Типовой расчет по теоретической механике

Задание Д-1

Дано:

Найти: и уравнение траектории на участке BC.

Решение:

Рассмотрим движение тела принимаемого за материальную точку на участке AB .

Покажем силы действующие на тело: - сила тяжести, - нормальная реакция поверхности, - сила трения.

Знаем:

В проекциях на оси и имеем:

Так как тело движется вдоль оси , то проекции перемещения скорости и ускорения на ось равны 0, тогда уравнение принимает вид:

, откуда

Знаем:

У нас:

Учтём в уравнение

или

, где - постоянная величина

Интегрируем уравнение

или

т.е.

Для определения постоянных интегрирования и запишем начальные условия движения тела на участке AB. При в положении А имеем:

Подставим начальные условия в уравнения и получим:

, откуда

, откуда

Запишем уравнение и с учётом постоянных интегрирования и

В положении B, при имеем:

Запишем уравнение при

Рассмотрим движение тела на участке BC , T – время движения тела от B до C

Знаем:

В проекциях на оси имеем:

или

, т.е.

или

или , т.е.

Для определения постоянных интегрирования запишем начальные условия движения на участке BC.

При в положении B:

Подставим эти начальные условия в уравнения :

Запишем уравнения с учётом найденных постоянных интегрирования:

В положении С при :

Из выражаем t:

Подставим в :

Ответ:

Задание Д-10-2

Дано:

Определить:

Решение:

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

где и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;

– сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное;

– сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении;

т.к. система состоит из абсолютно твёрдых тел, соединяющих нерастяжимыми нитями и стержнями, то , т.к. в начальном положении системы находится в покое, то ;

Тогда уравнение принимает вид:

Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении:

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно:

Кинетическая энергия блока 2, совершающего вращательное движение:

Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоское движение:

т.к.

тогда формула приобретает следующий вид:

Определим сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, не заданном перемещением:

Работа силы трения :

Работа силы трения :

Работа силы тяжести :

Определим, на кокой угол повернётся каток 3 при прохождении грузом 1 расстояния S:

Работа пары сил сопротивления качания тела 3:

где

Силы (т.к. сила приложена в мгновенном центре скоростей) работы не совершают.

Поэтому

Приравниваем значения T и :

Задание К-1

Тема: «Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её движения»

Дано:

Решение:

Уравнения движения (1) и (2) являются параметрическими уравнениями траектории движения точки М. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений (1) и (2).

Из уравнения (2): подставим в уравнение (1), получим

Это уравнение параболы.

Построим параболу по точкам, значения которых приведены в таблице:

y	-10	-8	-6	-4	-2	0	2	4	6	8	10
x	3,531	2,979	2,551	2,245	2,061	2	2,061	2,245	2,551	2,979	3,531

Найдём положение точки М при t=0

Это точка (2;0)

Найдём положение точки М при

Это точка (2,75;-7)

Модуль скорости где

при поэтому покажем из в направлении положительного отсчёта оси x.

поэтому покажем из точки в отрицательном направление оси y. Итак, при

Масштаб : 1 см - 2 см/с

Определяем ускорение, которое имеет точка, движущаяся по параболе.

где поэтому покажем в направлении положительного отсчёта оси x их точки

Аналогично

Итак, при

Масштаб : 1 см - 2 см/

Знаем: при

значит движение точки ускоренное, поэтому покажем в сторону вектора

Полное ускорение откуда

при

покажем из точки по нормали к траектории.

Знаем: где - радиус кривизны траектории в точки

при

Из точки вдоль нормали n отложим и получим точку – центр кривизны параболы в точке

Координаты точки, а также её скорость, ускорение и их проекции на координатные оси для приведены ниже

координаты, см		скорость, см/с			ускорение, см/					радиус кривизны, см
x	y
2,75	-7	3	-14	14,32	6	0	6	1,257	5,867	34,95

Задание К-4

Дано: ОА=35 см, АВ=65 см, r=15 см,

Найти:

Решение:

Ответ:

т. Р – полюс звена 2

т. Р` – полюс звена 3

Задание С-7-22

Тема: Определение реакций опор твёрдого тела.

Дано:

Определить: все реакции опор конструкции (в нашем случае реакции цилиндрических шарниров А и В и стержня CD)

Решение:

Предположим, что реакции подшипников будут направлены следующим образом реакция стержня вдоль DC кверху.

Спроецируем все силы системы на соответствующие оси координат.

где направление других реакций см. выше.

Составим уравнение равновесия сил системы:

а) или

б) вдоль оси никаких взаимодействий не происходит

в)

Т.к. неизвестных пока больше чем уравнений => составим уравнения равновесия моментов сил системы:

г)

д) т.к. направление было выбрано верно.

е)

Зная найдём из е) : т.к. истинное направление противоположно выбранному.

Зная и найдём из а) : направление противоположно выбранному.

Найдём из г) : т.к. направление выбрано верно.

Зная найдем из в) : т.к. направление выбрано верно.

Т.к.

Т.к.

Проверка:

Для проверки выберем новую систему координат с центром в точке ( точка приложения силы G) и осями соноправленными со старыми (см. рисунок)

=> реакция ; и - найдены верно.

=> реакция и - найдены верно.

Задание С-2

Тема: «Определение реакций опор составной конструкции»

Дано:

Определить: Все реакции опор (в нашем случае в неподвижном шарнире А и в подвижном шарнире В). Трением пренебрегаем.

Решение:

Предположим, что реакции шарнира будут направлены следующим образом: перпендикулярно вверх, горизонтально вправо (см. рис.), а реакция подвижного шарнира В направлена перпендикулярно вверх.

Рассчитаем результирующее распределение нагрузки

приложена к балке под центром тяжести эпюры (т.е. посередине АС)

Введём систему координат с осями и причём ; ; теперь спроецируем все имеющиеся в системе силы на выбранные оси: (сила  скользирующий вектор)

, , ,

, ,

Составим уравнение равновесия системы сил. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси координат были = 0, а также сумма моментов всех сил относительно какой-либо точки плоскости была = 0.

В нашей системе 3 неизвестных => составим уравнение равновесия моментов сил системы. Для простоты выберем за моментную точку пересечения линий действия и т.е. точку А.

(Против часовой стрелки берём с плюсом, по с минусом)

, т.к. значение направление выбрано правильно

Теперь подставим значение в уравнения 1 и 2

, т.к. направление было выбрано правильно.

, истинное направление противоположно выбранному.

Проверка:

Для проверки нужно составить уравнение моментов, причём через моментную точку не должны проходить линии действия реакций => Возьмём за моментную точку N (N  находится на линии действия за 1 м от СА)

; , т.к. результат полученный при сложении моментов сил  погрешн