Соотношение математики и логики

3. Соотношение математики и логики.

Чтобы правильно поставить сам вопрос о соотношении математики и логики, необходимо, очевидно, рассмотреть его в исторической перспективе. Это обстоятельство не игнорирует и сам Б. Рассел. «Математика и логика,— пишет он,— исторически говоря, были целиком различными занятиями. Математика обычно ассоциировалась с естествознанием, логика — с греками. Но обе развились в настоящее время: логика стала более математической, а математика — более логической. Следствием этого является то, что сейчас стало совсем невозможно провести разграничительную линию между ними: фактически они стали единым исследованием. Они отличаются друг от друга так же, как юноша от мужчины: логика есть юность математики, а математика — зрелость логики».

В этом отрывке Рассел справедливо подчеркивает тесное взаимодействие между математикой и логикой в процессе их исторического развития, выявившееся с особой силой в нашем столетии. Именно в силу этого оказывается весьма трудным решить, какая из этих. наук генетически предшествовала другой. Многие специалисты склоняются к мысли, что математическое знание по крайней мере в полуэмпирической форме существовало задолго до того, как были открыты правила дедуктивных рассуждений. Прежде чем греческие геометры стали логически систематизировать результаты, найденные их предшественниками — египтянами, должна быжа существовать довольно развитая совокупность математических знаний, непосредственно связанных с различными вычислениями и измерениями. С другой стороны, трудно допустить, чтобы при получении этого знания не применялись те или иные принципы позднее возникшей логики.

Применение логических правил рассуждения нельзя отождествлять с обоснованием и дальнейшей разработкой этих правил. Человек, не знакомый с логикой, может тем не менее рассуждать правильно, т. е. приходить к истинным заключениям. Разумеется, только у греков математика превратилась в систематизированное научное знание, стала теоретической наукой, в которой широко использовались не только дедуктивные рассуждения, но и позднее возникший аксиоматический метод.

Все это показывает, что генетически логика вряд ли могла возникнуть раньше математики. Во всяком случае, если говорить о ясно сформулированных принципах дедуктивных рассуждений и их использовании и математике, то впервые они были развиты греческими философами. Аристотель и стоики в значительной мере усовершенствовали и систематизировали эти принципы, так что их работа представляет скорее не начало, а завершение длительного этапа многочисленных исследований в этой области, восходящих еще к VI в. до н. э.

Вряд ли, однако, тесную взаимосвязь и взаимодействие между логикой и математикой можно рассматривать как аргумент в пользу их идентичности, или тождества. И такое доказательство их идентичности вовсе не есть дело деталей, как в этом пытается уверить нас Рассел, хотя, как показала дальнейшая критика, не все эти детали являются убедительными и бесспорными. «...Начиная с предпосылок,— пишет он,— которые всеми будут допускаться как принадлежащие к логике, и придя посредством дедукции к результатам, которые с очевидностью принадлежат к математике, мы находим, что там не имеется пункта, где может быть проведена разграничительная линия, с логикой слева и математикой справа».

Но как мы уже видели, такие аксиомы, как аксиома бесконечности или аксиома свободного выбора, относятся скорее к теории множеств, т. е. к математике, чем к логике. Даже само определение понятия числа в терминах теории классов, которое играет такую важную роль в осуществлении программы логицизма, является в сущности определением в рамках теории множеств, поскольку термин класс всегда можно заменить термином множество. Наконец, некоторые исходные понятия теории множеств неявно используются в самом построении логических исчислений, которые применяются Фреге и Расселом при дедукции теорем из аксиом.

Все это показывает, что в подлинном смысле слова речь может идти не о строгой дедукции всей чистой математики из логики, а о тесной взаимосвязи между ними в процессе математического познания и исследования оснований обеих наук. Впрочем, это обстоятельство в ряде мест своей книги «Введение в математическую философию» и в приведенных выше цитатах признает, кажется, и сам Рассел.

С философской точки зрения при решении вопроса о соотношении логики и математики более существенными являются аргументы, относящиеся не столько к технической стороне самих деталей дедукции математики из логики, сколько к выяснению общности и различия их объектов исследования. Как мы подробно покажем в последней главе, предметом изучения современной математики являются различные абстрактные формы и структуры, которые обладают той особенностью, что в рамках математического исследования они могут рассматриваться независимо от конкретного содержания предметов и процессов, которым присущи эти формы и структуры. Простейшими из таких структур являются количественные отношения и пространственные формы, которые изучаются в элементарной и высшей математике. В процессе дальнейшего абстрагирования и обобщения возникают новые более сложные структуры и их комбинации, которые были названы абстрактными структурами. Такие структуры оказываются применимыми для изучения не только отношений между величинами, числами и обычными пространственными фигурами, но и объектов совершенно иной природы. С их помощью можно исследовать, например, логические отношения между высказываниями и анализировать теорию дедуктивного вывода, как это делается в математической логике.

При рассмотрении вопроса о соотношении логики и математики нередко возникают недоразумения в силу неоднозначности употребления самого термина «логика».

Во-первых, можно говорить о логике как науке, изучающей законы правильного мышления. В этом смысле логика понимается как исследование структур и форм мысли и поэтому справедливо называется формальной логикой.

Во-вторых, в рамках самой формальной логики можно выделить такую важную и доминирующую ее отрасль, как теория дедуктивного вывода, и соответственно говорить о дедуктивной логике.

В-третьих, нередко под логикой понимают применение математических методов для построения формальной теории дедуктивного вывода. Для этого обычно строятся различные формально-логические системы, или языки, с помощью которых оказывается возможным точно выразить логические взаимосвязи между высказываниями в процессе вывода. Поскольку при этом высказывания рассматриваются как некоторые дискретные объекты, то в принципе вполне допустимо интерпретировать отображающие их формальные системы с помощью объектов нелогической природы. Хорошо известно, например, что исчисление высказываний интерпретируется с помощью релейно-контактных схем и других технических устройств. Этот пример показывает, что в данном случае речь действительно идет о применении некоторых общих формальных методов к логике. Поэтому совершенно справедливо такая отрасль исследований получила название математической логики.

В-четвертых, в рамках не только общей, но и математической логики можно выделить целый ряд разделов, теорий и формально-логических систем, которые исследуют разные аспекты не только дедуктивной теории вывода, но и тесно связанных с ней проблем, например определения терминов и понятий, семантической теории значений и т. п. В этом смысле часто говорят, например, о многозначной, модальной, вероятностной, эпистемической, нормативной и других логиках. Подобного рода не-классические логики анализируют такие типы логического вывода, в котором высказывания характеризуются не с помощью двух значений истинности, какими являются истина и ложь, но учитывают и некоторые иные их характеристики, например возможность и необходимость, степень подтверждения, или вероятность и другие. В настоящее время исследования по неклассическим логикам получили заметный размах в связи с потребностями не только специальных наук, но и философии, в силу чего возникло даже особое направление под названием философской логики.

Какую же логику имеют в виду Рассел и его последователи, когда говорят о дедукции из нее чистой математики?

Как мы уже видели, для такой дедукции у Фреге используется формальная система «Основных законов арифметики», а у Рассела и Уайтхеда — логицистическая система «Principia Mathematica». Поэтому когда они говорят о логике, то подразумевают под ней математическую логику, представленную в виде формализованной логико-математической системы, т. е. речь в этом случае идет о логике в четвертом значении термина «логика». При этом важно обратить внимание на то, что в такой системе логические термины и принципы строго не отделены от математических, а иногда отдельные принципы вроде аксиомы бесконечности и свободного выбора без какой-либо аргументации объявляются логическими, хотя большинство математиков относит их к теории множеств, а следовательно, к математике.

Если бы логицисты под логикой понимали математическую логику в собственном смысле этого слова, т. е, подразумевали под ней применение математических методов к логике, что соответствует третьему значению термина «логика» в вышеприведенной классификации, тогда было бы невозможно вывести из нее чистую математику. К тому же при таком понимании следовало скорее рассматривать саму логику или по крайней мере ее формально-логические системы как часть математики, кав науки об абстрактных структурах. Именно так подходят к решению этого вопроса формалисты и интуиционисты.

Таким образом, несостоятельность программы логицизма, выдвинутой Г. Фреге и Б. Расселом на ранней стадии эволюции этого направления, подтверждается не только чисто научными, логико-математическими аргументами, но более общими, философскими соображениями. Вот почему логицизм в той форме, в какой он был сформулирован Б. Расселом и который часто называют радикальным, в настоящее время утратил прежнюю популярность.

В 60-е годы известный американский логик и математик Алонзо Чёрч на Стэнфордском конгрессе по логике, методологии и философии науки предложил новый вариант логицизма, который можно назвать умеренным логицизмом". Радикальный логицизм, по мнению Чёрча, характеризует отношение между логикой и математикой, исходя из двух основных принципов:

(1) все математические понятия могут быть определены в терминах чисто логических понятий или, как предпочитает говорить Чёрч, «математический словарь есть

часть логического словаря»;

(2) все математические предложения (аксиомы, постулаты) могут быть выведены из чисто логических законов посредством использования чисто логических способов рассуждения.

Чёрч считает, что второй принцип радикального логицизма оказался несостоятельным и поэтому математику нельзя рассматривать буквально как часть логики. Что касается первого принципа, то он склоняется к мнению, что утверждение о том, что математический словарь есть часть логического словаря, подтверждается всем ходом исследований по основаниям математики. Такое заявление, хотя и не говорит о том, что математика буквально составляет часть логики, но оно устанавливает первичность логики по отношению к математике в смысле предшествования. Это значит, что никакой математический термин, утверждение и доказательство не могут быть осмысленными, если не будут осмысленны соответствующие логические термины. Поскольку обратное не имеет места, то в строгом смысле здесь можно говорить о первичности логики по отношению к математике только в смысле обоснования, т. е. логика необходима для построения математики.

Что же касается заявления умеренного логицизма о том, что математический словарь составляет часть логического словаря, то обоснованность его зависит от ответа на главный вопрос: определимо ли понятие множества (или класса) и некоторые тесно связанные с ним теоретико-множественные понятия в чисто логических терминах? Рассел и его последователи считают понятие множества понятием логики и соответственно этому рассматривают теоретико-множественные аксиомы, в том числе и аксиому бесконечности, как логические аксиомы. Сторонники умеренного логицизма, хотя и отвергают полное отождествление теории множеств в его аксиоматической форме с логистической системой, тем не менее молчаливо допускают экспликацию понятия множества в чисто логических терминах. Некоторые вообще считают этот вопрос чисто терминологическим. Большинство же творчески работающих математиков и специалистов по ее основаниям выступают против растворения теории множеств в логике. Конечно, подобного рода вопросы нельзя решать путем подсчета голосов.

Какие же аргументы можно выдвинуть в пользу того, что понятие множества, хотя и является весьма общим и абстрактным, но тем не менее специфично именно для математики, а не для логики?

Во-первых, понятие множества, как и формализующие его аксиоматические системы, можно интерпретировать с помощью объектов самой различной природы. Логические же термины во всех интерпретациях имеют одно и то же значение. Это, разумеется, не значит, что эти термины и логические связки, такие, как отрицание, конъюнкция и т. п., во всех логических системах, например классической и конструктивной, понимаются одинаково. Но если мы выбрали определенную логику, то ее термины, операции и правила вывода должны пониматься всегда одинаково, независимо от интерпретации других математических терминов.

Во-вторых, понятие множества в прежнем, канторов-ском, смысле, как мы видели, оказалось затронутым парадоксами. Поэтому в настоящее время оно уточняется с помощью различных аксиоматических систем. Эти системы часто исходят из разных задач и оказываются взаимно несовместимыми. К тому же результаты Гёделя и П. Коэна свидетельствуют о возможности существования несовместимых друг с другом теорий множеств в рамках одной и той же аксиоматизации. Если мы согласимся включить такие несовместимые друг с другом аксиоматические теории множеств в состав логики, тогда последняя превратится в весьма запутанную и внутренне противоречивую науку.

В-третьих, против включения теории множеств и тем более всей чистой математики в состав логики свидетельствует и тот факт, что некоторые основные арифметические и теоретико-множественные понятия используются, хотя и неявно, уже в самом процессе построения формально-логических систем, которые впоследствии применяются для дедукции математики из логики. В самом деле, уже в исчислении высказываний мы апеллируем к счетно бесконечному списку пропозициональных переменных и других неопределяемых символов исчисления. Все это показывает, что хотя логика и необходима для построения чистой математики, но, с другой стороны, она уже предполагает некоторые фундаментальные понятия арифметики и теории множеств.

В-четвертых, сам характер логики как нормативного мышления предполагает, что эти мыслительные операции должны совершаться над некоторыми внелогическими объектами. Это обстоятельство справедливо подчеркивают как формалисты, так и интуиционисты. Утверждение Гильберта о том, что математика не может целиком основываться на логике. В качестве предварительного условия для применения логики он считает необходимым наличие определенных внелогических конкретных объектов. По мнению Карри, сказать, что математика есть логика,— это значит заменить один неопределенный термин другим.

Интуиционисты считают логику частью математики, а ее принципы наиболее общими теоремами математики. «Логические теоремы,— подчеркивает Гейтинг,— являются математическими теоремами. Логика не может служить основанием математики, напротив, она представляет концептуально усложненную и утонченную часть математики». Отношение между логикой и математикой, по его мнению, примерно таково же, как отношение между частными и общими утверждениями математики. Нo не всякое общее утверждение математики относится к логике.

Дискуссии, которые возникают в связи с отношением логики и математики, очень часто происходят из-за неопределенности исходных терминов. Не составляют здесь исключения и формально-логические системы, с помощью которых обычно пытаются осуществить дедукцию математики из логики. Действительно, в такой формализованной системе, как «Principia Mathematica», чисто логическая часть не отделена от математической. Естественно поэтому Рассел мог бросить вызов и заявить: «Если существуют люди, которые не допускают тождества логики и математики, мы можем поспорить с ними и попросить их указать нам, в каком пункте в последовательности определений и дедукций «Principia Mathematica» кончается логика и начинается математика» ".

Конечно, в такой ситуации спор окажется беспредметным. Но, как показал Д. А. Бочвар, в формализованной системе типа «Principia Mathematica» всегда можно выделить чисто логическую часть и специфическую, математическую. Он справедливо отмечает, что в логике мы никогда не имеем дела с индивидуальными предикатами, такими, как «быть числом», «конгруэнтный», «параллельный» и т. п. Когда логическая система включается в состав более обширной формализованной системы, в которой наряду с логическими терминами и предикатами встречаются математические, пусть даже неявно, то это не приводит к поглощению математики логикой.

Формализованная аксиоматическая теория математики, как и любой другой науки, обязательно содержит индивидуальные термины и предикаты специальной теории. Без них не было бы смысла говорить о применении логики к другим наукам. Не случайно поэтому при формализации математики говорят о логико-математических системах. «Математика,— резюмирует Д. А. Бочвар,— не выводима из формальной логики, ибо для построения математики необходимы аксиомы, устанавливающие определенные факты области объектов и прежде всего — существование в последней определенных объектов. Но такие аксиомы обладают уже внелогической природой».

Все вышесказанное, на наш взгляд, достаточно убедительно показывает, что о приоритете логики над математикой нельзя говорить не только в генетическом отношении, т. е. в смысле исторического возникновения этих наук, но и в смысле обоснования математики всецело и исключительно с помощью понятий и принципов логики. Можно поэтому присоединиться к мнению американского философа Г. Мельберга, который считает, что между математическими и логическими понятиями существует симметрическое отношение, которое не может привести к установлению ассимметрического отношения приоритета логики над математикой ". В связи с этим он выдвигает взамен радикального и умеренного логицизма логицизм плюралистический.

Такой логицизм в сущности весьма далек от тех амбициозных программ, которые пытались осуществить основатели этого направления обоснования математики. Пожалуй, в нем сформулированы те рациональные идеи, которые остаются в результате критического анализа логицистической программы. Мельберг называет его плюралистическим потому, что он не дает никакой монополии какой-либо частной системе логики, будь то классическая двухзначная логика, или логика конструктивная, или какая-либо иная неклассическая логика.

Плюралистический логицизм особо подчеркивает роль логических законов при доказательстве теорем в аксиоматических системах математики. «Особенность математического познания, которую выделяет плюралистический логицизм,— пишет Мельберг,— состоит в том, что он подчеркивает, что для каждой математической теории существует некоторая логика, способная обеспечить необходимые средства дедукции всех существенных теорем этой теории, без обращения к какой-либо экстралогической интуиции». Тот факт, что логика играет решающую роль в развертывании математической теории, по его мнению, служит основанием для того, чтобы рассматривать эту концепцию как версию логицизма.

4. Заключение.

Анализируя работы Зенона, Пифагора, Платона, Канта, Рассела и других, можно сделать вывод о том, какой большой вклад внесла математика в философию. Мыслители не просто оперировали с числами, они пытались дать объяснение всей структуры мироздания с помощью числа как первоначала. Они уделяли много внимания числовой символике. Многие философы ассоциировали числа с различными понятиями мира. Поэтому благодаря пониманию числовых отношений приходили к разгадке мироздания.

Об одностороннем влиянии математики на логику говорить трудно, это спорный вопрос. На протяжении многих веков шли споры об этом.

6.   Литература.

1.   Гайденко П. История новоевропейской философии в ее связи с наукой.

2.   Гайденко П. История греческой философии в ее связи с наукой.

3.   Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики.

4.   Ивин А.А. Логика.

5.   Рассел Б. Логический атомизм.