Модели теории графов для выделения контуров по градиентному изображению

А.Г. Броневич, Н.С. Зюзерова

1.Введение

Важным этапом обработки реальных изображений является выделение контурного (скелетного) изображения. Это оказывается необходимым при распознавании образов и анализе сцен, поскольку контуры являются, как правило, наиболее информативными и неизбыточными признаками исходного изображения. При выделении краев (контуров) полутоновых изображений наиболее широкое применение получили методы , основанные на различного рода статистических и вероятностных моделях, робастные при наличии ошибок, вызванных зашумленностью изображений, квантованием функции яркости по ее аргументам и значениям.

Однако следует отметить, что объективность получаемых результатов, как правило, достаточно мала. Слишком ненадежными оказываются статистические выводы, основанные на мало представительной локальной статистической информации. Кроме того, при выделении краев, как правило, используются одномерные вероятностные модели. Методы, основанные на модели двумерного нестационарного случайного процесса, оказываются трудно реализуемыми на практике.

В статье рассматривается модель описания изображений, основанная на теории графов. В качестве исходной информации для предлагаемого метода может быть некоторым образом полученный массив  чисел, ставящих в соответствие каждой точке изображения степень (вероятность) принадлежности ее контурному изображению. Значения могут быть получены, например, с помощью оператора Собеля . Используя предположение, что любая точка , для которой ? ( - порог), не принадлежит контуру, строится граф градиентного изображения. Согласно постановке оптимизационной задачи, контурное изображение - это частичный подграф градиентного изображения, обладающий такими же метрическими характеристиками. В статье описывается эффективный алгоритм поиска контурного изображения, который основан на процедуре построения наикратчайшего пути на графе.

2. Основные определения

Будем считать, что для каждого элемента изображения (ЭИ) с координатами  имеется оценка модуля градиента, которая, например, может быть получена с помощью оператора Собеля. Контуры изображения представляют собой кривые на изображении, в точках которых модуль градиента имеет большее значение, либо не определен в силу того, что частная производная вдоль направления x либо y терпит разрывы. Поскольку мы имеем лишь оценку градиента, то можно предположить, что точка  принадлежит контуру, если значение функциив этой точке достаточно большое. С учетом этого можно ввести в рассмотрение порог h и считать, что любая точка , для которой h не принадлежит контуру. Это позволяет ввести в рассмотрение градиентное изображение

и по этому изображению восстанавливать контуры исходного изображения. При этом сделаем следующие предположения:

 если точка  принадлежит контуру, то  (обратное утверждение в общем случае неверно);

 пусть, тогда в окрестности точки  может быть найдена точка , принадлежащая контуру. (выбор параметров  и , очевидно, связан с качеством исходного изображения);

 по градиентному изображению можно с некоторой точностью восстановить конфигурацию контуров, их метрические характеристики.

Для математического описания таких требований введем в рассмотрение неориентированный граф градиентного изображения. Вершинами этого графа является ЭИ с координатами , для которых . Будем считать, что вершины ,  этого графа являются смежными, если найдутся такие числа  , не равные нулю одновременно, что =. Различные варианты смежных вершин показаны на рис.1 а), б), в), г).

Введем расстояние между смежными вершинами. Будем считать, что для случаев а) и б) это расстояние равно , а для случаев в) и г) это расстояние равно 1. С учетом этого можно ввести расстояние между произвольными вершинами графа градиентного изображения. Пусть теперь точки  принадлежат контуру, тогда поскольку они связаны, можно рассматривать расстояние между этими точками вдоль контура. Естественно предположить, что это расстояние не должно сильно отличаться от расстояния , вычисляемого по графу градиентного изображения, т.е. . Относительную погрешность этой оценки можно получить с помощью отношения

.

Для достаточно гладкой кривой значение  с большой вероятностью будет принадлежать промежутку . В этом заключается предположение 3.