Модель прогнозирования параметров финансовых рынков и оптимального управления инвестиционными портфелями

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ.

Выполнил:

Проверил:

г.Пермь 2000.

Построение математической модели прогнозирования поведения является трудной задачей в связи с сильным влиянием политических и других проблем (выборы, природные катаклизмы, спекуляции крупных участников рынка…).

В основе модели лежит анализ некоторых критериев с последующим выводом о поведении доходности и ценовых показателей. В набор критериев входят различные макро- и микроэкономические показатели, информация с торговых площадок, экспертные оценки специалистов. Процедура прогнозирования состоит из этапов:

1.    Подготовка и предварительная фильтрация данных;

2.    Аппроксимация искомой зависимости линейной функцией;

3.    Моделирование погрешности с помощью линейной сети.

Но для повышения точности модели практикуется нелинейный анализ с использованием многослойной однородной нейронной сети. Этапы проведения нелинейного анализа в системе совпадают со стандартными шагами при работе с нейросетями.

1-й этап. Подготовка выходных данных.

Выходными данными являются z_i = y_i-p_i, где y_i - реальное значение прогнозируемой величины на некоторую дату, p_i - рассчитанное на эту дату с помощью линейного анализа.

2-й этап. Нормирование входных сигналов.

(1)

где x_i^j - j-я координата некоторого критерия X_i, M[X_i] - выборочная оценка среднего квадратичного отклонения.

3-й этап. Выбор функции активации и архитектуры нейронной сети.

Используются функции активации стандартного вида (сигмоидная, ступенчатая), а также следующего вида:

(2)

(3)

(4)

(5)

Архитектура нейронной сети представлена на рисунке:

	S1		f1

вектор

входных

S

сигналов вектор

выходн.

f1

Sm

Вектор сигналов

входных

сигналов

Введены следующие обозначения: S_j - линейные сумматоры; f_j - нелинейные функции; используемые для аппроксимации; S - итоговый сумматор.

4-й этап. Выбор алгоритма обучения нейронной сети, основанного на одном из следующих методов: обратного распространения ошибки, градиентного спуска, метода сопряженных градиентов, методе Ньютона, квазиньютоновском. Методы оцениваются по времени, затрачиваемому на обучение и по величине погрешности.

5-й этап. Итоговые вычисления границ прогнозируемого значения:

P=P_лин+Р_нелин±Е_нелин

где Р — итоговое прогнозируемое значение, Р_лин и Р_нелин значение линейного и нелинейного анализов. Е_нелин — погрешность полученная на этапе нелинейного анализа.

Результаты задачи прогнозирования используются в построенной на ее основе задаче оптимального управления инвестиционным портфелем. В основе разработанной задачи управления идея минимизации трансакционных издержек по переводу портфеля в класс оптимальных.

Используемый поход основан на предположениях, что эффективность инвестирования в некий набор активов является реализацией многомерной случайной величины, математическое ожидание которой характеризует доходность (m={m_i}_i=1..n, где m_i=M[R_i], i=1..n), матрица ковариаций — риск (V=(V_ij), i,j=1..n, где V_ij=M[(R_i-m_i)(R_j-m_j)],i,j=1..n). Описанные параметры (m,V) представляют собой оценку рынка и являются либо прогнозируемой величиной, либо задаются экспертно. Каждому вектору Х, описывающему относительное распределение средств в портфеле, можно поставить в соответствие пару оценок: m_x=(m,x), V_x=(Vx,x). Величина m_x представляет собой средневзвешенную доходность портфеля, распределение средств в котором описывается вектором Х величина Vх (вариация портфеля [3,5]) является количественной характеристикой риска портфеля х. Введем в рассмотрение оператор Q, действующий из пространства Rⁿ в пространство R² (критериальная плоскость [3]), который ставит в соответствие вектору х пару чисел (m_x, V_x):

Q: Rn-R2 Û "xÌRⁿ, x®((m,x),(Vx,x)). (7)

В задаче управления допустимыми считаются только стандартные портфели, т.е. так называемые портфели без коротких позиций. Правда это накладывает на вектор х два ограничения: нормирующее условие (е,х)=1, где е – единичный вектор размерности n, и условие неотрицательности доли в портфеле, х>=0. Точки удовлетворяющие этим условиям образуют dв пространствеRⁿ так называемый стандартный (n-1)-мерный симплекс. Обозначим его D.

D={xÌRⁿ½(e,x)=1, x³0}

Образом симплекса в критериальной плоскости будет являться замкнутое ограниченное множество оценок допустимых портфелей. Нижняя граница этого множества представляет собой выпуклую вниз кривую, которая характеризует Парето – эффективный с точки зрения критериев выбор инвестора (эффективная граница [3], [5]). Прообразом эффективной границы в пространстве Rⁿ будет эффективное множество портфелей [5]. Обозначим его как y. Данное множество является выпуклым: линейная комбинация эффективных портфелей также представляет собой эффективный портфель [3].

Пусть в некоторый момент времени у нас имеется портфель, распределение средств в котором описывается вектором х. Тогда задачу управления можно сформулировать в следующем виде: найти такой элемент y, принадлежащий y, что r(y,x). Иными словами, для заданной точки х требуется найти ближайший элемент y, принадлежащий множеству Y. В пространстве Rⁿ справедлива теорема, доказывающая существование и единственность элемента наилучшего приближения х элементами множества Y[6]. Метрика (понятие расстояния) может быть введена следующим образом:

r(x,y)=aS_i=1,nsup(y_i-x_i,0)+bS_i=1..nsup(x_i-y_i,0), (9)

где a>0 — относительная величина издержек при покупке, b>0 — относительная величина издержек при продаже актива.

Литература

1.    Сборник статей к 30-ти летию кафедры ЭК. ПГУ.

2.    Ивлиев СВ Модель прогнозирования рынка ценных бумаг. 6-я Всероссийская студенческая конференция «Актуальные проблемы экономики России»: Сб.тез.докл. Воронеж, 2000.

3.    Ивлиев СВ Модель оптимального управления портфелем ценных бумаг. Там же.