Оптимизация профиля отражения частотных фильтров излучения с использованием модулированных сверхрешеток

Введение. 3

Математический аппарат. 6

Немодулированные бинарные структуры. 11

Модулированные бинарные структуры. 16

. Ступенчато модулированные решетки. 16

. Решетки со стековой модуляцией. 21

. Бинарные решетки с гауссовыми модуляциями. 25

5. Заключение. 35

6. Приложение. 38

7. Список использованной литературы. 42

Бинарные периодические структуры, как известно, обладают как частотными зонами с предельно малым пропусканием, так и зонами с малым отражением. Данное свойство служат основой для использования таких сред в качестве, например, селективных частотных фильтров, или управляемых зеркал. Свойство это основано на многолучевой интерференции, дающей минимумы в одних частотных диапазонах и максимумы в других. Некоторые из этих зон (пропускания или отражения) являются «хорошими»: то есть гладкими и с вертикальными краями. Некоторые же являются сильно возмущенными, что затрудняет их использование для управления излучением.

В работе главным ограничением являются показатели преломления. Было предложено использовать вещества с показателями преломления 1.44 и 2.0 или 1.44 и 2.2, из-за того, что остальные вещества являются либо нетехнологичными и, соответственно, представляют собой чисто теоретический интерес, либо нестойкими к лазерному излучению, что приводит к их скорому разрушению. Следующим ограничением является частотный диапазон. Рабочая частота, то есть минимумы и максимумы отражения должны лежать в видимом диапазоне, что соответствует циклической частоте 1.5 * 10¹⁵ – 3.5 * 10¹⁵ Гц. Так как показатели преломления являются величинами жестко зафиксированными, то при модуляции предложено изменять толщины слоев, модулируя, таким образом, оптический путь.

В [1] было предложено использовать модулированный потенциальный барьер для получения гладких зон пропускания и отражения для электронных волн. В [2] была применена та же идея для сглаживания функции пропускания в соответствующих зонах оптического излучения. Более общая физическая теория подробно описана в [5] и, более применительно к данной теме, в [6]. Математическое обоснование всего проекта (как для расчетов, так и для написания программы) детально разработано в [3] и, применительно к данному случаю, в [4]. Наиболее же полная математическая идея общно и подробно изложена в [7].

В данном проекте рассматривается профиль отражения на частоте лазерного излучения. Было предложено три вида модуляции. Это «ступени» - скачкообразное изменение оптического пути с постепенным общим повышением или понижением значений. «Стеки» - набор из нескольких квазигармонических периодов изменения значений. И, наконец, «гауссианы» - здесь происходит изменение оптического пути по функции Гаусса - exp(-x²/²), где параметр  - ширина всей структуры. При этом рассматривается модуляция для разного числа слоев в структуре.

Так же обсуждаются дальнейшие перспективы той или иной оптимизации, как то – возможности расширения зон отражения, получение более вертикальных и менее возмущенных краев этих зон, получение максимально возможного отражения или пропускания излучения, что, в свою очередь, означает обсуждение перспектив получения реально действующих поляризационных затворов, оптических фильтров и управляемых зеркал.

Следует оговорить обозначения принятые в этой работе. На графиках зависимостей отражения волны от частоты (они же называются профилями отражения) по оси абсцисс откладывается циклическая частота падающего излучения, а по оси ординат показатель отражения (отношение интенсивности отраженной волны к интенсивности падающей). А на графиках-изображениях оптического пути по оси абсцисс откладываются номера слоев, а по оси ординат соответствующие им произведения толщин на показатели преломления слоев. На самом деле это не вполне графики, в том смысле, что реально это набор дискретных точек. Трудно, ведь, представить себе слой под номером 2.4, например. Линии же существуют для очевидности этих точек и общей модуляции структуры. В местах с наиболее интересными (с точки зрения автора) результатами будут приводиться также и графики-схемы самих структур. Там по оси абсцисс отложены номера слоев, а по оси ординат толщины этих слоев. Замечания, относящиеся к графикам-изображениям оптического пути, остаются в силе и для этих графиков-схем.

Во всей работе показатели преломления слоев имеют значения 1.44 и 2.2. Это связано с тем, что наилучший результат получается при большой разбежке в показателях преломления ([2] – там использованы значения 1.44 и 3.48). Но такие вещества не стойки к излучению. Были проведены вычисления для показателей преломления 1.44 и 2.0, но результаты оказывались всегда чуть хуже.

2.Математический аппарат.

Современная оптика базируется на уравнениях Максвелла

 ^х  = -    = 0

(1)  ^х  =j + D  D = 4 ,

где векторы E и D характеризуют электрическое поле, а  и  - магнитное,  - объемная плотность электрического заряда, j – плотность электрического тока. Максвелл также дополнил систему (1) системой материальных уравнений, отражающей свойства среды, в которой находятся заряды и токи:

D = E , B = H , j =  E , (2)

где - диэлектрическая проницаемость,  - магнитная проницаемость,  - удельная электропроводность среды.

При падении плоской монохроматической волны

Н(r, t) = H₀e^{i(kmr - t)}, k = /c (3)

на границу раздела однородных анизотропных сред возникают отраженные и преломленные волны с одинаковой экспоненциальной зависимостью exp (ikbr) от тангенциальной составляющей r_ радиус-вектора r [8], где b = Im – тангенциальная составляющая вектора рефракции m падающей волны (br = br_).

Зависимость векторов поля в среде от нормальной компоненты

z = qr вектора r в общем случае не является экспоненциальной. В анизотропных средах отраженные волны могут иметь различные нормальные составляющие векторов рефракции.

В рассматриваемом случае поле отраженной волны в анизотропной среде описывается [3] функциями вида:

= e^{i(kbr - t)} (4)

Аналогичной [3] зависимостью от координат характеризуются поля, возбуждаемые волной (3) в системах однородных плоскопараллельных слоев.

Для таких полей ротор сводится к оператору q^x + ikb^x и уравнения Максвелла (1) принимают вид

(q^x + ikb^x)H = -ikD (5)

(q^x + ikb^x)E = ikB

Умножая уравнения (5) на вектор q, получаем соотношения

qD = aH , qB = -aE , a = bq (6)

При нормальном падении (b = 0) поле (4) представляет собой плоскую волну. Нормальные компоненты векторов электрической и магнитной индукции такой волны равны нулю: qD = qB = 0. Векторы электромагнитного поля в линейной среде связаны уравнениями

D = E , B = H , (7)

где и  - тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей. В общем случае поглощающей анизотропной среды, обладающей собственной или вынужденной гиротропией [9], и  - комплексные несимметричные тензоры.

Уравнения связи (7) и соотношения (6) образуют систему восьми линейных скалярных уравнений для двенадцати декартовых компонент векторных функций E(z), D(z), H(z), B(z) вида (4). Поэтому лишь четыре из этих компонент линейно независимы. В качестве независимых функций удобно выбрать тангенциальные компоненты векторов напряженности электрического и магнитного полей, так как они непрерывны на границе раздела слоев. Выражая из уравнений (6) и (7) нормальные компоненты через тангенциальные составляющие и используя тождество [3] H = H_t +qqH , получаем

= V , где (8)

V = - (9)

матрица восстановления [10] полных векторов H и E по их тангенциальным составляющим H_ и E_ , а = qq, = qq.

С учетом соотношения (8) систему уравнений (5) можно представить в матричном виде [11]

= ikM , (10)

где

М = (11)

блочная матрица, составленная из операторов (12)

A = q^xqa - bqI

B = II - bb (12)

C = -aa - q^xq^x

D = -aqq^x - Iqb

здесь и - тензоры, взаимные к транспонированным тензорам

и соответственно.

В прозрачных средах и - эрмитовы: , при вещественном параметре b имеют место равенства

B⁺ = B, C⁺ = C, D⁺ = A (13)

В координатной записи уравнение (10) представляет собой систему четырех линейных дифференциальных уравнений для тангенциальных составляющих векторов H и E. Подобная система рассматривалась в [12].

Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами выражается через экспоненциал от матрицы коэффициентов этой системы.

В нашем случае [7] имеет место

= P , P = , F= (14)

Р – характеристическая матрица плоскослоистой анизотропной системы, которая связывает значения полей на первой и последней границах системы. Для системы из N-1 слоев матрицу Р можно представить в виде

Р = Р_N-1P_N-2…P_P…P₁, где Р_Р = , р = 1, 2, …,N-1 – характеристическая матрица р-го слоя.

Если в пределах некоторого слоя значения функции М() в двух произвольных точках ₁ и ₂ коммутируют между собой, то есть

М(₁) М(₂) = М(₂)М(₁) , _1,2 [z_P-1, z_P], то матрица Р этого слоя принимает вид [7] P = exp (ik ). Для однородной среды соответствующий интеграл сводится [4] к экспоненциальному оператору

Р = exp (iklM), где l – толщина слоя.

А такое уравнение легко алгоритмизуется. Ниже будет приведен листинг программы с комментариями.

3. Немодулированные бинарные структуры.

Под немодулированными бинарными структурами будем понимать набор из нескольких чередующихся слоев с разными показателями преломления, но с одинаковыми толщинами.

Схематично их можно представить следующим образом:

2.2 2.2 2.2 2.2 2.2

1.44 1.44 1.44 1.44 1.44 1.44

Рисунок 1. Схематичное представление немодулированных бинарных структур.

Двухслойная немодулированная бинарная структура.

График1. Схематичное изображение оптического пути для двухслойной

немодулированной структуры.

График 2. Зависимости отражения волны для двухслойной

немодулированной структуры при угле падения 0⁰ от частоты.

График 3. Зависимости отражения волны для двухслойной

немодулированной структуры при угле падения 45⁰ от частоты.

Структура же состоящая всего из 4 слоев дает картину, существенно отличающуюся.

График 4. Схематичное изображение оптического пути для четырехслойной

немодулированной структуры.

График 5. Зависимости отражения волны для четырехслойной

немодулированной структуры при угле падения 0⁰ от частоты.

График 6. Зависимости отражения волны для четырехслойной

немодулированной структуры при угле падения 45⁰ от частоты.

Выглядит уже лучше, в том смысле, что существуют зоны полного пропускания. А вот зон полного отражения (с коэффициентом 1) нет ни при каких углах падения .

Ну и рассмотрим структуру, состоящую из 24 слоев:

График 7. Схематичное изображение оптического пути для

двадцатичетырехслойной немодулированной структуры.

График 8. Зависимости отражения волны для двадцатичетырехслойной

немодулированной структуры при угле падения 0⁰ от частоты.

График 9. Зависимости отражения волны для двадцатичетырехслойной

немодулированной структуры при угле падения 45⁰ от частоты.

Явно вырисовываются четкие пики отражения и возмущенные области пропускания. Но пики отражения смещаются при изменении угла падения луча. А единственный несмещенный пик имеет коэффициент отражения при угле падения 0⁰ всего 0.8.

4. Модулированные бинарные структуры.

4.1 Ступенчато модулированные решетки.

Сейчас посмотрим на первую из объявленных модуляций – «ступени». Схематично подобная структура выглядит так:

2.2 2.2 2.2 2.2

1.44 1.44 1.44 1.44

Рисунок 2. Схематичное представление ступенчато модулированных бинарных

структур.

Луч в данном случае падает со стороны наиболее тонких слоев. Это получатся восходящие ступени. Ежели направить луч со стороны толстых слоев, ступени будут нисходящими. Почему модуляция называется ступенчатой, станет понятно, если взглянуть на график № 10. На графиках (№13) и (№16) на ступенчатую модуляцию накладывается функция Гаусса.

Ступенчато модулированная структура:

График 10. Схематичное изображение оптического пути для

двадцатичетырехслойной ступенчато модулированной структуры

(восходящей).

График 11. Зависимости отражения волны для двадцатичетырехслойной

ступенчато модулированной структуры при угле падения 0⁰

(восходящей) от частоты.

График 12. Зависимости отражения волны для двадцатичетырехслойной

ступенчато модулированной структуры при угле падения 45⁰

(восходящей) от частоты.

График 13. Схематичное изображение оптического пути для

двадцатичетырехслойной ступенчато модулированной структуры

(восходящей, с наложенной гауссовой функцией).

График 14. Зависимости отражения волны для двадцатичетырехслойной

ступенчато модулированной структуры при угле падения 0⁰

(восходящей, с наложенной гауссовой функцией) от частоты.

График 15. Зависимости отражения волны для двадцатичетырехслойной

ступенчато модулированной структуры при угле падения 45⁰

(восходящей, с наложенной гауссовой функцией) от частоты.

График 16. Схематичное изображение оптического пути для

шестнадцатислойной ступенчато модулированной структуры

(нисходящей, с наложенной гауссовой функцией).

График 17. Зависимости отражения волны для шестнадцатислойной

ступенчато модулированной структуры при угле падения 0⁰

(нисходящей, с наложенной гауссовой функцией) от частоты.

График 18. Зависимости отражения волны для шестнадцатислойной

ступенчато модулированной структуры при угле падения 45⁰

(нисходящей, с наложенной гауссовой функцией) от частоты.

Вот какие результаты дает ступенчатая модуляция квазипериодических структур. Очень большие возмущения наблюдаются в областях пропускания, отсутствуют гладкие плато или ярко выраженные пики в областях отражения и, к тому же, области отражения смещаются при изменении угла падения луча, что представляет некоторые затруднения для управления излучением.