Исследование динамики систем с трением

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова»

(БГТУ «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова»)

Факультет - Е «Оружие и системы вооружения»

Кафедра - Е3 «Средства поражения и боеприпасы»

Дисциплина - «Теоретическая механика»

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Исследование динамики систем с трением»

Выполнил студент

группы Е-331

Номер группы

Калякин А. В.

Фамилия И.О.

Проверил

Фамилия И.О.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2015г.

Оглавление

Постановка задачи стр.3

Схема системы с трением стр.4

Нахождение зависимости скорости центра масс катка от угла поворота стр.5

Нахождение скорости центра масс катка в зависимости от времени стр.9

Нахождение зависимости углового ускорения барабана от времени стр.10

Нахождение натяжения свободных участков троса в зависимости от времени стр.11

Проверка системы на наличие проскальзывания при движении стр.13

Модель движения системы с проскальзыванием стр.11

Постановка задачи

К барабану 2 приложен постоянный вращающий момент М_вр=М₀. На барабане закреплен невесомый нерастяжимый трос, который перекинут через неподвижный блок и охватывает каток 1, перекатывающийся по неподвижной наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Каток 1 – однородный цилиндр веса Р₁ и радиуса r₁. Барабан 2 имеет вес Р₂ и радиус r₂, масса его равномерно распределена по ободу. К центру масс катка приложена силы сопротивления, выражающаяся зависимостью F=P₁*f*cosα*v_c², где f – постоянный коэффициент, v_c– скорость центра масс катка. Трением качения, трением в оси барабана и блока, массой блока пренебречь. В начальный момент времени система находилась в покое.

r1 м	r2 м	P1 Н	P2 Н	Мвр=M0 Нм	α град.	Дополнительные сведения
0,30	0,15	350	20	70	15	f=0.05 м-2с2

1. Определить в отсутствие проскальзывания катка по наклонной плоскости:

а) зависимость угловой скорости катка от его угла поворота;

б) скорость центра масс катка в зависимости от времени;

в) зависимость углового ускорения барабана от времени;

г) натяжение свободных участков троса в зависимости от времени;

2. Найти условие качения катка по наклонной плоскости без проскальзывания.

3. Промоделировать движение системы в случае нарушения условия качения без проскальзывания, приняв зависимость коэффициента трения скольжения от скорости точки проскальзывания _К в виде

Параметры a, b, c, d выбрать самостоятельно. Результаты проиллюстрировать.

Решение

1.Определить в отсутствие проскальзывания катка по наклонной плоскости

а) зависимость угловой скорости катка от его угла поворота

Кинетическая энергия системы:

Т=Т₁+Т₂;

Кинетическая энергия (1) при плоскопараллельном движении:

;

Осевой момент инерции:

Так как (1) – сплошной однородный диск.

Выразим v_c через ;

К – мгновенный центр скоростей (1):

;

Подставим в формулу кинетической энергии диска (1):

;

Кинетическая энергия (2) при вращательном движении:

Осевой момент инерции:

Так как масса равномерно распределена по ободу.

Выразим через :

Так как трос нерастяжим.

Обозначим:

Силы, приложенные к механической системе:

М_вр – вращательный момент совершает положительную работу на перемещении ;

Вес Р₂, а так же реакция в оси подшипника – работу не совершают не совершают так как приложены к неподвижной точке;

Вес Р₁ совершает отрицательную работу на перемещении dx_c, так как точка его приложения C поднимается;

Реакция наклонной плоскости N₁ работу не совершает так как перпендикулярна перемещению;

Сила сопротивления F_c совершает отрицательную работу на перемещении dx_c, так как препятствует перемещению;

Сила трения F_тр в отсутствие проскальзывания работу не совершает, так как приложена к неподвижной точке.

Элементарная работа внешних сил:

Выразим , через , используя кинематические выражения полученные выше.

Подставим в уравнение элементарной работы:

Обозначим:

Тогда:

Теорема об изменении кинетической энергии:

б) скорость центра масс катка в зависимости от времени

Разделим (*) на dt:

( при ||< ) = t

(при ||>) = t;

v_c =

в) зависимость углового ускорения барабана от времени

Из (**):

;

г) натяжение свободных участков троса в зависимости от времени

Уравнение кинетического момента в проекции на

Уравнение кинетического момента в проекции на ось :

;

2) Найти условие качения катка по наклонной плоскости без проскальзывания

Уравнение плоскопараллельного движения (1):

1)

2)

N₁=P_1;

3) ;

Условия качения без проскальзования:

Б) Кинематическое:

||=||;

Продифференцируем по t:

3’)

;

Б)Статическое:

Где – максимальное значение коэффициента трения покоя при скорости точки касания барабана и наклонной плоскости . Так как

,

То при качении без проскальзывания должно выполняться условие

3. Моделирование движения системы в случае нарушения условия качения без проскальзывания.

d=a=0.04, b=-0.1(c/м), с=1(с/м).

С началом проскальзывания система приобретает две степени свободы. В качестве обобщённых координат, описывающих движение системы, возмём углы поворота барабана и катка: , .

Для составления дифференциальных уравнений, описывающих движение системы, используем уравнения Лагранжа второго рода:

Кинетическая энергия системы:

Выразим по формулам для скоростей при плоскопараллельном движении, приняв за полюс точку B:

Производные от Т:

Виртуальная работа сил, приложенных к системе:

Виртуальное смещение центра масс барабана, угол поворота вала и барабана соотносятся друг с другом так же, как скорость центра масс барабана и угловые скорости барабана и вала:

Скорость точки касания катка к наклонной плоскости:

Проецируя формулу для скорости на ось, параллельную наклонной плоскости, получим модуль скорости точки проскальзывания

Для виртуального перемещения точки К:

С другой стороны виртуальную работу можно выразить через обобщенные силы:

Из сравнения (*) и (**), получаем:

Дифференциальные уравнения движения системы: