Автоматические устройства

Механика автоматических устройств

Методические указания по выполнению курсовой работы

Составитель : Пономарев Б. Б. Иркутск, 1995 г.

Дана методика кинематического и динамического анализа механизмов с двумя степенями свободы. На основе примеров представлена последовательность составления дифференциальных уравнений движения механизмов, дан пример законов управления движением и определения управляющих моментов для реализации заданного движения. Предложена методика графоаналитической проверки правильности решения задач. Даны методики использования конечноразностной схемы Эйлера при решении дифференциальных уравнений на персональных компьютерах.

Предназначены для студентов, выполняющих курсовую работу по “Механике автоматических устройств” и обучающихся по специальностям: 2102 “Автоматизация производственных процессов” (в машиностроении) и 2103 “Робототехнические системы”

Библиогр.назв. 5. Ил. 5. Табл. 1.

Цель курсовой работы - освоение методики аналитического и графоаналитического исследования кинематики управляемого движения автоматических устройств, приобретение опыта кинематического и кинетостатического описания движения плоских механизмов, ознакомление с методикой решения обратных задач динамики механических систем.

Курсовая работа предусматривает решение трех самостоятельных задач :

1. Кинематика плоского механизма с двумя степенями свободы по заданному движению одной из точек.

2. Кинематика управляемого движения манипулятора.

3. Динамика механизма с двумя степенями свободы.

I. Кинематика плоского механизма. Описание задания.

У плоского механизма с двумя степенями свободы (рис.1) движение точки М задано. Для одних вариантов точка М движется по линии ав горизонтально со скоростью V_MX=V₁ sin (pt+a); V_MY=0, для других - вертикально со скоростью V_MX=0; V_MY=V₁ sin (pt+a). Здесь p=, tпериод.

Исходные данные определяются формулами (1), табл.1.

V₁=, t₁=0,23N, a=0,01N, Dt=,

r₁=r_1T + 0,01n, r_i =r_iT+0,01N (r_i на рис.1) (1)

j₁ (0)=j_1T+0,01n, ji(0)=ji_T+0,01N, i=(2,3),

где N - номер группы (присваевает преподаватель);

n - номер факультета (1 - для машиностроительного факультета, 2 - для заочного факультета);

T - индекс обозначает табличные значения.

Требуется:

1. Составить дифференциальные уравнения движения механизма.

2. Решить с помощью ЭВМ полученную систему уравнений на интервале времени t .

3. Построить графики w_1Z(t), w_2Z(t), w_3Z(t).

4. Для момента времени t =(N + 1) Dt определить графоаналитическим методом угловые скорости звеньев и сравнить с результатами счета на ЭВМ.

Указания к составлению уравнений движения.

Выражения зависимостей неизвестных угловых скоростей w_1z, w_2z, w_3z,w_4z, или V_C, от заданной скорости V_М точки М получаются из уравнений внешних связей,налогаемых на систему.Чтобы составить эти уравнения,надо выразить через w_iz (i=1,2,3,4) скорости точек, в которых налагаются внешние связи, и приравнять их нулю. Выражения для скоростей получаются последовательным, от звена к звену, определением скоростей точек по формуле кинематики твердого тела

(2)

Эта последовательность может быть различна и определяется графом. Из уравнений внешних связей определяют

w_1z=w_1z (j₁, j₂, j₃,V_M);

w_2z=w_2z (j₁, j₂, j₃, V_M); (3)

w_3z=w_3z (j₁, j₂, j_3, V_M);

w_4z=w_4z (j₁, j₂, j₃, V_M) или V_c=V_c (j₁, j₂, j₃, V_M)

Из уравнений (3) определяют угловые скорости звеньев для фиксированного момента времени при заданных в этот момент значениях j₁, j₂, j₃. Изменение j₁, j₂, j₃, а следовательно и w_1z, w_2z, w_3z во времени определится,если дополнить систему (3) уравнениями:

=w_1z, =w_2z, =w_3z (4)

Уравнения (3), (4) образуют систему дифференциальных уравнений, интегрирование которой при заданных начальных значениях j₁(0), j₂(0), j₃(0), решает кинематическую задачу о движении плоского механизма.

Система (3), (4) описывает движение механизма с двумя степенями свободы в избыточном наборе переменных. Поэтому начальные значения углов нельзя задавать произвольно. Значения их вычисляются предварительно и приводятся в (1) и табл. 1.

Исходные данные.

Таблица 1.

Вариант	r1т	r2т	r3т	j1т	j2т	j3т	Vkт	xk(0)	yk(0)	d
1	0,82	0,68	0,46	2,9	1,1	0,5	0,508	-0,15	1,85	0,011
2	0,81	0,47	0,91	1,3	2,2	3,6	0,308	-0,94	1,71	0,012
3	0,43	0,91	0,84	0,3	3,8	4,2	0,512	-0,42	0,25	0,013
4	0,42	0,97	0,88	2,8	0,2	5,7	0,462	-0,21	1,22	0,014
5	0,78	0,45	0,91	1,7	0,1	5,8	0,385	1,35	1,51	0,015
6	0,71	0,89	0,76	4,6	0,1	1,6	0,312	1,33	-0,20	0,016
7	0,46	0,97	0,74	1,3	4,3	5,6	0,421	-0,61	-0,24	0,017
8	0,81	0,72	0,48	1,1	3,0	3,3	0,472	-1,38	1,61	0,018
9	0,76	0,79	0,45	0,3	2,4	1,8	0,465	0,54	1,02	0.019
10	0,72	0,49	0,78	0,5	4,2	3,6	0,375	1,61	-0,55	0,020
11	0,83	0,57	0,49	0,5	1,6	3,0	0,525	-0,92	1,78	0,021
12	0,68	0,46	0,83	3,9	4,9	0,3	0,310	0,46	-2,04	0,022
13	0,78	0,85	0,49	2,1	1,0	0,1	0,460	0,51	1,65	0,023
14	0,48	0,97	0,73	0,3	1,8	3,7	0,402	-0,26	1,30	0,024
15	0,42	0,97	0,78	0,3	2,9	0,4	0,455	0,45	1,12	0,025
16	0,51	0,82	0,79	3,2	4,1	3,0	0,288	-1,57	0,13	0,026
17	0,41	0,83	0,98	2,0	4,3	1,4	0,451	-1,18	0,56	0,027
18	0,82	0,45	0,78	1,6	2,9	0,4	0,312	-0,99	0,52	0,028
19	0,92	0,98	0,81	1,5	2,7	1,7	0,294	-1,43	1,95	0,029
20	0,79	0,68	0,48	4,1	5,8	1,1	0,306	0,41	-1,43	0,030
21	0,76	0,42	0,85	5,2	0,4	2,3	0,380	0,84	0,26	0,031
22	0,75	0,78	0,47	1,1	2,8	2,0	0,515	-1,66	0,42	0,032
23	0,71	0,49	0,82	4,9	0,1	1,9	0,385	0,62	0,12	0,033
24	0,75	0,65	0,78	0,3	1,9	0,1	0,398	1,11	1,32	0,034
25	0,68	0,79	0,82	2,3	0,7	0,5	0,392	1,40	1,67	0,035
26	0,81	0,72	0,49	3,7	5,4	4,2	0,371	0,43	-1,98	0,036
27	0,78	0,65	0,48	1,6	0,1	1,5	0,275	1,31	1,62	0,038
28	0,45	0,97	0,78	0,9	0,5	3,9	0,290	1,22	0,78	0,038
29	0,49	0,98	0,77	2,1	0,4	3,7	0,305	0,21	0,72	0,039
30	0,72	0,75	0,49	3,9	5,4	0,3	0,340	1,14	-1,25	0,040

Зависимость от j_i, w_iz (i=1,2,3,4) для требуемой по условию скорости получается аналогично с помощью формул вида (2).

Указания к решению задачи.

Нелинейная система дифференциальных уравнений (3), (4) с заданными начальными условиями интегрируется в интервале времени [0, t₁]. Запись выражений для w_1z, w_2z, w_3z, w_4z, V_cx, V_cy должна обеспечивать возможность присвоения последовательных значений этих переменных на каждом шаге интегрирования. В разных вариантах заданий наиболее компактная последовательность записи может быть различной,например w_1z(j_i, w_kx), w_2z(j_i, w_1z), w_3z(j_i, w_1z, w_2z), w_4z(j_i, w_1z, w_1z, w_2z, w_3z), V_cx(j_i, w_1z, w_2z, w_3z), V_сy(j_i, w_1z, w_2z, w_3z). На печать с шагом Dt=t/24 выводятся переменные t, j₁, j₂, j₃, w_1z, w_2z, w_3z, w_4z или V_cx, V_cy.

Один из возможных вариантов решения задачи в котором уравнения (3), (4) интегрируются по конечноразностной схеме Эйлера, приведен в примере.

Контроль решения.

После решения задачи на ЭВМ проводится анализ таблицы результатов.Первая строка таблицы содержит найденные начальные значения w_1z, w_2z, w_3z, w_4z или V_cx, V_cy, и начальные значения j₁, j₂, j₃. Последняя строка с некоторой погрешностью счета должна повторять первую.

Построенные по результатам счета графики не должны иметь разрывов.

Последняя проверка производится путем сравнения результатов счета на ЭВМ с результатами графоаналитического решения задания,для чего механизм изображается в масштабе 1:10 в момент времени t=(N+1) ´Dt ((N+2)-я строка таблицы счета). Для этого положения необходимо найти мгновенные центры скоростей звеньев, их угловые скорости, изобразить векторы скоростей точек, в которых соединяются звенья, указать направление вращения звеньев. Результаты этого решения должны быть близкими с результатами решения задачи на ЭВМ, содержащимися в строке таблицы счета.

Пример выполнения задания.

(вариант 31, n=1, N=2)

1. Постановка задачи. Рассматривается плоский механизм с двумя степенями свободы. Движение точки М задано: V_мx=0, V_мy=Vsin(pt+a).

Дано: a=4,35рад; DA=r₁=0,953м; BC=r₃=0,457м;

BM=2r₃; AB=r₂=0,847м; j₁(0)=1,63рад; j₂(0)=3,37рад;

j₃(0)=2,87рад; CP=0,5r₃; V₁=4,5м/c; a=0,02рад;

t=0,48c; Dt=0.02c; p=13,08c^-1.

2. Составление уравнений движения. Составляются уравнения для четырех неизвестных угловых скоростей звеньев w_1z, w_2z, w_3z, w_4z. При заданном движении точки М они определяются из уравнений внешних связей, налагаемых на механизм. На данный механизм наложены связи: V_Dx=0, V_Dy=0, V_px=0, V_py=0, V_cy=0. (5)

При вычислении скорости точки С последовательно определяются скорости точек в соответствии с графом МВС,при вычислении скорости точки Р - в соответствии с графом МВСР,при вычислении скорости точки D₄ - в соответствии с графом МВАD или РСВАD или СВАD.

Составляются все возможные варианты векторных уравнений

(6)

(7)

 (8)

 (9)

 (10)

Проецируя обе части уравнений на оси координат X и Y с учетом (5) получим систему алгебраических уравнений для определения w_iz(i=1,2,3,4). Уравнение (6) проецируется на ось Y, так как V_cy=0, то

V_my+w_3z´2r₃´cos(j₃+p)+w_3z´r₃´сos(j₃+)=0 (11)

Уравнение (7) проецируется на оси X и Y, так как V_px=0 и V_py=0, то

0 - w_3z´2r₃´sin(j₃+p) - w_3z´r₃´sin(j₃+) - w_4z´0,5r₃´sinp=0 (12)

V_My + w_3z´2r₃´cos(j₃+p) + w_3z´r₃´cos(j₃+) + w_4z´0,5r₃´cosp=0 (13)

Уравнение (8) проецируется на оси X и Y, так как. V_Dx=0 и V_Dy=0, то

0 - w_3z´2r₃´sin(j₃+p) - w_2z´r₂´sin(j₂-p) - w_1z´r₁´sin(j₁+p)=0 (14)

V_my + w_3z´2r₃´cos(j₃+p) + w_2z´r₂´cos(j₂-p) + w_1z´r₁´cos(j₁+p)=0 (15)

Уравнение (9) проецируется на оси X и Y, так как

V_Dx=0, V_Oy=0, V_Px-0, V_Py=0, то

- w_4z´0.5r₃´sin - w_3z´r₃´sin(j₃ - ) - w_2z´r₂´sin(j₂ - p)-w_1z´r₁´sin(j₁+p)=0

(16)

w_4z´0.5r₃´cos+w_3z´r₃´cos(j₃ - )+w_2z´r₂´cos(j₂ - p)+w_1z´r₁´cos(j₁+p)=0

(17)

Уравнение (10) проецируется на ось Y, так как V_Dx=0, V_Dy=0 и V_Cy=0, то

w_3z´r₃´cos(j₃ -)+ w_2z´r₂´cos(j₂ -p) + w_1z´r₁´cos(j₁+p)=0 (18)

Из составленных уравнений связей выбираем 4, позволяющих наиболее простым путем произвести преобразования и выразить одни неизвестные через другие. В данном случае это уравнения (11), (12), (16), (18), которые с учетом формул приведения запишутся в следующем виде:

V_My  - 2w_3z´r₃´cosj₃ - w_3z´r₃´sinj₃=0

2w_3z´r₃´sinj₃ - w_3z´r₃´cosj₃+0,5´w_4z´r₃=0 (19)

- 0,5´w_4z´r₃+w_3z´r₃´cosj₃+w_2z´r₂´sinj₂+w_1z´r₁´sinj₁=0

w_3z´r₃´sinj₃ - w_2z´r₂´cosj₂ - w_1z´r₁´cosj₁=0

Система уравнений (19) может быть разрешена относительно w_iz:

w_4z=2w_3z(cosj₃ - 2sinj₃) (20)

Дополним (20) уравнениями:

;   (21)

Уравнения (20) и (21) образуют систему дифференциальных уравнений, интегрирование которой при заданных начальных значениях j₁(0), j₂(0), j₃(0) решает задачу о движении механизма при заданном движении точки М.

3. Решение задачи и обработка результатов. Вычисления могут проводиться с использованием конечно-разностной схемы Эйлера, позволяющей связать значения углов и угловых скоростей в начале и конце k-го шага интегрирования :

j₁^(k+1)=j₁^(k)+w_1z^(k)´Dt;

j₂^(k+1)=j₂^(k)+w_2z^(k)´Dt; (22)

j₃^(k+1)=j₃^(k)+w_3z^(k)´Dt.

Программа счета составляется на любом языке программирования, результаты оформляются с помощью программы в виде таблицы. По результатам решения строятся графики w_1z(t), w_2z(t), w_3z(t), w_4z(t), которые не должны иметь разрыва и иметь явно выраженный синусоидальный характер.

4. Графическая проверка. Извлекаются из таблицы счета значения углов поворота звеньев из строки под номером (N+2). Механизм строится в масштабе 1:10, определяется положение мгновенных центров скоростей (рис. 3). Строятся векторы скоростей точек A, B, C, M и указываются дужками направления вращения звеньев. По известным значениям скоростей и расстояниям до мгновенных центров скоростей определяются значения угловых скоростей звеньев.

Результаты, полученные с помощью графических построений, должны быть близки к результатам рещения задачи на ЭВМ и не должны отличаться более чем на 5%.

II. Кинематика управляемого движения манипулятора.

Описание задания.

Манипулятор (рис.1), имеющий две системы свободы позволяет, при срабатывании приводов, захвату, точке М, осуществлять движение в плоскости по двум координатам и при определенных условиях совместить захват с двигающейся деталью,точкой К. Деталь К движется с постоянной скоростью V_к в указанном на рисунке направлении. Координаты точки К изменяются по закону:

X_K=X_K(0)+V_Kx´ t; Y_K=Y_K(0)+V_Ky´ t. (23)

Управление движением захвата М осуществляется по линейной комбинации рассогласований координат точек К и М, а также их производных. Рассогласование координат точек К и М в момент времени t=t₂ должно составлять величину d от начальных рассогласований.

Исходные данные определяются формулами (24) и табл. 1

r₁=r_1T+0,001n, r_i=r_iT+0,001N

j₁(0)=j_1T+0,001n, j_i(0)=j_iT+0,001N(i=2,3)  (24)

V_K=V_KT - 0,003N, t₂=1,2(1+0,02N)

Dt=. (24)

Требуется: