< K < P

1 < K < P

получатель вычисляет и передаёт отправителю число B, определяемое последовательностью:

В = A ^Kb mоd(P)

отправитель шифрует сообщение M и отправляет полученную последовательность получателю

C = M * B ^Ka mоd(P)

получатель расшифровывает полученное сообщение

D = ( A ^Ka ) ^-Kb mоd(P)

M = C * D mоd(P)

В этой системе открытого шифрования та же степень защиты, что для алгоритма RSA с модулем N из 200 знаков, достигается уже при модуле P из 150 знаков. Это позволяет в 5-7 раз увеличить скорость обработки информации. Однако, в таком варианте открытого шифрования нет подтверждения подлинности сообщений.

1.2.3.  Подтверждение подлинности отправителя

Для того, чтобы обеспечить при открытом шифровании по модулю простого числа P также и процедуру подтверждения подлинности отправителя Т.ЭльГамаль предложил следующий протокол передачи подписанного сообщения M:

абоненты знают числа A и P;

отправитель генерирует случайное число и хранит его в секрете:

Ka

удовлетворяющее условию:

1 < Ka < P

вычисляет и передаёт получателю число B, определяемое последователньостью:

В = A ^Ka mоd(P)

Для сообщения M (1 < M < P):

выбирает случайное число L (1 < L < P), удовлетворяющее условию

( L , P - 1 ) = 1

вычисляет число

R = A ^L mоd(P)

решает относительно S

M = Ka * R + L * S mоd(P)

передаёт подписанное сообщение

[ M, R, S ]

получатель проверяет правильность подписи

A M = ( B ^R ) * ( R ^S ) mоd(P)

 

В этой системе секретным ключом для подписывания сообщений является число X, а открытым ключом для проверки достоверности подписи число B. Процедура проверки подписи служит также и для проверки правильности расшифрования, если сообщения шифруются.

1.3.     Алгоритм Шамира 1.3.1.  Общее описание

Еще один интересный пример использования возведения в степень по модулю большого простого числа P для открытого шифрования предложил А.Shamir (один из авторов RSA). Как и в системе ЭльГамаля сообщения M представляются целыми числами из интервала 1 < M < P.

1.3.2.  Передача сообщений

Передача сообщения происходит следующим образом:

абоненты знают числа P;

абоненты генерируют независимо друг от друга случайные числа:

Ka, Kb

удовлетворяющих условию:

1 < K < P

отправитель вычисляет значение и передаёт получателю:

C = M ^Ka mоd(P)

получатель вычисляет и передаёт отправителю число B, определяемое последовательностью:

D = C ^Kb mоd(P)

отправитель аннулирует свой шифр и отправляет полученную последовательность получателю

E=D^(X-1) mоd(P) E = D ^Fa mоd(P)

где:

Fa = Ka -1

получатель расшифровывает полученное сообщение

M = E ^Fb mоd(P)

где:

Fb = Kb –1

1.3.3.  Пример использования

Эта процедура ОШ может быть использована, например, для таких "экзотических" целей как игра в карты по телефону.
Действительно, если игрок A желает "сдать" игроку B, скажем, 5 карт из 52 как при игре в покер, он зашифровывает обозначения всех карт и передает их игроку B:

Ca = Ma ^Ka mоd(P)

где

I=1,2,..,52

Игрок B выбирает из них 5, зашифровывает своим ключом 22 и возвращает игроку А:

Da = Ca ^Kb mоd(P)

где

I=1,2...,5

Игрок A снимает с этих 5 карт свой шифр и выдает их игроку B.
Игрок B расшифровывает полученные карты:

Ma = Ea ^Fb mоd (P)

При этом оставшаяся часть колоды C(6)...C(52) теперь находится у игрока B, но он не может раскрыть эти карты, т.к. они зашифрованы на ключе его партнера A. Остальные процедуры игры проделываются аналогично.

1.4.     Кpиптосистемы на основе эллиптических уpавнений

Эллиптические кpивые - математический объект, котоpый может опpеделен над любым полем (конечным, действительным, pациональным или комплексным). В кpиптогpафии обычно используются конечные поля. Эллиптическая кpивая есть множество точек (x,y), удовлетвоpяющее следующему уpавнению:

y² = x³ + ax + b,

а также бесконечно удаленная точка. Для точек на кpивой довольно легко вводится опеpация сложения, котоpая игpает ту же pоль, что и опеpация умножения в кpиптосистемах RSA и Эль-Гамаля.

В pеальных кpиптосистемах на базе эллиптических уpавнений используется уpавнение

y² = x³ + ax + b mod p,

где p - пpостое.

Пpоблема дискpетного логаpифма на эллиптической кpивой состоит в следующем: дана точка G на эллиптической кpивой поpядка r (количество точек на кpивой) и дpугая точка Y на этой же кpивой. Нужно найти единственную точку x такую, что Y = xG, то есть Y есть х-я степень G.

2.   Электронно-цифровая подпись 2.1.     Общие положения

При ведении деловой переписки, при заключении контрактов подпись ответственного лица является непременным аттрибутом документа, преследующим несколько целей:

-      Гарантирование истинности письма путем сличения подписи с имеющимся образцом;

-      Гарантирование авторства документа ( с юридической точки зрения)

Выполнение данных требовани основывается на следующих свойствах подписи:

-      подпись аутентична, то есть с ее помощью получателю документа можно доказать, что она принадлежит подписывающему;

-      подпись неподделываема; то есть служит доказательством, что только тот человек, чей автограф стоит на документе, мог подписать данный документ, и никто иной.

-      Подпись непереносима, то есть является частью документа и поэтому перенести ее на другой документ невозможно.

-      Документ с подписью является неизменяемым.

-      Подпись неоспорима.

-      Любое лицо, владеющее образцом подписи может удостоверится, что документ подписан вледельцем подписи.

 Развитие современных средств безбумажного документооборота, средств электронных платежей немыслимо без развития средств доказательства подлинности и целостности документа. Таким средством является электронно-цифровая подпись (ЭЦП), которая сохранила основные свойства обычной подписи.

Существует несколько методов посторения ЭЦП, а именно:

-      шифрование электронного документа (ЭД) на основе симметричных алгоритмов. Данная схема предусматривает наличие в системе третьего лица – арбитра, пользующегося доверием обеих сторон. Авторизацией документа в даной схеме является сам факт зашифрования ЭД секретным ключем и передача его арбитру.

-      Использование ассиметричных алгоритмов шифрования. Фактом подписания документа является зашифрование его на секретном ключе отправителя.

-      Развитием предыдущей идеи стала наиболее распространенныя схема ЭЦП – зашифрование окончательного результата обработки ЭД хеш-функцией при помощи ассиметричного алгоритма.

Кроме перечисленных, существуют и другие методы построения схем ЭЦП

 - групповая подпись, неоспариваемая подпись, доверенная подпись и др. Появление этих разновидностей обусловлено разнообразием задач, решаемых с помощью электронных технологий передачи и обработки электронных документов.

3.   Алгоритм DSA

В 1991 г. в США был опубликован проект федерального стандарта цифровой подписи - DSS (Digital Signature Standard, [DSS91], описывающий систему цифровой подписи DSA (Digital Signature Algorithm). Одним из основных критериев при создании проекта была его патентная чистота.

Предлагаемый алгоритм DSA, имеет, как и RSA, теоретико-числовой характер, и основан на криптографической системе Эль-Гамаля в варианте Шнорра . Его надежность основана на практической неразрешимости определенного частного случая задачи вычисления дискретного логарифма. Современные методы решения этой задачи имеют приблизительно ту же эффективность, что и методы решения задачи факторизации; в связи с этим предлагается использовать ключи длиной от 512 до 1024 бит с теми же характеристиками надежности, что и в системе RSA. Длина подписи в системе DSA меньше, чем в RSA, и составляет 320 бит.

С момента опубликования проект получил много критических отзывов, многие из которых были учтены при его доработке. Одним из главных аргументов против DSA является то, что, в отличие от общей задачи вычисления дискретного логарифма, ее частный случай, использованный в данной схеме, мало изучен и, возможно, имеет существенно меньшую сложность вскрытия. Кроме того, стандарт не специфицирует способ получения псевдослучайных чисел, используемых при формировании цифровой подписи, и не указывает на то, что этот элемент алгоритма является одним из самых критичных по криптографической стойкости.

Функции DSA ограничены только цифровой подписью, система принципиально не предназначена для шифрования данных. По быстродействию система DSA сравнима с RSA при формировании подписи, но существенно (в 10-40 раз) уступает ей при проверке подписи.

Вместе с проектом DSS опубликован проект стандарта SHS (Secure Hash Standard), описывающий однонаправленную хэш-функцию SHA (Secure Hash Algorithm), рекомендованную для использования вместе с DSA. Хэш-функция SHA является модификацией алгоритма MD4, хорошо известного в криптографической литературе.

3.1.     Генерация ЭЦП

При генерации ЭЦП используются параметры трех групп:

-      общие параметры

-      секретный ключ

-      открытый ключ

Общие параметры необходимы для функционирования системы в целом. Секретный ключ используется для формирования ЭЦП, а открытый – для проверки ЭЦП. Общими параметрами системы являются простые целые числа p,q,g, удовлетворяющие следующим условиям:

 p: 2^511<p<2^512

q: простой делитель числа (p-1), который удовлетворяет условию

2^159<q<2^160

g: так называемый генератор,удовлетворяющий

равенству g=h^((p-1)/q)mod p >1.

Парараметры p,q,g публикуются для всех участников обмена ЭД с ЭЦП.

Секретный ключ x случайно выбирается из диапазона [1,q] и держится в секрете.

Открытый ключ вычисляется: y=g^x mod p.

Также при описании данной схемы будут использоваться следующие обозначения и доролнительные параметры: m – входное сообщение пользователя для схемы с ЭЦП; k - случайное число, удовлетворяющее условию 0<k<q, хранящееся в секрете и меняющееся от одной подписи к другой; H – хэш-функция, h – хэш-код сообщения.

Процесс генерации ЭЦП состоит из нескольких этапов:

1.Вычисляется хэш-код сообщения m h=H(m)

2.Из диапазона [1,q] случайным образом выбирается значение k и вычисляется r= (g^k mod p) mod q