3. Расчет цепей на основе направленных графов
Для расчетов сложных цепей, содержащих нелинейные элементы, данный граф цепи необходимо разбить на линейные подграфы. На рис. 10 показан общий случай такого разбиения. Необходимым условием правильного разбиения является отсутствие обратных связей между подграфами. Если - матрицы передач между выходными и входными узлами соответствующих подграфов, а - матрицы - столбцы передачи нелинейных ветвей, то матрица передач измерительной системы при воздействии на входе системы источников равна.
(5)
где l - число линейных подграфов, а показания индикаторного прибора равны
(6)
Примером сложного графа с несколькими линейными подграфами может служить система с многократным преобразованием частоты. Расчет таких систем сводится к расчету линейных подграфов и определению на основе уравнения (5).
| |
| |
Рис. 10
Графы сложных линейных систем могут быть также разбиты на подграфы. Критерии разбиения разнообразны - наличие симметрии, последовательно или параллельно соединенных четырехполюсников, изменение структуры и т.д.
Расчет линейных графов, т.е. определение передачи между выбранными входными м выходными узлами графа ( подграфа ), может быть проведена двумя способами: 1) непосредственным расчетом на основе правила не касающихся контуров и 2) последовательным упрощением графа на основе известных правил преобразования.
Правило не касающихся контуров, впервые предложенное Мэзоном / 1 /, удобно при расчете сравнительно не сложных цепей . в формулировке автора оно выражается следующим образом:
, (7)
где - величина k-го пути между узлами ;
D - определитель графа;
D k - определитель части графа, не касающегося k-го пути, т.е. не имеющего с k-ым путем общих узлов.
Уравнение (7) может быть представлено в удобном для практического использования виде:
(8)
где - все контуры графа ( m = 1, 2, ..... n ),
причем
если путь и контур имеет хотя бы один общий узел.
Практика показывает, что произведение контуров второго и более высоких порядков мало влияют на величину передачи и в большинстве случаев могут не учитываться.
При этом правило Мэзона имеет простую форму и легко применимо для нахождения зависимости между двумя любыми переменными в графе.
Рассмотрим пример - направленный ответвитель, к плечам которого подключены генератор, нагрузка и индикатор ( рис.11, а ). Передача между узлами в соответствии с уравнением (8) равна
(9)
Как видно из уравнения (9), даже простая система приводит к сравнительно сложному выражению для передачи, требующему каких-то упрощений для практического использования. Для упрощения подобных графов удобно воспользоваться условием зависимости и устранить ветви, не имеющие ни какой информации ( например, ). Эта операция может быть проведена понижением порядка графа - устранением вершины . Для этого выделяем связи, имеющие непосредственный интерес и не проходящие через вершину ( рис.11, б ).
(10)
Связи для наглядности структуры графа удобно сохранить в отдельности, несмотря на их равенство. Теперь для преобразованного графа сигнал равен:
(11)
Наложим условие, необходимое для направленного ответвления отраженного от нагрузки сигнала
(12 )
Тогда в режиме выделения отраженного сигнала имеем
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Рис. 11
(14)
Рассмотренный пример показывает удобство преобразования исходной структуры графа к более простому виду, сохраняя при этом общность с физической структурой системы и используя обобщенные параметры , доступные экспериментальному определению. Критериями упрощения являются выделение основных связей и устранение второстепенных, являющихся в процессе эксперимента постоянными. Узлы, которые при измерительных манипуляциях получают связи с другими узлами, исключать при преобразовании нельзя. Практически наиболее часто упрощаются части графа, имеющие непосредственные связи с индикаторным каналом, как и в рассмотренном выше случае.
На рис. 12, а представлен граф восьмиполюсника, к плечам 1 и 2 которого подключены генератор и нагрузка соответственно, а к плечам 3 и 4 - индикаторы. Пользуясь описанным выше примером, приведем этот граф к виду, показанному на рис. 12, б. Передачи ветвей преобразованного графа есть следующие функции передач ветвей основного графа:
(15)
где - передачи контуров индикаторных плеч
(16)
Преобразованный граф ( рис. 12, б ) - это граф с односторонними связями с индикаторными плечами, что является удобным для практического анализа. Реакции индикаторных плеч на остальную схему учитывается в передачах преобразованного графа.
| |||||
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Для общего случая 2n - полюсника, в котором (n - k) индикаторных плеч упрощаются к рассмотренным выше односторонним связям, могут быть получены следующие рекуррентные формулы. Для связей в не индикаторных плечах:
(17)
Для связей между неиндикаторными плечами:
(18)
Для связей индикаторных с неиндикаторными плечами:
(19)
Рассмотрим другой вид преобразования, имеющий практический интерес и выполненный методами алгебраических матриц значительно сложнее - 2n - полюсника.
Преобразуем нагруженный восьмиполюсник ( рис. 12, а ) к шестиполюснику путем исключения связей с индексом «4». При этом передача каждой ветви получаемого шестиполюсника есть сумма передач соответствующей ветви восьмиполюсника плюс величина пути между рассматриваемыми узлами, проходящие через исключаемые узлы 4 и 4’.
Пользуясь этим простым правилом, получим
(20)
На основании формул (20) нетрудно получить рекуррентную формулу для преобразования 2n - полюсника в 2(n -1) - полюсник:
(21)
Производя дальнейшее понижение порядка 2n - полюсника до 2(n - k) - полюсника, аналогично можно получить общую рекуррентную формулу
(22)
Формулы (21) и (22) могут быть получены алгебраическим путем - понижением порядка матрицы, что соответствует исключению узлов графа, однако эта процедура несравненно сложнее, что наглядно показывает преимущество топологического представления перед алгебраическим матричным.
Список используемой литературы
1. Мэзон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы. ИЛ,1963.
2. Берж К. Теория графов и ее применение. ИЛ, 1962.
3. Абрахамс Дж., Каверли Дж. Анализ электрических цепей методом графов. Изд-во «Мир», 1967.
4. Заездный А.М., Гуревич И.В. Основы расчетов радиотехнических цепей. Изд. 2-е, М., «Связь», 1968.
5. Хантон Дж. Анализ микроволновых цепей посредством графов потока сигналов. IEEE Traus on Microwave Theory and Tech. MTT-8, № 2, 1960.
6. Петров В.П. Радиотехнические цепи. М., «Связь», 1989.
Список обозначений
- комплексный коэффициент отражения;
- коэффициенты матрицы рассеяния;
Y = a + jb - постоянная распространения;
- волновое сопротивление;
КСВ - коэффициент стоячей волны;
z = r + j x - комплексное сопротивление;
y = g + j b - комплексная проводимость;
Z = R + j X - комплексное нормированное сопротивление;
Y = G + j B - комплексная нормированная проводимость;
l - длина волны;
f - частота;
w = 2pf - круговая частота;
Н - ослабление, дБ;
e = e’ - je’’ - комплексная диэлектрическая проницаемость;
m = m’- jm’’ - комплексная магнитная проницаемость;
Q - добротность4
D - наружный диаметр проводника;
d - внутренний диаметр проводника.
Применяемые индексы
вх - вход;
вых - выход;
г - генератор;
н - нагрузка;
1, 2, 3.... - при Г, Z, Y относятся к сечениям 1-1’; 2-2’; 3-3’...... ;
‘0 - начальное значение;
max - максимальный;
min - минимальный;
пад - падающая волна;
отр - отраженная волна;
хх - холостой ход;
кз - короткое замыкание.
0 комментариев