Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства

Государственный комитет по высшей школе

Московский Государственный Институт Электроники и Математики

(Технический Университет)

РЕФЕРАТ НА ТЕМУ

РАЗВИТИЕ И ВЗАИМНОЕ ВЛИЯНИЕ
МАТЕМАТИКИ, ФИЛОСОФИИ
И
ИСКУССТВА

Кафедра культорологии.

Студент: Ференец Дмитрий Александрович

Группа: АП-41

Преподаватель: Терехов Анатолий Сергеевич

Москва, 1995

Вопрос о взаимосвязи математики, философии и искусства впервые был задан довольно давно. Аристотель, Бэкон, Леонардо да Винчи - многие вели­кие умы человечества занимались этим вопросом и достигали выдающихся результатов. Это не удивительно: ведь основу взаимодействия филосо­фии с какой-либо из наук составляет потребность использования аппа­рата философии для проведения исследований в данной области; матема­тика же, несомненно, более всего среди точных наук поддается фило­софскому анализу (в силу своей абстрактности). Наряду с этим прог­рессирующая математизация науки оказывает активное воздействие на философское мышление. Искусство же, во все времена служившее человечеству как путь нравственного, эмоционального мироощущения и миропонимания, конечно же, оказывало и продолжает оказывать на развитие научной мысли самое непосредственное влияние. Вспомним, к примеру, того же великого художника и ученого - Леонардо да Винчи.

Совместный путь математики и философии начался в Древней Гре­ции около VI века до н.э. Не стесненное рамками деспотизма, гречес­кое общество той поры было подобно питательному раствору, на котором выросло многое, что дошло до нас в сильно измененном временем виде, однако сохранив основную, заложенную греками идею: театр, поэзия, драматургия, математика, философия.

В этой работе я попытался прос­ледить за процессом формирования, развития и взаимного влияния мате­матики, философии и искусства в истории человечества, а также привести различные точки зрения на движущие силы и результаты этого процесса. В то же время, не пытаясь объять необъятное, мне показалось интересным рассмотреть лишь “корни” и “вершины”: зарождение естественно-филосовского мышления в Древней Греции и эстетические и общефилосовские вопросы, возникающие на переднем крае развития математики - теории фракталов и фрактальной геометрии.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ..

ИСТОКИ

Глава 1

ЗАРОЖДЕНИЕ МАТЕМАТИКИ

Известно, что греческая цивилизация на начальном этапе своего развития отталкивалось от цивилизации древнего Востока. Каково же было математическое наследство, полученное греками?

Из дошедших до нас математических документов можно заключить, что в Древнем Египте были сильно отрасли математики, связанные с ре­шением экономических задач. Папирус Райнда (ок. 2000 г. до н.э.) на­чинался с обещания научить “совершенному и основательному исследова­нию всех вещей, пониманию их сущностей, познанию всех тайн”. Факти­чески излагается искусство вычисления с целыми числами и дробями, в которое посвящались государственные чиновники для того, чтобы уметь решать широкий круг практических задач, таких, как распределение за­работной платы между известным числом рабочих, вычисление количества зерна для приготовления такого-то количества хлеба, вычисление по­верхностей и объемов и т.д. Дальше уравнений первой степени и прос­тейших квадратных уравнений египтяне, по-видимому, не пошли. Все со­держание известной нам египетской математики убедительно свидетель­ствует, что математические знания египтян предназначались для удов­летворения конкретных потребностей материального производства и не могли сколько-нибудь серьезно быть связанными с философией.

Математика Вавилона, как и египетская, была вызвана к жизни потребностями производственной деятельности, поскольку решались за­дачи, связанные с нуждами орошения, строительства, хозяйственного учета, отношениями собственности, исчислением времени. Сохранившиеся документы показывают, что, основываясь на 60-ричной системе счисле­ния, вавилоняне могли выполнять четыре арифметических действия, име­лись таблицы квадратных корней, кубов и кубических корней, сумм квадратов и кубов, степеней данного числа, были известны правила суммирования прогрессий. Замечательные результаты были получены в области числовой алгебры. Хотя вавилоняне и не знали алгебраической символики, но решение задач проводилось по плану, задачи сводились к единому “нормальному” виду и затем решались по общим правилам, при­чем истолкование преобразований “уравнения” не связывалось с конк­ретной природой исходных данных. Встречались задачи, сводящиеся к решению уравнений третьей степени и особых видов уравнений четвер­той, пятой и шестой степени.

Если же сравнивать математические науки Египта и Вавилона по способу мышления, то нетрудно будет установить их общность по таким характеристикам, как авторитарность, некритичность, следование за традицией, крайне медленная эволюция знаний. Эти же черты обнаружи­ваются и в философии, мифологии, религии Востока. Как писал по этому поводу Э.Кольман, “в этом месте, где воля деспота считалась законом, не было места для мышления, доискивающегося до причин и обоснований явлений, ни тем более для свободного обсуждения”.

Анализ древнегреческой математики и философии следует начать с милетской математической школы, заложившей основы математики как до­казательной науки.

Глава 2

МИЛЕТСКАЯ ШКОЛА

Милетская школа - одна из первых древнегреческих математических школ, оказавшая существенное влияние на развитие философских предс­тавлений того времени. Она существовала в Ионии в конце V - IV вв. до н.э.; основными деятелями ее являлись Фалес (ок. 624-547 гг. до н.э.), Анаксимандр (ок. 610-546 гг. до н.э.) и Анаксимен (ок. 585-525 гг. до н.э.). Рассмотрим на примере милетской школы основные отличия греческой науки от догреческой и проанализируем их.

Если сопоставить исходные математические знания греков с дости­жениями египтян и вавилонян, то вряд ли можно сомневаться в том, что такие элементарные положения, как равенство углов у основания равно­бедренного треугольника, открытие которого приписывают Фалесу Ми­летскому, не были известны древней математике. Тем не менее, гречес­кая математика уже в исходном своем пункте имела качественное отли­чие от своих предшественников.

Ее своеобразие заключается прежде всего в попытке систематичес­ки использовать идею доказательства. Фалес стремится доказать то, что эмпирически было получено и без должного обоснования использова­лось в египетской и вавилонской математике. Возможно, в период наи­более интенсивного развития духовной жизни Вавилона и Египта, в пе­риод формирования основ их знаний изложение тех или иных математи­ческих положений сопровождалось обоснованием в той или иной форме. Однако, как пишет Ван дер Варден, “во времена Фалеса египетская и вавилонская математика давно уже были мертвыми знаниями. Можно было показать Фалесу, как надо вычислять, но уже неизвестен был ход рас­суждений, лежащих в основе этих правил”.

Греки вводят процесс обоснования как необходимый компонент ма­тематической действительности, доказательность действительно являет­ся отличительной чертой их математики. Техникой доказательства ран­ней греческой математики как в геометрии, так и в арифметике перво­начально являлась простая попытка придания наглядности. Конкретными разновидностями такого доказательства в арифметике было доказатель­ство при помощи камешков, в геометрии - путем наложения. Но сам факт наличия доказательства говорит о том, что математические знания воспринимаются не догматически, а в процессе размышления. Это, в свою очередь, обнаруживает критический склад ума, уверенность (может быть, не всегда осознанную), что размышлением можно установить пра­вильность или ложность рассматриваемого положения, уверенность в си­ле человеческого разума.

Греки в течении одного-двух столетия сумели овладеть математи­ческим наследием предшественников, накопленного в течении тысячеле­тий, что свидетельствует об интенсивности, динамизме их математичес­кого познания. Качественное отличие исследований Фалеса и его после­дователей от догреческой математики проявляется не столько в конк­ретном содержании исследованной зависимости, сколько в новом способе математического мышления. Исходный материал греки взяли у предшест­венников, но способ усвоения и использования этого материала был но­вый. Отличительными особенностями их математического познания явля­ются рационализм, критицизм, динамизм.

Эти же черты характерны и для философских исследований милетс­кой школы. Философская концепция и совокупность математических поло­жений формируется посредством однородного по своим общим характерис­тикам мыслительного процесса, качественно отличного от мышления предшествующей эпохи. Как же сформировался этот новый способ воспри­ятия действительности? Откуда берет свое начало стремление к научно­му знанию?

Ряд исследователей объявляет отмеченные выше характеристики мыслительного процесса “врожденными особенностями греческого духа”. Однако эта ссылка ничего не объясняет, так как непонятно, почему тот же “греческий дух” по прошествии эпохи эллинизма теряет свои качест­ва. Можно попробовать поискать причины такого миропонимания в соци­ально-экономической сфере.

Иония, где проходила деятельность милетской школы, была доста­точно развитой в экономическом отношении областью. Поэтому именно она прежде прочих вступила на путь низвержения первобытно-общинного строя и формирования рабовладельческих отношений. В VIII-VI вв. до н.э. земля все больше сосредотачивалась в руках крупной родовой зна­ти. Развитие ремесленного производства и торговли еще в большей мере ускоряло процесс социально-имущественного расслоения. Отношения меж­ду аристократией и демосом становятся напряженными; со временем эта напряженность перерастает в открытую борьбу за власть. Калейдоскоп событий во внутренней жизни, не менее изменчивая внешняя обстановка формируют динамизм, живость общественной мысли.

Напряженность в политической и экономической сферах приводит к столкновениям в области религии, поскольку демос , еще не сомневаясь в том, что религиозные и светские установления вечны, так как даны богами, требует, чтобы они были записаны и стали общедоступными, ибо правители искажают божественную волю и толкуют ее по-своему. Однако нетрудно понять, что систематическое изложение религиозных и мифоло­гических представлений (попытка такого изложения была дана Гесиодом) не могло не нанести серьезного удара религии. При проверке религиоз­ных измышлений логикой первые, несомненно, показались бы конгломера­том нелепостей.

“Таким образом, материалистическое мировоззрение Фалеса и его последователей не является каким-то загадочным, не от мира сего по­рождением “греческого духа”. Оно является продуктом вполне опреде­ленных социально-экономических условий и выражает интересы истори­чески-конкретных социальных сил, прежде всего торгово-ремесленных слоев общества” - пишет О.И.Кедровский.

На основании всего вышеперечисленного еще нельзя с большой уве­ренностью утверждать, что именно воздействие мировоззрения явилось решающим фактором для возникновения доказательства; не исключено ведь, что это произошло в силу других причин: потребностей произ­водства, запросов элементов естествознания, субъективных побуждений исследователей. Однако можно убедиться, что каждая из этих причин не изменила принципиально своего характера по сравнению с догреческой эпохой непосредственно не приводит к превращению математики в дока­зательную науку. Например, для удовлетворения потребностей техники было вполне достаточно практической науки древнего Востока, в спра­ведливости положений которой можно было убедиться эмпирически. Сам процесс выявления этих положений показал, что они дают достаточную для практических нужд точность.

Можно считать одним из побудительных мотивов возникновения до­казательства необходимость осмысления и обобщения результатов пред­шественников. Однако и этому фактору не принадлежит решающая роль, так как, например, существуют теории, воспринимаемые нами как оче­видные, но получившие строгое обоснование в античной математике (например, теория делимости на 2).

Появление потребности доказательства в греческой математике по­лучает удовлетворительное объяснение, если учесть взаимодействие ми­ровоззрения на развитие математики. В этом отношении греки сущест­венно отличаются от своих предшественников. В их философских и мате­матических исследованиях проявляются вера в силу человеческого разу­ма, критическое отношение к достижениям предшественников, динамизм мышления. У греков влияние мировоззрения превратилось из сдерживаю­щего фактора математического познания в стимулирующий, в действенную силу прогресса математики.

В том, что обоснование приняло именно форму доказательства, а не остановилось на эмпирической проверке, решающим является появле­ние новой, мировоззренческой функции науки. Фалес и его последовате­ли воспринимают математические достижения предшественников прежде всего для удовлетворения технических потребностей, но наука для них - нечто большее, чем аппарат для решения производственных задач. От­дельные, наиболее абстрактные элементы математики вплетаются в на­турфилософскую систему и здесь выполняют роль антипода мифологичес­ким и религиозным верованиям. Эмпирическая подтверждаемость для эле­ментов философской системы была недостаточной в силу общности их ха­рактера и скудности подтверждающих их фактов. Математические знания же к тому времени достигли такого уровня развития, что между отдель­ными положениями можно было установить логические связи. Такая форма обоснований оказалась объективно приемлемой для математических поло­жений.

Глава 3

ПИФАГОРЕЙСКАЯ ШКОЛА

На основании данного выше исследования милетской школы можно лишь убедиться в активном влиянии мировоззрения на процесс математи­ческого познания только при радикальном изменении социально-экономи­ческих условий жизни общества. Однако остаются открытыми вопросы о том, влияет ли изменение философской основы жизни общества на разви­тие математики, зависит ли математическое познание от изменения иде­ологической направленности мировоззрения, имеет ли место обратное воздействие математических знаний на философские идеи. Можно попы­таться ответить на поставленные вопросы, обратившись к деятельности пифагорейской школы.

Пифагореизм как направление духовной жизни существовал на про­тяжении всей истории Древней Греции, начиная с VI века до н. э. и прошел в своем развитии ряд этапов. Вопрос о их временной длитель­ности сложен и до сих пор не решен однозначно. Основоположником шко­лы был Пифагор Самосский (ок. 580-500 до н.э.). Ни одна строка, на­писанная Пифагором, не сохранилась; вообще неизвестно, прибегал ли он к письменной передаче своих мыслей. Что было сделано самим Пифаго­ром, а что его учениками, установить очень трудно. Свидетельства о нем древнегреческих авторов противоречивы; в какой-то мере различные оценки его деятельности отражают многообразие его учения.

В пифагореизме выделяют две составляющие: практическую (“пифа­горейский образ жизни”) и теоретическую (определенная совокупность учений). В религиозном учении пифагорейцев наиболее важной считалась обрядовая сторона, затем имелось в виду создать определенное душев­ное состояние и лишь потом по значимости шли верования, в трактовке которых допускались разные варианты. По сравнению с другими религи­озными течениями у пифагорейцев были специфические представления о природе и судьбе души. Душа - существо божественное, она заключена в тело в наказание за прегрешения. высшая цель жизни - освободить душу из телесной темницы, не допустить в другое тело, которое якобы со­вершается после смерти. Путем для достижения этой цели является вы­полнение определенного морального кодекса, “пифагорейский образ жиз­ни”. В многочисленной системе предписаний, регламентировавших почти каждый шаг жизни, видное место отводилось занятиям музыкой и научны­ми исследованиями.

Теоретическая сторона пифагореизма тесно связана с практи­ческой. В теоретических изысканиях пифагорейцы видели лучшее средство освобождения души из круга рождений, а их результаты стре­мились использовать для рационального обоснования предполагаемой доктрины. Вероятно, в деятельности Пифагора и его ближайших учеников научные положения были перемешаны с мистикой, религиозными и мифоло­гическими представлениями. Вся эта “мудрость” излагалась в качестве изречений оракула, которым придавался скрытый смысл божественного откровения.

Основными объектами научного познания у пифагорейцев были мате­матические объекты, в первую очередь числа натурального ряда (вспом­ним знаменитое “Число есть сущность всех вещей”). Видное место отво­дилось изучению связей между четными и нечетными числами. В области геометрических знаний внимание акцентируется на наиболее абстрактных зависимостях. Пифагорейцами была построена значительная часть плани­метрии прямоугольных фигур; высшим достижением в этом направлении было доказательство теоремы Пифагора, частные случаи которой за 1200 лет до этого приводятся в клинописных текстах вавилонян. Греки дока­зывают ее общим образом. Некоторые источники приписывают пифагорей­цам даже такие выдающиеся результаты, как построение пяти правильных многогранников.

Числа у пифагорейцев выступают основополагающими универсальными объектами, к которым предполагалось свести не только математические построения, но и все многообразие действительности. Физические, эти­ческие, социальные и религиозные понятия получили математическую ок­раску. Науке о числах и других математических объектах отводится ос­новополагающее место в системе мировоззрения, то есть фактически ма­тематика объявляется философией. Как писал Аристотель, “...у чисел они усматривали, казалось бы, много сходных черт с тем, что сущест­вует и происходит, - больше, чем у огня, земли и воды... У них, по-видимому, число принимается за начало и в качестве материи для вещей, и в качестве выражения для их состояний и свойств... Напри­мер, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то - душа и ум, другое - удача, и можно сказать - в каждом из остальных случа­ев точно также. “

Если сравнивать математические исследования ранней пифагорейс­кой и милетской школ, то можно выявить ряд существенных различий. Так, математические объекты рассматривались пифагорейцами как перво­сущность мира, то есть радикально изменилось само понимание природы математических объектов. Кроме того, математика превращена пифаго­рейцами в составляющую религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И наконец, пифагорейцы ограничивают область математичес­ких объектов наиболее абстрактными типами элементов и сознательно игнорируют приложения математики для решения производственных задач. Но чем же обусловлены такие глобальные расхождения в понимании при­роды математических объектов у школ, существовавших практически в одно и то же время и черпавших свою мудрость, по-видимому, из одного и того же источника - культуры Востока? Впрочем, Пифагор, скорее всего, пользовался достижениями милетской школы, так как у него, как и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки умственной деятельнос­ти, отличающиеся от догреческой эпохи; однако математическая дея­тельность этих школ носила существенно различный характер.

Аристотель был одним из первых, кто попытался объяснить причины появления пифагорейской концепции математики. Он видел их в пределах самой математики: “Так называемые пифагорейцы, занявшись математи­ческими науками, впервые двинули их вперед и, воспитавшись на них, стали считать их началами всех вещей.” Подобна точка зрения не лише­на основания хотя бы в силу применимости математических положений для выражения отношений между различными явлениями. На этом основа­нии можно, неправомерно расширив данный момент математического поз­нания, прийти к утверждению о выразимости всего сущего с помощью ма­тематических зависимостей, а если считать числовые отношения универ­сальными, то “число есть сущность всех вещей”. Кроме того, ко време­ни деятельности пифагорейцев математика прошла длинный путь истори­ческого развития; процесс формирования ее основных положений терялся во мраке веков. Таким образом, появлялось искушение пренебречь им и объявить математические объекты чем-то первичным по отношению к су­ществующему миру. Именно так и поступили пифагорейцы.

В советской философской науке проблема появления пифагорейской концепции математики рассматривалась, естественно, с позиций марксистско-ленинской философии. Так, О.И.Кедровский пишет: “...Вы­работанная им (Пифагором) концепция объективно оказалась идеологией вполне определенных социальных слоев общества. Это были ...предста­вители аристократии, теснимые демосом... Для них характерно стремле­ние уйти от тягот земной жизни, обращение к религии и мистике”. Эта точка зрения, как и первая, не лишена смысла; истина же, вероятно, находится где-то посередине. Однако, на мой взгляд, крах пифагорейс­кого учения следует связывать в первую очередь не с вырождением аристократии как класса, а с попыткой пифагорейцев извратить саму природу процесса математического познания, лишив математику таких важных источников прогресса, как приложения к производству, открытое обсуждение результатов исследований, коллективное творчество, удер­жать прогресс математики в рамках рафинированного учения для посвя­щенных. Кстати, сами пифагорейцы подорвали свой основополагающий принцип “число есть сущность всех вещей”, открыв, что отношение диа­гонали и стороны квадрата не выражается посредством целых чисел.

Таким образом, уже в исходном пункте своего развития теоретическая математика была подвержена влиянию борьбы двух типов миро­воззрения - материалистического и религиозно-идеалистического. Мы же убедились, что наряду с влиянием мировоззрения на развитие математи­ческого познания имеет место и обратное воздействие.

Глава 4

ЭЛЕЙСКАЯ ШКОЛА

Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это одна из древнейших школ, в трудах которой математика и философия до­статочно тесно и разносторонне взаимодействуют. Основными представи­телями элейской школы считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и Зенона (первая половина V в. до н.э.).

Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные сис­темы миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1)Есть толь­ко бытие, небытия нет; 2)Существует не только бытие, но и небытие; 3)Бытие и небытие тождественны. Истинной Парменид признает только первую посылку. Согласно ему, бытие едино, неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено в себе, только оно истинно сущее; множествен­ность, изменчивость, прерывность, текучесть - все это удел мнимого.

С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик Зенон. Древние приписывали ему сорок доказательств для защиты учения о единстве сущего (против множественности вещей) и пять доказатель­ств его неподвижности (против движения). Из них до нас дошло всего девять. Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы доказательства против движения; например, “движения не существует на том основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до поло­вины, чем до конца, а чтобы дойти до половины, нужно пройти половину этой половины и т.д.”.

Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения “здравого смысла”, выводам, но их нельзя было просто отбросить как несостоятельные, поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли математическим стандартам той поры. Разложив апории Зенона на сос­тавные части и двигаясь от заключений к посылкам, можно реконструи­ровать исходные положения, которые он взял за основу своей концеп­ции. Важно отметить, что в концепции элеатов, как и в дозеноновской науке фундаментальные философские представления существенно опира­лись на математические принципы. Видное место среди них занимали следующие аксиомы:

Похожие работы

Взаимосвязь математики и философии

Скачать

51186

0

0

... на развитие математи- ческого познания имеет место и обратное воздействие. ЭЛЕЙСКАЯ ШКОЛА Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это одна из древнейших школ, в трудах которой математика и философия до- статочно тесно и разносторонне взаимодействуют. Основными представи- телями элейской школы считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и Зенона (первая половина V в. до н.э.). ...

Кандидатский по философии

Скачать

876227

1

2

... Замечат. С.: Полемон, Герод Аттик, Аристид, Либаний. Ср. Schmid, "Der Atticismus in seinen Hauptvertretern" (1887-97). 17. Принцип детерминизма в философии. Индетерминизм. Детерминизм (от лат. determino - определяю), философское учение об объективной закономерной взаимосвязи и взаимообусловленности явлений материального и ...

Философия и методология науки

Скачать

766403

1

0

... философии - особенно с методо­логических позиций материалистического понимания исто­рии и материалистической диалектики с учетом социокультурной обусловленности этого процесса. Однако в западной философии и методологии науки XX в. фактически - особенно в годы «триумфального шествия» ло­гического позитивизма (а у него действительно были немалые успехи) - научное знание исследовалось без учета его ...

Ответы на вопросы госэкзамена по философии философского факультета СПбГУ

Скачать

670947

1

0

... все содержание посылок, поскольку оно необходимо для вывода, имеет нечувственный характер. (аксиомы, постулаты). VI. Интуитивизм, индивидуалистический эмпиризм и априоризм критической философии в их отношении к теории элементарных методов знания. Три ответа на вопрос о происхождении общих суждений: 1) Путем прямых методов (прямой индукции) = интуитивизм. 2) Общих суждений нет Только иллюзия. ( ...