Расчет токов Методом Контурных Токов и Методом Узловых потенциалов

5 Расчет токов Методом Контурных Токов и Методом Узловых потенциалов.

5.1      Расчет токов Методом Контурных Токов.

Суть данного метода заключается в том, что вместо реально действующих токов в ветвях цепи, находят контурные токи. В основе этого метода лежит второй закон Кирхгофа. Однако в отличие от расчета токов по первому и второму Кирхгофа данный метод позволяет сократить количество уравнений.

Прежде всего, зададим произвольные направления контурных токов:

Рисунок 5. Положительные направления контурных токов.

Составим систему уравнений по второму закону Кирхгофа, учитывая действующие значения ЭДС:

Для расчета системы уравнений воспользуемся программой - MathCAD 2000 Professional. Распечатка решения приведена в Приложении 2.

Решив систему уравнений, получили следующие контурные токи:
Задав направления токов, как и в решении по законам Кирхгофа (см. рисунок 4), получили следующие значения токов:

 

5.2      Метод Узловых Потенциалов.

Данный метод основан на первом законе Кирхгофа и на законе Ома. Он позволяет сократить число уравнений.

Рисунок 6. Узлы электрической цепи.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа:

Примем за ноль потенциал узла (0) т.е. f0 = 0.

Тогда токи в ветвях, согласно закону Ома:

Где: g_k=1/Z_k - проводимость, k = 0…6.

Подставив токи в уравнения составленные по первому закону Кирхгофа, получили систему уравнений:

После несложных преобразований система принимает вид:

Система уравнений содержит всего три неизвестных (f1, f2, f3). Для расчета системы уравнений воспользуемся программой - MathCAD 2000 Professional. Распечатка решения приведена в Приложении 3.

Решив систему уравнений и учитывая, что f0 = 0 получили потенциалы:
Воспользовавшись уравнениями для расчета токов, получили:

5.3      Сравнение токов в ветвях цепи.

"Сведём" токи полученные в различных решения в таблицу:

i	По Кирхгофу	МКТ	МУП
1	-1,013 + 0,653×j	-1,013 + 0,653×j	-1,013 + 0,653×j
2	-4,759 + 1,591×j	-4,759 + 1,592×j	-4,754 + 1,591×j
3	3,746 - 0,939×j	3,746 - 0,939×j	3,746 - 0,939×j
4	0,507 - 0,806×j	0,507 - 0,806×j	0,507 - 0,806×j
5	-5,266 + 2,398×j	-5,266 + 2,398×j	-5,266 + 2,398×j
6	1,52 - 1,459×j	1,52 - 1,459×j	1,52 - 1,459×j

Таблица 2. Сравнение токов.

Небольшую разницу в значениях токов можно объяснить разной степенью точности вычислений и округлений.

6   Расчет напряжений на пассивных элементах

цепи:

Для расчета напряжений на элементах цепи воспользуемся законом Ома в комплексной форме:

Для нашей схемы получается:

7 Проверка выполнения баланса мощностей.

Условие баланса мгновенных мощностей может быть сформулировано следующим образом: сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками, равно сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми приемниками энергии.

Проверим выполнение этого условия для нашей схемы:

Учитывая то, что все токи округлены до третьего знака после запятой а также то, что вычисления в MathCAD-е также обладают погрешностью, можно сказать что баланс выполняется.

7 Построение графика изменения комплексного

потенциала.

8 Список использованной литературы:

1.   В. П. Попов.

" Основы теории цепей"

Москва, "Высшая школа", 1985г.

2.   Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов.

" Основы теории цепей"

Москва, "Энергоатомиздат", 1989г.

3.   А. К. Лосев.

" Теория линейных электрических цепей"

Москва, "Высшая школа", 1987г.