Найти область на плоскости в которых уравнение

(y2+1)2uxx+4(y2+1)uxy+(|x|+|x-4|)uyy-uy=0 имеет параболический тип.
12. Найти область на плоскости в которых уравнение x2uxx+2xyuxy+y2uyy-u=0 имеет параболический тип.
13. Решить краевую задачу y''-y=ex, y'(0)=y'(1)=0.
14. Решить краевую задачу y''-4y=x, y'(0)=y(2)=0.
15. Решить краевую задачу y''+y=ex, y(0)=y[pic]=0.
16. Решить краевую задачу 4y''+y=cosx, y(-?)=y'(?)=0.
17. Решить краевую задачу y''+?y=0, ?=1, y'(0)=1, y'(?)=0.
18. Решить краевую задачу y''-4y=4x, y'(0)= -1, y(1)=1.
19. Проверить, являются ли функции y1=cos[pic]x и y2=cos?x собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y'(0)=y'(6)=0. Найти соответствующие собственные значения, если они существуют.
20. Проверить, являются ли функции y1=cos2x и y2=cosx собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y'(0)=y'[pic]=0. Найти соответствующие собственные значения, если они существуют.
21. Решить задачу Штрума-Лиувилля y''+?y=0, y(0)=y(?)=0.
22. Решить задачу Штрума-Лиувилля y''+?y=0, y'(0)=y(?)=0.

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 1

Какой общий вид имеют линейные уравнения с частными производными первого и второго порядков с двумя независимыми переменными?
Что называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности? Каковы его свойства и физический смысл?
Проверить, являются ли функции u1=x+y2 и u2=e2xy решениями уравнения uxx+uyy-2ux=0.
Решить краевую задачу y''+9y=ex, y(0)=[pic], y[pic]=[pic].

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 2

1) Какой вид имеют вторая и третья краевые задачи для уравнения теплопроводности?
Как формулируется задача Коши для уравнения теплопроводности? Запишите, в каком виде ищут решение задачи методом Фурье.
Определить типы уравнения с частными производными:

а) 5uxx+2uxy-uyy=0,

б) 2uxx+3uxy+4uyy=0,

в) uxx+2uxy+uyy=0.
Решить краевую задачу y''-4y=e2x, y(0)=y'(2)=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 3

2) Какой вид имеют уравнение Лапласа и уравнение Пуассона? Сформулируйте задачи, приводящие к этим уравнениям.
Запишите интегральную формулу Пуассона для круга и для полуплоскости.
Являются ли функции ?(x)=cos3x и ?(x)=sin2x на отрезке [pic].
Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y(0)=у'(2)=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 4

3) Какая система функций называется ортогональной в интервале? Приведите примеры.
Как решается задача Коши для уравнения теплопроводности с помощью преобразования Фурье?
Проверить, являются ли функции u1=sinxsiny и u2=x2+y2-3xy решениями уравнения uxx-uyy=0.
Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y'(0)=у(2)=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 5

4) Какие условия называются граничными? Приведите примеры граничных условий для волнового уравнения.
Что называется интегралом Фурье? Запишите интеграл Фурье для четных и нечетных функций.
Определить типы уравнения с частными производными:

а) 2uxx-3uxy=0,

б) uxx-4uxy+5uyy=0,

в) 4uxx+8uxy+4uyy=0.
Проверить, являются ли функции y1=sin3?x и y2=cos[pic] собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y(0)=у'[pic]=0. Найти соответствующие собственные значения, если они существуют.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 6

5) Какой вид имеет первая краевая задача для волнового уравнения?

Сформулируйте физическую задачу, приводящую к такой краевой задаче.
Как записывается решение смешанной задачи для волнового уравнения на полупрямой? Изобразите фазовую плоскость для этой задачи.
Определить типы уравнения с частными производными:

а) uxx+2uxy+uyy=0,

б) 3uxy+4uyy=0,

в) 3uxx+2uxy+uyy=0.
Решить краевую задачу y''+4y=cosx, y(0)=y[pic]=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 7

6) Какое начальное условие задается для уравнения теплопроводности?

Сформулируйте его физический смысл.
Как записать систему двух линейных уравнений с частными производными первого порядка в матричном виде?
Являются ли функции ?(x)=sin[pic]?x и ?(x)=sin[pic]?x на отрезке [0,1].
Решить краевую задачу y''+?2y=?2x, y(0)=2, y'[pic]=1.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 8

7) Сформулируйте свойства линейных однородных дифференциальных уравнений.
Что называется логарифмическим потенциалом простого слоя? Какие задачи можно решать с помощью этого потенциала?
Найти и нарисовать область на плоскости (x,y), в которой уравнение yuxx+2xuxy-uyy=0 имеет гиперболический тип.
Решить краевую задачу y''+?2y=?2x, y(0)=0, y'(2)=2.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 9

8) Сформулируйте задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа на плоскости.
Какой вид имеет ядро Пуассона для полуплоскости? Перечислите его свойства.
Определить типы уравнения с частными производными:

а) uxx+4uxy+4uyy=0,

б) uxx-3uxy-4uyy=0,

в) 2uxx+5uxy+4uyy=0.
Решить краевую задачу y''-4y=2, y(0)= -[pic], y(2)=2.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 10

9) Какой вид имеют вторая и третья краевые задачи для волнового уравнения?
В чем заключается принцип максимума для гармонических функций?
Являются ли функции ?(x)=cos4x и ?(x)=cos6x на отрезке [pic].
Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y'(0)=у'(2)=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 11

10) Какой вид имеют ряды Фурье четных и нечетных функций. Приведите формулы коэффициентов Фурье в каждом из этих случаев.
Какой вид имеет общее решение уравнения теплопроводности на бесконечной прямой?
Найти и нарисовать область на плоскости (x,y), в которой уравнение

2uxx+yuxy-xuyy=0 имеет гиперболический тип.
Решить краевую задачу y''+y=cos2x, y'(0)=1, y'[pic]=1.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 12

11) Что называется задачей Коши? Сформулируйте задачу Коши для волнового уравнения.
Какой вид имеет неравенство Харнака на плоскости?
Найти и нарисовать область на плоскости (x,y), в которой уравнение uxx+2yuxy+(x2-1)uyy=0 имеет гиперболический тип.
Решить краевую задачу y''+y=sin2x, y'(0)= -1, y'[pic]=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 13

12) Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями первого, второго и третьего родов.
Какой вид имеет формула Пуассона для уравнения теплопроводности? Запишите общее решение уравнения теплопроводности в виде интеграла Фурье.
Найти и нарисовать область на плоскости (x,y), в которой уравнение yuxx+2xuxy+uyy=0 имеет гиперболический тип.
Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y'(0)=у(1)=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 14

13) Какие граничные условия называются однородными? Приведите примеры однородных граничных условий для уравнения теплопроводности.
Какой вид имеет ядро Пуассона для внешности круга? Перечислите его свойства.
Найти и нарисовать область на плоскости (x,y), в которой уравнение

(y2+1)uxx+xuxy+uyy=0 имеет эллиптический тип.
Решить краевую задачу y''+4y=ex, y(0)=[pic], y[pic]=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 15

14) В каком виде ищут частные решения уравнения теплопроводности методом

Фурье? Приведите примеры частных решений для одномерного уравнения теплопроводности.
Какой вид имеет функция Грина для круга? Что изменится, если рассматривается шар?
Проверить, являются ли функции u1=2xy+5x-3y и u2=5(x2-y2) решениями уравнения uxx+uyy=0.
Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y(0)=у(2?)=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 16

15) Какие дифференциальные уравнения называются линейными? Приведите примеры линейных уравнений.
Что называется стоячими волнами? В каком случае возникают стоячие волны?
Найти и нарисовать область на плоскости (x,y), в которой уравнение uxx+xuxy- yuyy=0 имеет эллиптический тип.
Решить краевую задачу y''-4y=4x, y(0)=0, y'(1)=1.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 17

16) Сформулируйте теорему Стеклова о разложении функций в ряде Фурье.
Какие задачи математической физики называются корректными? Приведите примеры корректно поставленных задач.
Проверить, являются ли функции u1=3x+4y-5 и u2=1+e4x решениями уравнения uxx+4xy+3uy-4ux=0.
Решить краевую задачу y''-[pic]y=x, y(0)=y(3)=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 18

17) Сформулируйте теорему Дирихле о разложении функции в ряд Фурье.
Какими свойствами обладает преобразование Фурье? Как доказать свойство линейности преобразования Фурье?
Являются ли функции ?(x)=cos3?x и ?(x)=cos5?x на отрезке [pic].
Проверить, являются ли функции y1=cos3?x и y2=cos6?x собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y'(0)=у'[pic]=0. Найти соответствующие собственные значения, если они существуют.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 19

18) Какой вид имеет (одномерное) волновое уравнение? Сформулируйте задачу, приводящую к этому уравнению.
Что называется объемным потенциалом? Какие задачи можно решать с помощью объемного потенциала?
Проверить, являются ли функции u1=2(x2+y2)+3z и u2=2x2+y2+z2 решениями уравнения ?u=8.
Проверить, являются ли функции y1=sin?x и y2=sin2?x собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y(0)=у'[pic]=0. Найти соответствующие собственные значения, если они существуют.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 20

19) Какой вид имеют граничные условия первого рода для уравнения теплопроводности? Сформулируйте их физический смысл.
Что называется потенциалом двойного слоя? Какие задачи можно решать с помощью потенциала двойного слоя?
Найти и нарисовать область на плоскости (x,y), в которой уравнение uxx+xuxy+yuyy=0 имеет эллиптический тип.
Решить краевую задачу y''+?2y=?2x, y'(0)=1, y(1)=1.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 21

20) Какой вид имеет уравнение теплопроводности в пространстве?

Сформулируйте задачу, приводящую к этому уравнению.
Как формулируется теорема о среднем для гармонических функций в пространстве?
Проверить, являются ли функции u1=ln(x-y) и u2=ex+y решениями уравнения uxx- uyy=0.
Проверить, являются ли функции y1=sin[pic] и y2=sin2x собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y(0)=у(4?)=0. Найти соответствующие собственные значения, если они существуют.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 22

21) Какие условия называются начальными? Сформулируйте начальные условия для волнового уравнения.
Что называется потенциалом простого слоя? Какие задачи можно решать с помощью потенциала простого слоя?
Проверить, являются ли функции u1=exsiny и u2=y2-2x-2 решениями уравнения uyy+ux=0.
Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y(0)=у(2)=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 23

22) Какие начальные условия задаются для уравнения колебаний струны?

Сформулируйте их физический смысл.
Какой вид имеет функция Грина для полуплоскости? Что изменится, если рассматривать полупространство?
Определить типы уравнения с частными производными:

а) 4uxx-uyy=0,

б) 3uxx+2uxy+5uyy=0,

в) 2uxx-4uxy+2uyy=0.
Решить краевую задачу y''+?2y=x, y(0)=1, y'(2)=[pic].

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 24

23) Сформулируйте основную идею метода Фурье. В каком виде ищут частные решения волнового уравнения методом Фурье?
Какой вид имеет ядро Пуассона для круга? Перечислите его свойства.
Найти и нарисовать область на плоскости (x,y), в которой уравнение (y2-

1)uxx-2xuxy+uyy=0 имеет эллиптический тип.
Решить краевую задачу y''+[pic]y=x, y(0)=y[pic]=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 25

24) Какой вид имеют однородные граничные условия второго рода для уравнения теплопроводности? Сформулируйте их физический смысл.
Какой вид имеет линейное уравнение с частными производными первого порядка после характеристической замены переменных? Каково его общее решение?
Определить типы уравнения с частными производными:

а) 3uxx+4uyy=0,

б) uxx+6uxy+9uyy=0,

в) 3uxx-4uxy+4uyy=0.
Проверить, являются ли функции y1=cos[pic]x и y2=cos[pic] собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y'(0)=у[pic]=0. Найти соответствующие собственные значения, если они существуют.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 26

25) В каком виде ищут частные решения уравнения колебаний струны методом

Фурье? Приведите примеры частных решений.
Как получить решение задачи Коши для волнового уравнения с помощью преобразования Фурье?
Найти и нарисовать область на плоскости (x,y), в которой уравнение xuxx+2yuxy+uyy=0 имеет эллиптический тип.
Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y'(0)=у(2?)=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 27

26) Сформулируйте третью краевую задачу для уравнения Лапласа и Пуассона.
Как решается смешанная задача для уравнения теплопроводности на полупрямой с помощью преобразования Фурье?
Определить типы уравнения с частными производными:

а) uxx+2uxy+3uyy=0,

б) uxx-uyy=0,

в) 4uxx+8uxy+4uyy=0.
Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y(0)=у'(2?)=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 28

27) Что называется краевой задачей для дифференциального уравнения?

Приведите примеры краевой задачи для волнового уравнения.
Что называется логарифмическим потенциалом двойного слоя? Какие задачи можно решать с помощью этого потенциала?
Найти и нарисовать область на плоскости (x,y), в которой уравнение xuxx- yuxy+uyy=0 имеет гиперболический тип.
Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y(0)=у'(?)=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 29

28) Какую классификацию имеют линейные уравнения с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными? Приведите примеры.
Что называется логарифмическим потенциалом площади? Какие задачи можно решать с помощью потенциала площади?
Проверить, являются ли функции u1=5(x+y)+2(x-y)2 и u2=5xy+3x-4 решениями уравнения uxx-uyy=0.
Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y(0)=у'(1)=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 30

29) Какие условия называются граничными? Приведите примеры граничных условий для уравнения теплопроводности.
Что называется характеристиками линейного уравнения с частными производными первого порядка? Каковы дифференциальные уравнения характеристик?
Являются ли функции ?(x)=cos3?x и ?(x)=cos?x на отрезке [0,1].
Проверить, являются ли функции y1=sin3x и y2=cos4x собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y'(0)=у'[pic]=0. Найти соответствующие собственные значения, если они существуют.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 31

30) Какой вид имеют условия Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа?
Какой вид имеет уравнение теплопроводности после преобразования Фурье?

Каково его общее решение?
Определить типы уравнения с частными производными:

а) 2uxx+5uyy=0,

б) uxx+8uxy+16uyy=0,

в) 3uxx+uxy-2uyy=0.
Проверить, являются ли функции y1=cos?x и y2=sin[pic] собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y'(0)=у'(2)=0. Найти соответствующие собственные значения, если они существуют.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 32

31) Сформулируйте три основных типа граничных условий для волнового уравнения.
Какие характеристики имеет волновое уравнение? Каковы дифференциальные уравнения характеристик?
Определить типы уравнения с частными производными:

а) uxx+3uxy-4uyy=0,

б) 2uxx-uxy+uyy=0,

в) [pic]uxx-uxy+[pic]uyy=0.
Решить краевую задачу y''-9y=3x, y'(0)= -[pic], y(1)=[pic].

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 33

32) Какая задача называется задачей Штурма-Лиувилля?
Какое общее решение имеет система двух линейных уравнений с частными производными первого порядка в случае различных собственных значений матрицы коэффициентов?
Проверить, являются ли функции u1=sin5xcosy и u2=25x2+y2+25xy решениями уравнения uxx-25uyy=0.
Проверить, являются ли функции y1=sin[pic]x и y2=sin[pic]x собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y(0)=у(3)=0. Найти соответствующие собственные значения, если они существуют.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 34

33) Сформулируйте определение тригонометрического ряда Фурье. Приведите формулы коэффициентов Фурье.
Запишите формулу Грина для функций двух переменных. Какой вид примет формула Грина для гармонических функций?
Проверить, являются ли функции u1=3xy+4и u2=[pic]-2 решениями уравнения

[pic]uxx+ux+uyy-[pic]uy=0.
Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y'(0)=у'(?)=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Билет № 35

34) Какой вид имеют граничные условия второго рода для уравнения колебаний струны? Сформулируйте их физический смысл.
Как формулируется теорема Лиувилля? Приведите ее доказательство.
Найти и нарисовать область на плоскости (x,y), в которой уравнение 2uxx- yuxy-xuyy=0 имеет эллиптический тип.
Решить задачу Штурма-Лиувилля y''+?y=0, y'(0)=у'(2?)=0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------