Математическое программирование

Общая задача линейного программирования (ЗЛП):

Здесь (1) называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r £ n, (2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х₁⁰, x₂⁰, ... , x_n⁰) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую функцию (2) в min или max (оптимум).

Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее привести к определенной (симплексной) форме:

(2`) f+c_r+1x_r+1 + ... + c_sx_s + ... + c_nx_n = b₀ ® min

Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.

В системе (1`) неизвестные х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub>, ... , х<sub>r</sub> называются базисными (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1), остальные х<sub>r+1</sub>, ... , x<sub>n</sub> - свободными. Допустимое решение (1`) называется базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции f(x₁⁰, ... , x_r⁰,0, ... ,0) называется базисным.

В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:

а) система (1`) удовлетворяет условиям :

все ограничения - в виде уравнений;

все свободные члены неотрицательны, т.е. b_i ³ 0;

имеет базисные неизвестные;

б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :

содержит только свободные неизвестные;

все члены перенесены влево, кроме свободного члена b₀;

обязательна минимизация (случай max сводится к min по формуле max f = - min(-f)).

Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует симплекс - матрица :

Заметим, что каждому базису (системе базисных неизвестных ) соответствует своя симплекс - матрица , базисное решение х = (b₁,b₂, ... ,b_r, 0, ... ,0) и базисное значение целевой функции f(b₁,b₂, ... ,b_r, 0, ... ,0) = b₀ (см. Последний столбец !).

Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b₀, то соответствующий этой матрице план оптимален,

т.е. с_j £ 0 (j = r+1, n) => min f (b₁, ... ,b₂,0, ... ,0) = b₀.

Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец (S-й), в котором последний элемент с_s > 0, a все остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. с_s > 0, a_is £ 0 ( i= 1,r ) => min f = -¥.

Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента a_is > 0 и следующих преобразований (симплексных):

все элементы i-й строки делим на элемент a⁺_is;

все элементы S-го столбца, кроме a_is=1, заменяем нулями;

все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника, что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах:

a_kl` = a_kba_is - a_ila_ks = a_kl - a_ila_ks;

 a_is a_is

b_k` = b<sub>k</sub>a<sub>is</sub> - b<sub>i</sub>a<sub>ks</sub>; c<sub>l</sub>` = c_la_is - c_sa_il

 a_is a_is

Определение. Элемент a_is⁺ называется разрешающим, если преобразование матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение (невозрастание) значения, целевой функции; строка и столбец, на пересечении которых находится разрешающий элемент, также называются разрешающими.

Критерий выбора разрешающего элемента. Если элемент a_is⁺удовлетворяет условию

b_i = min b_k

a_is0 a_ks0⁺

где s₀ - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешающим.

Алгоритм симплекс-метода (по минимизации).

систему ограничений и целевую функцию ЗЛП приводим к симплексной форме;

составим симплекс-матрицу из коэффициентов системы и целевой функции в симплексной форме;

проверка матрицы на выполнение критерия оптимальности; если он выполняется, то решение закончено;

при невыполнении критерия оптимальности проверяем выполнение критерия отсутствия оптимальности; в случае выполнения последнего решение закончено - нет оптимального плана;

в случае невыполнения обоих критериев находим разрешающий элемент для перехода к следующей матрице, для чего :

 а) выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи тельных элементов целевой строки;

 б) выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего элемента; на их пересечении находится разрешающий элемент;

c помощью разрешающего элемента и симплекс-преобразований переходим к следующей матрице;

вновь полученную симплекс-матрицу проверяем описанным выше способом (см. п. 3)

Через конечное число шагов, как правило получаем оптимальный план ЗЛП или его отсутствие

Замечания.

Если в разрешающей строке (столбце) имеется нуль, то в соответствующем ему столбце (строке) элементы остаются без изменения при симплекс-преобразованиях.

·     преобразования - вычисления удобно начинать с целевой строки; если при этом окажется, что выполняется критерий оптимальности, то можно ограничиться вычислением элементов последнего столбца.

·     при переходе от одной матрицы к другой свободные члены уравнений остаются неотрицательными; появление отрицательного члена сигнализирует о допущенной ошибке в предыдущих вычислениях.

·     правильность полученного ответа - оптимального плана - проверяется путем подстановки значений базисных неизвестных в целевую функцию; ответы должны совпасть.