аппроксимации составляет 3,2574 %. Это значит, что качество тренда, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдения, признается хорошим, так в норме средняя ошибка аппроксимации колеблется в пределах до 10%

3) Проверка модели на отсутствие автокорреляции

Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями

При проверке независимости значений ei определяется отсутствие в остаточном ряду автокорреляции, под которой понимается корреляция между элементами одного и того же числового ряда. В нашем случае автокорреляция - это корреляция ряда e1, e2, e3 ... с рядом eL+1, eL+2, eL+3 Число L характеризует запаздывание (лаг). Корреляция между соседними членами ряда (т.е. когда L = 1) называется автокорреляцией первого порядка. Далее для остаточного ряда будем рассматривать зависимость между соседними элементами e_i.

Наличие автокорреляции может быть выявлено при помощи d-критерия Дарбина-Уотсона. Значение критерия вычисляется по формуле:

Таблица 7. Расчет критерия d - Дарбина-Уотсона

Страна	остатки E	(Ei –Ei-1)2	Ei2
Мозамбик	-1,73	3,01	3,01
Бурунди	-3,97	4,9903	15,75
Чад	-1,14	7,9868	1,31
Непал	1,68	7,9914	2,84
Буркина-Фасо	0,52	1,3661	0,27
Мадагаскар	-1,55	4,2746	2,41
Бангладеш	0,97	6,3751	0,95
Гаити	0,77	0,0428	0,59
Мали	3,38	6,8497	11,44
Нигерия	-1,88	27,662	3,52
Кения	-1,56	0,1	2,43
Того	3,18	22,484	10,12
Индия	2,27	0,8299	5,15
Бенин	-0,65	8,5083	0,42
Пакистан	2,08	7,46	4,35
Мавритания	2,75	0,4422	7,56
Зимбабве	1,28	2,1712	1,63
Гондурас	4,35	9,4605	18,94
Китай	-2,96	53,41	8,74
Камерун	-2,40	0,3109	5,75
Конго	1,31	13,775	1,72
Шри-Ланка	3,42	4,4504	11,71
Египет	-3,74	51,337	14,01
Индонезия	-1,06	7,1856	1,13
Филиппины	-0,20	0,7508	0,04
Марокко	-1,08	0,7854	1,17
Папуа - Новая	-2,61	2,3372	6,81
Гвинея	-0,08	6,3933	0,01
Гватемала	1,07	1,3285	1,15
Эквадор	-1,91	8,8971	3,66
Доминиканская Республика	1,04	8,6895	1,07
Ямайка	-0,20	1,5193	0,04
сумма		283,18	149,69
критерий d			1,8918

В таблице значений критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 5% при m=4и n=32 критические значения d1=1.14, d2=1,74,

В нашем расчете значение d-критерия попадает в интервал от d2 до 2, автокорреляция отсутствует.

4) Проверка на гетероскедастичность моделей с использованием теста Бреуша-Пагана

Для этого проверки на гетероскедастичность воспользуемся таблицами 6 и 7

Затем строим регрессию, в которой за зависимую переменную берется столбец квадратов остатков еi2, а за зависимые переменные – переменные Х1, Х2, Х3, Х4,

Результат представлен в таблицах 8,9,10

Таблица 8. Регрессионная статистика

Множественный R	0,222046
R-квадрат	0,049305
Нормированный R-квадрат	-0,09154
Стандартная ошибка	5,309145
Наблюдения	32

Таблица 9. Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	4	39,4692	9,867301	0,35006	0,841652584
Остаток	27	761,0497	28,18702
Итого	31	800,5189

Таблица 10. Коэффициенты регресси

	Коэффиц иенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	3,561922	7,836107	0,454552	0,65306	-12,516	19,6402
Х1	-0,21277	0,434968	-0,48916	0,62868	-1,1052	0,67971
Х2	-2,64445	4,352113	-0,60762	0,54851	-11,574	6,28535
Х3	2,473815	3,402388	0,727082	0,47343	-4,5073	9,45493
Х4	0,036775	0,058082	0,633148	0,53196	-0,0824	0,15595

Найдена статистика:

Х²_наб = nR²=32*0.049305=1,578

Так как

Х2набл=1,578< Х2крит =9,48,

То гипотеза о гетероскедастичности отвергается и модель считается гомоскедастичной.

Критическое значение распределения Хи-квадрат найдено с помощью действий: fx→Статистические→ХИ2ОБР(m), где m – число переменных, входящих в уравнение регрессии (в данном случае 6).

5) Сравните модели между собой выберете лучшую.

Как уже отмечалось ранее по величине Р-значения возможно определять значимость коэффициентов, не находя критическое значение t-статистики. Если значение t-статистики велико, то соответствующее значение вероятности значимости мало – меньше 0,05, и можно считать, что коэффициент регрессии значим. И наоборот, если значение t-статистики мало, соответственно вероятность значимости больше 0,05 – коэффициент считается незначимым.

Для коэффициентов b₀, b₂, b₃, b₄ полученных при регрессионном анализе в п.4 значения вероятности близко к 1, следовательно, данные коэффициенты не значимы.

Таким образом, модель выраженная уравнением

У=72,846+0,0031Х1-6,173Х2+5,122Х3-0,18Х4

Выводы

 

Проанализировав данные зависимости средней продолжительности жизни в странах третьего мира ВВП, темпы прироста населения, темпы прироста рабочей силы и коэффициент младенческой смертности можно сделать ряд выводов:

1.         В результате проведенного корреляционного анализа наибольшее

влияние на среднюю продолжительность жизни оказывает ВВП, у остальных факторов наблюдается слабый корреляционный отклик.

2.         В ходе регрессионного анализа было получено уравнение зависимости:

У=72,846+0,0031Х1-6,173Х2+5,122Х3-0,18Х4

При этом коэффициент b1=0,0013 показывает, что при увеличении ВВП на 1 млрд. дол. средняя продолжительность жизни увеличивается в среднем на 0,0031 лет, увеличение темпов прироста населения на 1%,. приводит в среднем уменьшению продолжительности жизни на 6,173 лет, увеличение темпов прироста рабочей силы на 1% приводит к увеличению продолжительности жизни на 5,122 лет, а увеличение коэффициента младенческой смертности, на 1% ведет к уменьшению средней продолжительности жизни на 0,18 лет.

3.         По значению коэффициента множественной корреляции регрессии равным 0,9546 можно сказать, что между факторными и результативными признаками существует сильная линейная зависимость.

4.         Значение F =69,285 существенно превышает табличное, что говорит о статистической значимости уравнения в целом.

5.          Табличное значение t–критерия Стьюдента при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы 27 t_таб =2,051. Коэффициенты t- статистики при регрессорах Х1 , Х2 и Х4 меньше t таб., и согласно t–критерию не являются статистически значимыми.

6. Средняя ошибка аппроксимации составляет 3,2574 %. Это значит, что качество тренда, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдения, признается хорошим, так в норме средняя ошибка аппроксимации колеблется в пределах до 10%

7. В таблице значений критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 5% при m=4и n=32 критические значения d1=1.14, d2=1,74, В нашем расчете значение d-критерия = 1,89 попадает в интервал от d2 до 2, значит автокорреляция отсутствует.

8. Проверка на гетероскедастичность моделей проводилась с использованием теста Бреуша-Пагана. Тест показал гетероскедастичность отсутствует и модель считается гомоскедастичной.

Список используемой литературы

1.         Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 576 с.

2.         Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с.

3.         Эконометрика: Учебно-методическое пособие / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: Издательский центр Академии управления «ТИСБИ», 2008. – 198 с.

4.         Практикум по эконометрике с применение MS Excel / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: Издательский центр Академии управления «ТИСБИ», 2008 – 53 с.

5.         Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. – Т. 1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 656 с.

6.         Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. – Т. 2. Айвазян С.А. Основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 432 с.

7.         Эконометрика: Учебник / Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. – 512 с

8.         Берндт Э. Р. Практика эконометрики: классика и современность: Учебник для студентов вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 863 с.

9.         Эконометрика: учебное пособие / А.В. Гладилин, А.Н. Герасимов, Е.И. Громов. – М.: КНОРУС, 2008. – 232 с.

10.      Введение в эконометрику: учебное пособие / Л.П. Яновский, А.Г. Буховец. – М.: КНОРУС, 2009. – 256 с.

11.      Луговская Л.В. Эконометрика в вопросах и ответах: учебное пособие. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006. – 208 с.