Математическая постановка задачи

3.1. Математическая постановка задачи.

Рассмотрим и сформулируем в математической форме условие транспортной задачи. Потребителям Б₁, Б₂, ...., Б_j, ...., Б_n требуется груз в количествах b₁, b₂, ....., b_j, ....., b_n (т) единиц, который имеется или производится у поставщиков A₁, A₂, ......, A_i, ......, A_m в количествах a₁, a₂, ......., a_i, ......, a_m (т) единиц соответственно. Обозначим через q_ij объём перевозок из i-ого пункта отправления в j-ый пункт назначения. Объём перевозок известен для всех пунктов ( задана заявка на перевозки грузов, см. таблицу 1.). Расстояние между поставщиками и потребителями известно (см. таблицу 2.) и составляет l_ij (км). В процессе выполнения перевозок в пунктах назначения Б₁, Б₂, ...., Б_j, ...., Б_nпосле разгрузки автомобилей будет образовываться порожняк в количествах b`<sub>1</sub>, b`₂, ....., b`<sub>j</sub>, ....., b`_n который надо направить в пункты A₁, A₂, ......, A_i, ......, A_m в количествах a`<sub>1</sub>,a`₂,…a`<sub>j</sub>,….a`_m.

С методической точки для решения задачи удобней пользоваться понятием “ездка”. Поэтому за единицу измерения будет приниматься ездка автомобиля с грузом и без него.

В задаче будет выполняться условие:

_mn

b`<sub>j</sub> = b<sub>j</sub> = q<sub>ij</sub> , где j=1,2,......,n и a`_i = a_i = q_ij , где i=1,2,......,m ,

^{1 1}

Дополнительным условием задачи является требование, чтобы за рабочую смену автомобиль направлялся не более, чем в четыре разных пункта отправления и в такое же количество пунктов назначения. Практически это означает, что при сменном задании с большим числом ездок необходимо составить кольцевой маршрут так, чтобы по нему можно было сделать несколько оборотов. Необходим план перевозок который обеспечит выполнение заданных объёмов с наименьшим холостым пробегом автомобиля.

Математическая запись задачи.

Обозначим через X_ij количество порожняка (в автомобиле - ездках) предназначенного к отправке из пункта разгрузки Б_j в пункт погрузки A_i , тогда суммарный холостой пробег автомобиля из всех пунктов с наличием порожняка во все пункты его подачи будет иметь вид:

_{n m}

 X_ij* l_ij а min. { 1 }

^{j=1 i=1}

Условие полного удовлетворения спроса на порожняк каждого пункта отправления за счёт подачи его из разных пунктов с наличием порожняка выглядит так:

_n

X_ij = a`_i , где i= 1,2,...,m. { 2 }

^j=1

Весь порожняк из каждого пункта назначения должен быть подан в пункт отправления под погрузку, т.е. :

_m

X_ij =b`_j , где j= 1,2,...,n. { 3 }

ⁱ⁼¹

Очевидно, что количество автомобилей не может быть отрицательным числом, т.е. X_ij > 0, при i= 1,2,...,m, j= 1,2,...,n. { 4 }

Таким образом, в математической форме транспортная задача формулируется так:

Определить значение переменных X_ijминимизирующих линейную форму, выраженную {1}, при ограничениях, указанных в {2},{3},{4}. Необходимо равенство общей потребности получателей и наличия груза у поставщиков или отправителей:

_{m n}

b`<sub>j</sub>= а`_j { 5 }

^{i=1 j=1}

Это равенство является необходимым и достаточным условием для совместимости уравнений {2},{3}.

Цель решения выражается уравнением {1}: найти минимальный суммарный холостой пробег автомобилей. Задачу, выраженную формулами {1—5} принято называть задачей минимизации холостых пробегов автомобилей.

Метод совмещённых планов.

Для решения задачи разработан метод совмещённых планов. С его помощью она решается в три этапа.

На первом этапе решают задачу минимизации холостых пробегов автомобилей, в результате чего находят оптимальный план возврата порожняка под погрузку после разгрузки. Составление оптимального плана отражено в блок-схеме алгоритма метода потенциалов на рисунке 1.

На втором этапе из грузопотока ( линий перевозок ) заданных заявкой на перевозки и линий оптимального плана возврата порожняка, найденного на первом этапе, составляют схему кольцевых и маятниковых маршрутов движения автомобилей, в совокупности обеспечивающих минимум холостых пробегов автомобилей при выполнении заданных перевозок.

На третьем этапе найденные маршруты прикрепляют к АТП (автотранспортному предприятию), после чего разрабатывают сменно-суточные задания водителям по каждому маршруту.

Составление матрицы условий

Составление допустимого исходного плана

Подсчёт числа занятых клеток в матрице (N) и сравнение с (m+n-1)

N>m+n-1 N0 { 8 } и U_i + V_j =l_ij , для X_ij=0 . { 9 }

Для определения индексов используются следующие правила:

а) индексы U_i записываются во вспомогательный столбец ;

б) индексы V_j записываются во вспомогательную строку;

в) индексы правой клетки вспомогательного столбца принимаются за нуль: U₁=0.

Тогда из уравнения {6} можно выразить U_i и V_j .

Далее, рассчитаем индексы для таблицы 7 допустимого исходного плана по этим правилам.

ТАБЛИЦА 7. Допустимый исходный план ( предварительный вариант).

		Пункт назначения (образов. порожняка)
Пункт назначения	Вспом. Индек.		Б1	Б2	Б3	Б4	Б5	Б6	Б7	Б8	Потребность в перевозках
	Ui \ Vi		5	-3	9	9	-3	-1	14	15
А1	0		425	1	72	81	4	2	1814	1815		78
А2	16		516	1813	817	619	310	114	723	+ 328		18
А3	14		127	47	149	1310	1811	49	1216	1019		18
А4	6		16	7	815	1215	13	5	155	129		20
А5	4		249	01	1213	67	01	12	419	18		36
А6	11		313	17	515	313	128	1210	322	224		24
Наличие порожняка			66	18	20	12	30	12	18	18	194/194

V₁= A₁Б₁ – U₁ = 5-0= 5; V₇ = A₁Б₇ – U₁ = 14-0=14; V₈ = A₁Б₈ – U₁= 15-0 =15

……………………….. ………………………….. …………………………

U₅= A₅Б₁ – V₁ = 9-5= 4; V₃ = A₅Б₃ – U₅ = 13-4= 9; U₄= A₄Б₃ – V₃ = 15-9 =6;

После расчёта индексов проверяем незанятые клетки на потенциальность.

п.4.2.3. Определение потенциальных клеток. Незанятые клетки, для которых получилось, что U_i + V_j >l_ij – называются потенциальными. Проверяем незанятые клетки на потенциальность. Проверка сводится к сравнению расстояний каждой незанятой клетки с суммой соответствующих ей индексов.

А₁Б₂ = u₁ + v₂ = 0-3 = -3 < ( l_1-2=1);

А₁Б₃ = u₁ + v₃ = 0+9 = 9 > ( l­_1-3­=7) -- 2 ;

....................................................................;

А₂Б₈ = u₂ + v₈ = 16+15= 31> ( l_2-8=3)-- 28 ;

.....................................................................;

А₆Б₈ = u₆ + v₈ = 11+15= 26> ( l_6-8=2)-- 24 .

По данным вычислений построим таблицу 7.

4.1.5. Оптимизация плана. Проверка допустимого плана на оптимальность заключается в соблюдении условий: {8} и {9}. Если данные условия не соблюдаются для клеток X_ij =0, то значение потенциала отрицательно, что и определяет потенциальную клетку. Следует скорректировать допустимый план. Корректировка плана состоит в перемещении в потенциальную клетку с наименьшим по модулю потенциалом какую-нибудь загрузку. Перемещение производится при условии сохранения количества “+” и “-“ по строке и столбцу. Производя перемещение, следует повторить процесс определения потенциала до тех пор, пока условия {8} и {9} не будут соблюдены. Признаком оптимальности является отсутствие клеток, в которых сумма индексов будет больше расстояний.

Из наличия потенциальных клеток можно сделать вывод, что составленный план не является оптимальным. Выявленные клетки являются резервом улучшения плана, а превышение суммы индексов над расстоянием – потенциалом (в таблице 7 они размещены в нижнем правом углу клетки и выделены другим цветом). Улучшение неоптимального плана сводится к перемещению загрузки в потенциальную клетку матрицы.

Цепочку возможных перемещений определяют: для потенциальной клетки с наибольшим значением потенциала строят замкнутую цепочку из горизонтальных и вертикальных отрезков так, чтобы одна из её вершин находилась в данной клетке, а все остальные вершины в занятых клетках. Знаком “+” отмечают в цепочке её нечётные вершины, считая вершину в клетке с наибольшим потенциалом, а знаком “-“ – чётные вершины. Наименьшая загрузка в вершинах 18 ездок, уменьшая загрузку в вершинах со знаком “-“ и увеличивая её в вершинах со знаком “+” получают улучшенный план. Дальнейшие расчёты по его оптимизации производятся аналогично. Признаком оптимальности является отсутствие клеток, в которых сумма индексов будет больше расстояний.

В результате всех вычислений имеем конечный оптимальный план возврата порожняка в таблице 8.

ТАБЛИЦА 8. Оптимальный план возврата порожняка.

		Пункт назначения (образов. порожняка)
Пункт назначения	Вспом. Индек.		Б1	Б2	Б3	Б4	Б5	Б6	Б7	Б8	Потребность в перевозках
	Ui / Vi		5	-1	7	6	3	-3	6	3
А1	0		665	1	127	8	4	2	14	15		78
А2	0		05	13	8	6	3	1	7	183		18
А3	5		12	184	14	13	11	4	12	10		18
А4	8		16	07	815	15	13	125	15	12		20
А5	-2		9	1	13	6	301	1	64	01		36
А6	-3		3	1	5	123	8	10	123	2		24
Наличие порожняка			66	18	20	12	30	12	18	18	194/194

После составления оптимального плана возврата порожняка произведём проверку клеток на потенциальность. Проверка сводится к сравнению расстояний каждой незанятой клетки с суммой соответствующих ей индексов.

А₁Б₂ = u₁ + v₂ = 0-1 = -1 < ( l_1-2=1); ……; А₂Б₂ = u₂ + v₂ = 0-1 = -1 < ( l_2-2=13);

А₁Б₄ = u₁ + v₄ = 0+6 = 6 < ( l­_1-4­=8); ……; А₂Б₇ = u₂ + v₇ = 0+6 = 6 < ( l_2-7=7);

.........................................................; ……; .…………………………………;

А₃Б₈ = u₃ + v₈ = 5+3 = 8 < ( l_3-8=10); …..; А₄Б₈ = u₄ + v₈ = 8+3 = 11 < ( l_4-8=12);

.........................................................; ….…; .…………………………………..;

А₆Б₁ = u₆ + v₁ = -3+5 = 2 ‡ ( l_6-8=2); ……; А₆Б₈ = u₆ + v₈ = -3+3 = 0 < ( l_6-8=2).

п.4.3. Составление матрицы совмещённых планов. Матрица совмещённых планов составляется после окончания разработки оптимального плана возврата порожняка. В таблицу 9 подставляются груженые ездки из таблицы 5. С целью лучшей наглядности изображения данные выполняются разными цветами.

ТАБЛИЦА 9. Матрица совмещенных планов.

Пункт назначения	Б1	Б2	Б3	Б4	Б5	Б6	Б7	Б8
А1	66 42 5	1	12 7	8	4	2	18 14	18 15
А2	0 5	1813	8	6	3	1	7	18 3
А3	12	184	14	13	18 11	4	12	10
А4	16	07	8 815	12 15	13	125	15	12
А5	24 9	1	12 13	6	301	1	64	01
А6	3	1	5	123	12 8	12 10	123	2

Вспомогательные и итоговые столбцы из матрицы удаляются, т.к. они не требуются для дальнейших расчётов.

Следующим этапом идёт расчёт маятниковых и кольцевых маршрутов. Маятниковые маршруты определяются в таблице 9 клетками с двойной загрузкой и рассчитываются по наименьшей загрузке. Таких клеток в матрице две: маршрут 1: А₁-Б₁-А₁ на 42 оборота и маршрут 2: А₄-Б₄-А₄ на 8 оборотов. После их образования происходит расчёт кольцевых маршрутов.

Кольцевой маршрут из двух звеньев ( две гружёные и две холостые ездки ) составляется путём образования прямоугольника из горизонтальных и вертикальных отрезков таким образом, что его чётные вершины должны лежать в клетках с порожними ездками, а нечётные вершины в клетках с гружёными клетками. Количество оборотов на маршруте определяется наименьшей из загрузок в клетке. В таблице 10 изображёны прямоугольники, обозначающие кольцевые маршруты.

ТАБЛИЦА 10. Таблица образования двухзвенных кольцевых маршрутов.

Пункт назначения	Б1	Б2	Б3	Б4	Б5	Б6	Б7	Б8
А1	24 5	1	12 7	8	4	2	18 14	18 15
А2	5	1813	8	6	3	1	7	18 3
А3	12	184	14	13	18 11	4	12	10
А4	16	7	15	12 15	13	12 5	15	12
А5	24 9	1	12 13	6	30 1	1	6 4	1
А6	3	1	5	12 3	12 8	12 10	12 3	2

Маршрут 3: А₁-Б₇-А₅-Б₁-А₁ на 6 оборотов (наименьшему значению загрузки) и маршрут 4: А₄-Б₆-А₆-Б₄-А₄ на 12 оборотов. Не шедшие на образование маршрута грузовые и порожние ездки исключаются.

Следующим этапом расчётов рассматриваются возможности образования многозвенных маршрутов.

ТАБЛИЦА 11. Таблица образования трёхзвенного маршрута.

Пункт назначения	Б1	Б2	Б3	Б4	Б5	Б6	Б7	Б8
А1	18 5	1	12 7	8	4	2	12 14	18 15
А2	5	1813	8	6	3	1	7	18 3
А3	12	18 4	14	13	18 11	4	12	10
А4	16	7	15	15	13	5	15	12
А5	18 9	1	12 13	6	30 1	1	4	1
А6	3	1	5	3	12 8	10	12 3	2

Маршрут 5: А₁-Б₇-А₆-Б₅-А₅-Б₃-А₁ на 12 оборотов.

ТАБЛИЦА 12. Таблица образования четырёхзвенного маршрута.

Пункт назначения	Б1	Б2	Б3	Б4	Б5	Б6	Б7	Б8
А1	18 5	1	7	8	4	2	14	18 15
А2	5	18 13	8	6	3	1	7	18 3
А3	12	18 4	14	13	18 11	4	12	10
А4	16	7	15	15	13	5	15	12
А5	18 9	1	13	6	18 1	1	4	1
А6	3	1	5	3	8	10	3	2

Маршрут 6: А₁-Б₈-А₂-Б₂-А₃-Б₅-А₅-Б₁-А₁ на 18 оборотов.

Когда все ездки в матрице совмещённых планов задействованы на различных маршрутах, тогда разработка маршрутов прекращается.

§ 5. ПРИКРЕПЛЕНИЕ ОБРАЗОВАННЫХ МАРШРУТОВ К АТП.

После расчётов и образования всех типов маршрутов производится прикрепление полученных маршрутов к автотранспортному предприятию, при этом решаются две основные задачи:

определяется пункт погрузки, с которого следует начинать работу по кольцевым маршрутам;

выбирается автотранспортное предприятие, техника которого будет выполнять данные маршруты.

Рекомендуется выбирать первый пункт погрузки и АПТ на кольцевом маршруте так, чтобы получить наименьший нулевой пробег автомобиля. Критерием правильности выбора первого пункта назначения служит прирост порожнего пробега. Меньший прирост порожнего пробега соответствует наилучшему варианту выполнения маршрута.

Прирост порожнего пробега вычисляется по формуле:

l_{k ij} = l_{k i} + l_jk - l_ji , км , где { 10 }

l _{k i} – расстояние от k-ого АТП до i-ого пункта погрузки;

l _jk – расстояние от j-ого последнего пункта разгрузки до k-ого АТП;

l _ji – расстояние от последнего j-ого пункта разгрузки до i-ого первого пункта погрузки.

Маятниковые маршруты выполняются любым АТП от места погрузки.

Маршрут 1. АТП-А₁-Б₁-А₁-АТП на 42 оборота. Схема указана на рис 2.

_5км А₁ А_{4 15 км} Б₃

Б_{1 2км}

_3км

АТП АТП

Рис.2. Схема маятникового Рис. 3. Схема маятникового марш-

маршрута 1. рута 2.

Маятниковый маршрут 2 АТП-А₄-Б₃-А₄-АТП на 8 оборотов. Схема изображена на рисунке 3.

Произведём расчёт прироста порожнего пробега кольцевых для маршрутов по формуле {10}.

Кольцевой маршрут 3 имеет четыре варианта привязки к АТП:

а) АТП-А₁-Б₇-А₅-Б₁-АТП для него l_{k ij} = 3 + 8 - 5 = 6 (км);

б) АТП-А₁-Б₁-А₅-Б₇-АТП для него l_{k ij} = 3 + 9 - 14 = -2 (км);

в) АТП-А₅-Б₁-А₁-Б₇-АТП для него l_{k ij} = 10 + 9 - 4 = 15 (км);

г) АТП-А₅-Б₇-А₁-Б₁-АТП для него l_{k ij} = 10 + 8 - 9 = 9 (км).

Следовательно, экономичным оказывается вариант б) его и примем за окончательный.

Б₆

А_{1 5 км 5км}

А₄

_3км Б_{1 2км}

АТП _10км

АТП _{9км 11км}

Б₇ Б₄

_4км А_{5 3км} А₆

а) б)

Рисунок 4 . Схема двухзвенного кольцевого маршрута: а) маршрут 3; б) маршрут 4.

Аналогично, для расчёта кольцевого двухзвенного маршрута 4 имеем экономичный вариант привязки АТП по маршруту движения АТП-А₄-Б₆-А₆-Б₄-А₄-АТП, с l_{k ij} = -2 км, схема которого указана на рисунке 4-б.

Для кольцевого трёхзвенного маршрута 5 имеем экономичный маршрут привязки АТП по маршруту движения АТП-А₁-Б₃-А₅-Б₅-А₆-Б₇-АТП сl_{k ij} = -2 км, схема которого изображена на рисунке 5.

Для кольцевого четырёхзвенного маршрута 6 имеем экономичный маршрут привязки АТП по маршруту движения АТП-А₁-Б₁-А₅-Б₅-А₃-Б₂-А₂-Б₈- АТП сl_{k ij} = -3 км, схема которого изображена на рисунке 6.

А₂ ^3км Б₈

_{13км 9км}

А_17км Б₃А_{1 5км} Б₁

^3км

АТП _3км

_9км

_13км Б₂ АТП _9км

Б₇

_4км

А₅ А₅

А₆ ^8км _{1км 1 км}

Б₅ А_{3 11км} Б₅

Рис.5. Схема трёхзвенного кольцевого Рис.6. Схема четырёхзвенного коль-

маршрута 5 . цевого маршрута 6.

§ 6. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ РАСЧЁТ МАРШРУТОВ.

Рассчитаем один маятниковый и один кольцевой маршрут, а расчёты остальных маршрутов сведём в таблицу 13.

Маятниковый маршрут 1 АТП-А₁-Б₁-А₁-АТП.

а) Объём перевозок: Q_m= 189 тонн;

б) Время оборота на маршруте: t_o= (2l_ге / V_т) + t_пв = (2_*5 / 24) + 1,4 = 1,82 (ч);

в) Время на нулевые пробеги: t_н= ( l_н1+ l_н2 - l_x) / V_т= (3 + 8 - 5) / 24 = 0,25 (ч);

г) Время нахождения на маршруте: Т_м = Т_н - t_н = 750 - 15 = 735 (мин);

д) Число оборотов на маршруте: Z_o = T_м / t_o = 735 / 109 = 6,74  6 (оборотов);

е) Пробег автомобиля с грузом: L_гр = l_ге* Z_o = 5 _* 6 = 30 (км);

ж)Пробег порожнего автомобиля: L_пор = l_{ге *} (Z_o - 1) + l_н1 + l_н2= =5_*5+3+8=38(км);

з) Общий пробег автомобиля за смену: L_o= L_гр + L_пор = 30+38 = 68 (км);

и) Коэффициент использования пробега за смену: =L_гр/L_o= 30/68= 0,441;

к) Количество груза, перевозимого одним автомобилем: Q_а = q_*_*Z_o= 5_*0,9_*6=

= 27(тонн);

л) Транспортная работа: Р = Q_{a *} l_ге = 27 _* 5 =135 (т_*км);

м) Число потребных автомобилей для перевозки всего груза: А_м = Q_м / Q_a =

= 189/ 27 = 7 (а/м).

н) Количество не довезенного груза: Q_ост = Q_м - Q_{a *} A_м = 189 - 27 _*7=189-189 = = 0 (тонн), т.е. весь груз будет вывезен.

Кольцевой маршрут 3 АТП-А₁-Б₁-А₅-Б₇-АТП на 6 оборотов.

а) Объём перевозок: Q_м= 81 тонн;

б) Длина маршрута: l_м = l^{`</sup><sub>ге</sub> + l<sup>`}_х + l^{``</sup><sub>ге</sub> + l<sup>``}_х = 14 + 4 + 9 + 5 = 32 (км);

в) Время оборота на маршруте: t_o=(l_м/V_т) +t_пв = (32 / 24) + 2 _* 1,42 = 4,17 (ч);

г) Время на нулевые пробеги: t_н=( l^`_н+ l^``_н2 - l_x)/V_т=(3+9-14)/24 = 0,08  0,1 (ч);

д) Время нахождения на маршруте: Т_м = Т_н - t_н = 750 - 6 = 744 = 12,4 (ч);

е) Число оборотов на маршруте: Z_o = T_м / t_o = 12,4 / 4,17 = 2,98  3 (оборота);

ж) Фактическое время в наряде: Т_н = Z_{o *} t_o + t_н = 3_* 4,17 + 0,1= 12,6 (ч);

з) Пробег автомобиля с грузом: L_гр = (l^`_ге + l^``_ге)_* Z_o = (5+4) _* 3 = 27 (км);

и) Пробег порожнего автомобиля: L_пор= ( l^{`</sup><sub>x</sub> + l<sup>``</sup><sub>x</sub> )Z<sub>o</sub> + l<sup>`}_н+ l^`_н- l^``_x = =(9+14)_*3+5+4-14=63 (км);

к) Общий пробег автомобиля за смену: L_o= L_гр+ L_пор= 27 + 63 = 90 (км);

л) Коэффициент использования пробега за смену: = L_гр / L_o= 27/90 = 0,3;

м) Количество груза, перевозимого одним автомобилем: Q_а = q _*_*Z_{o *} Z_e= 5_*0,9_* 3 _* 2 = 27 (тонн);

н) Транспортная работа: Р = Q_{a *}(l^`_ге + l^``_ге) = 27 _* (5 + 4) = 243 (т_*км);

o) Число потребных автомобилей для перевозки всего груза: А_м = Q_м / Q_a =

= 81/ 27= 3 (а/м).

п) Количество не довезенного груза: Q_ост=Q_м-Q_a*A_м=81- 27 _*3 = 0 (тонн), т.е. весь груз будет вывезен.

Аналогичным образом производится расчёт всех составленных маятниковых и кольцевых маршрутов.

ТАБЛИЦА 14. Сводная таблица расчётов всех маршрутов.

	Н а и м	е н о в	а н и е	м а р	ш р у	т о в.
Параметры	Маршрут 1	Маршрут 2	Маршрут 3	Маршрут 4	Маршрут 5	Маршрут 6
Qм , т	189	36	54	108	162	324
lм , км	10	30	32	33	45	61
to­ , ч	1,82	2,65	4,17	4,2	6,1	8,2
tн , ч	0,25	0,125	0,1	0,1	0,1	0,33
Тм , ч	12,15	12,33	12,4	12,4	12,4	12,17
Zo , ч	6	4	3	3	2	1
Тн , ч	11,17	10,73	12,6	12,7	12,3	8,53
Lгр, км	30	60	27	24	28	13
Lпор, км	31	49	63	73	68	48
Lo, км	61	139	90	97	96	61
 ,	0,491	0,55	0,3	0,247	0,291	0,213
Qa , т	27	18	27	27	27	18
Р , т*км	135	270	243	648	756	864
Ам, шт.	7	2	3	4	6	18
Qост , т	0	0	0	0	0	0

После расчёта все составленные маршруты получают сменно-суточный план перевозок, обеспечивающий заданный объём перевозок с минимальным объёмом автомобилей.

§ 7. ВЫВОДЫ.

В результате расчёта было представлено описание математической задачи и составлен план по методу потенциалов. Разработана матрица совмещённых планов и составлены маршруты перевозок груза. Обеспечен минимальный порожний пробег автомобиля. Произведён технологический расчёт, и сведён в таблицу, которая свидетельствует о том, что весь объём перевозок будет выполнен.

Литература:

Николин В.И. Автотранспортный процесс и оптимизация его элементов. М.: Транспорт, 1990

Боборыкин В.А. Математические методы решения транспортных задач. Л.: СЗПИ, 1986

Афанасьев Л.А., Островский И.В., Цукерберг С.М. Единая транспортная система и автомобильные перевозки. М.:Транспорт,1984

Геронимус Б.А. Экономико-математические методы в планировании на автомобильном транспорте. М.: Транспорт, 1982

22