Арифметические основы ЦВМ

1.1. Системы счисления

В повседневной практике для представления чисел люди пользуются почти исключительно десятичной системой счисления. Лишь в редких случаях встречаются остатки других систем - римский счет, двенадцатиричная система (часы), шестидесятиричная (минуты).

Однако система изображения чисел, которая веками складывалась применительно к ручному труду, не позволяет получить наиболее эффективные методы выполнения вычислений. По этой причине в вычислительной технике применяются другие системы счисления и чаще всего - двоичная.

Введем несколько определений.

Cистема счисления - совокупность символов и правил для обозначения чисел.

Разделяют системы счисления позиционные и непозиционные. Непозиционная система счисления задается перечислением изображаемых в ней значений. Позиционная система счисления характеризуется основанием и тем, что числа, как правило, представляются несколькими разрядами (являются многоразрядными), а вес любого разряда определяется его позицией в числе.

Oснование позиционной системы счисления определяет количество различных цифр (символов), допустимое в системе счисления. Это же число определяет, во сколько раз вес цифры данного разряда меньше веса цифры соседнего старшего разряда.

Так, в десятичной системе счисления, основание которой равно 10, различают 10 арабских цифр - 0, 1, 2, ..., 9. Следовательно, при ее использовании для записи числа, не превышающего девяти, достаточно одной цифры, и такое число записывается как одноразрядное. А в случае записи числа, большего девяти, оно представляется как многоразрядное. При этом вес каждого более старшего (расположенного слева от текущего) разряда в десять (основание системы счисления) раз больше текущего.

Так, например, число 359 - трехразрядное, и в нем 9 - цифра разряда единиц, 5 - цифра разряда десятков, 3 - цифра разряда сотен (в 10 раз превышает вес разряда десятков). При этом значение трехразрядного числа 359 получается суммированием трех слагаемых : 3 сотни + 5 десятков + 9 единиц.

Общее правило определения веса разряда многоразрядного числа таково:

 Если пронумеровать разряды целого числа справа налево, начиная от 0 для разряда единиц, то вес любого разряда получается возведением основания системы счисления в степень, значение которой равно номеру разряда.

Так, вес самого младшего разряда целых чисел равен 1, поскольку номер разряда равен 0, а любое число, в том числе и число 10, возведенное в нулевую степень, дает в результате единицу. Вес следующего слева разряда равен 10 в степени 1, т.е. равен десяти, и т.д.

Это же правило справедливо и для записи дробных чисел. При этом разрядам справа от разряда единиц, имеющего номер 0, присваиваются отрицательные значения: -1, -2, и т.д., а их веса получаются также при возведении основания 10 в соответствующую степень. Так, например, вес третьего разряда в дробной части числа 42,9724 будет равен 10 в степени (-3), т.е. равен одной тысячной.

Указанное правило можно проиллюстрировать следующим образом:

Число	7	5	0	6	8	, 2	5	9
Номер разряда	4	3	2	1	0	-1	-2	-3
Вес разряда	10000	1000	100	10	1	0,1	0,01	0,001

Как видно из примера, в позиционной системе счисления достаточно знать значение основания системы счисления, символы, изображающие отдельные цифры, и указанное правило, чтобы представить любое число.

В вычислительной технике широко применяют двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную систему счисления.

Двоичная система счисления имеет основание 2, и, следовательно, две разных цифры - 0 и 1; восьмеричная - восемь разных цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, а шестнадцатиричная - шестнадцать цифр - десять арабских цифр от 0 до 9 и еще шесть символов -

А (цифра, изображающая десять), D (цифра тринадцать),

В (цифра одиннадцать), E (цифра четырнадцать),

С (цифра двенадцать), F (цифра пятнадцать).

Проще всего сопоставить запись одних и тех же чисел в этих системах счисления можно с использованием таблицы 1, приведенной на следующей странице.

Мы уже говорили о том, что современные цифровые ЭВМ все используют в качестве основной двоичную систему счисления. К ее достоинствам относится:

·   простота выполнения арифметических и логических операций, что влечет за собой простоту устройств, реализующих эти операции;

·   возможность использования аппарата алгебры логики (булевой алгебры) для анализа и синтеза операционных устройств ЭВМ.

К неудобствам двоичной системы счисления относится необходимость перевода чисел из десятичной в двоичную и наоборот, а также то, что запись числа в двоичной системе громоздка (требует большего числа разрядов, чем привычная для человека десятичная). По этой и ряду других причин, кроме двоичной применяются восьмеричная и шестнадцатиричная системы счисления.

Таблица 1.1

С и с т е м а с ч и с л е н и я
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	0 1	2	2
3	1 1	3	3
4	1 0 0	4	4
5	1 0 1	5	5
6	1 1 0	6	6
7	1 1 1	7	7
8	1 0 0 0	1 0	8
9	1 0 0 1	1 1	9
10	1 0 1 0	1 2	A
11	1 0 1 1	1 3	B
12	1 1 0 0	1 4	C
13	1 1 0 1	1 5	D
14	1 1 1 0	1 6	E
15	1 1 1 1	1 7	F
16	1 0 0 0 0	2 0	1 0

Совместное использование указанных систем обусловлено двумя причинами:

·   в восьмеричной и шестнадцатиричной системах любое число записывается более компактно, нежели двоичное;

·   простотой преобразования из двоичной в восьмеричную (шестнадцатирич-ную) систему счисления и наоборот.

Приведем правила перевода чисел из двоичной системы в восьмеричную (шестнадцатиричную) и наоборот.

П1 .Правило перевода “8с/с -> 2c/c”

При переводе многоразрядного числа каждую цифру исходного восьмеричного числа представить всегда точно тремя двоичными цифрами, взятыми из приведенной выше таблицы. При этом, если для записи соответствующей восьмеричной цифры в виде двоичной требуется менее трех двоичных цифр, двоичный эквивалент дополняется слева нулями (незначащие нули не исказят значения числа). Таким образом, например, при записи четырехразрядного восьмеричного числа должно получиться двенадцатиразрядное двоичное. После окончания такого преобразования можно отбросить старшие для всего числа незначащие двоичные цифры.

Отметим, что три цифры принято называть триадой. Поэтому можно сказать, что при описываемом переводе каждая восьмеричная цифра заменяется соответствующей ей триадой двоичных цифр.

Если исходное число дробное, т.е. имеет целую и дробную часть, то в двоичном числе запятая ставится между триадами, представляющими соответствующие цифры исходного числа.

Пример.

Преобразуем восьмеричное число 371,62.

Для этого запишем для каждой цифры соответствующую триаду:

3 --> 011

7 --> 111

1 --> 001

6 --> 110

2 --> 010

Теперь можно записать число в двоичной форме (для наглядности между триадами поместим пробелы):

371,62 -> 011 111 001 , 110 010

И, наконец, запишем полученное двоичное число так, как это принято в математике, без незначащих нулей, а также отбросив правые нули в дробной части числа:

371,62 -> 11111001,11001

П2. Правило перевода “2с/с -> 8c/c”

При переводе многоразрядного двоичного числа в восьмеричную форму поступают следующим образом: Исходное число разбивают на триады. При этом для целой части числа разбиение проводят от местонахождения запятой влево, а для дробной части - от этого же места вправо. Затем самая левая группа при необходимости дополняется незначащими нулями до образования триады, а самая правая группа только в дробной части дополняется нулями справа также до образования полной триады. После этого каждая триада заменяется соответствующей восьмеричной цифрой. Местоположение запятой сохраняется по тем же правилам, что и в правиле П1.

Пример.

Представить двоичное число 1101100,01111101 в форме восьмеричного.

Разобьем исходное число на группы по три цифры, приняв в качестве точки отсчета местоположение запятой (для наглядности между триадами поместим пробелы):

1 101 100 , 011 111 01

Теперь дополним до трех цифр нулями самую левую группу слева и самую правую группу справа:

001 101 100 , 011 111 010

И, наконец, заменим каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой:

001 101 100 , 011 111 100 --> 154,372

П3. Правило перевода “16с/с -> 2c/c”

При переводе многоразрядного шестнадцатиричного числа в двоичную форму каждую цифру исходного числа заменяют группой точно из четырех двоичных цифр (заменяют тетрадой двоичных цифр). Местоположение запятой сохраняется по тем же правилам, что и в правиле П1. В окончательной записи можно отбросить самые левые (незначащие) нули и самые правые нули дробной части.

Пример. Преобразовать шестнадцатиричное число “6C,7D” в двоичную форму.

Для этого запишем для каждой цифры соответствующую тетраду:

6 --> 0110

C --> 1100

7 --> 0111

D --> 1101

Теперь можно записать число в двоичной форме (для наглядности между тетрадами поместим пробелы):

6C,7D -> 0110 1100 , 0111 1101

И, наконец, запишем полученное двоичное число так, как это принято в математике, без незначащих нулей:

6C,7D -> 1101100,01111101 П4. Правило перевода “2с/с -> 16c/c”

При переводе многоразрядного двоичного числа в шестнадцатиричную форму поступают следующим образом. Исходное число разбивают на тетрады. При этом для целой части числа разбиение проводят от местонахождения запятой влево, а для дробной части от этого же места вправо. Затем самая левая группа при необходимости дополняется незначащими нулями до образования тетрады, а самая правая группа только в дробной части дополняется нулями справа также до образования полной тетрады. После этого каждая тетрада заменяется соответствующей шестнадцатиричной цифрой. Местоположение запятой сохраняется по тем же правилам, что и в правиле П1.

Пример. Представить двоичное число 1101100,01111101 в форме шест-надцатиричного.

Разобьем исходное число на группы по четыре цифры, приняв в качестве точки отсчета местоположение запятой (для наглядности между тетрадами поместим пробелы):

110 1100 , 0111 1101

Теперь дополним до четырех цифр нулями слева самую левую группу:

0110 1100 , 0111 1101

И, наконец, заменим каждую тетраду соответствующей шестнадцатиричной цифрой:

0110 1100 , 0111 1101 -> 6С,7D.

Шестнадцатиричная и восьмеричная системы счисления используются для более компактной и удобной записи двоичных чисел.

Так, известность шестнадцатиричной системе принесло то, что с ее использованием удобно представлять программы в кодах большинства современных ЭВМ.

1.2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Поскольку в практической деятельности люди привыкли оперировать десятичной системой счисления, а в ЭВМ числа представляются в двоичной, необходимо научиться преобразовывать числа из одной системы счисления в другую. Рассмотренные выше правила перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатиричную и наоборот носят частный характер и не могут быть распространены на другие системы. Здесь же мы рассмотрим общие правила перевода, справедливые для любой пары систем счисления, хотя и более громоздкие и трудоемкие по сравнению с рассмотренными выше.

Правила перевода целых и дробных чисел не совпадают, поэтому приведем три правила перевода чисел из системы счисления с основанием R в систему счисления с основанием Q.

Правило 1. Перевод целых чисел

 Для перевода целого числа N, представленного в системе счисления (с/с) с основанием R, в с/с с основанием Q необходимо данное число делить на основание Q по правилам с/с с основанием R до получения целого остатка, меньшего Q. Полученное частное снова необходимо делить на основание Q до получения нового целого остатка, меньшего Q, и т.д., до тех пор, пока последнее частное будет меньше Q. Число N в с/с с основанием Q представится в виде не упорядоченной последовательности остатков деления в порядке, обратном их получению (иными словами, старшую цифру числа N дает последнее частное).

Пример. Преобразовать десятичное число 67 в двоичную форму.

Основание исходной системы счисления R=107. Основание новой системы счисления Q=2.

Согласно приведенному правилу надо исходное число 67 делить на основание новой системы (на 2) по правилам десятичной системы счисления (исходная с/с).

Поскольку процесс деления на 2 очень прост, воспользуемся следующим приемом: в левом столбце будем писать текущие частные, а в правом - текущие остатки от их деления на 2 (это может быть либо 0, либо 1):

67 1 При делении 67 на 2 получается частное 33 и остаток 1;

33 1 при делении 33 - частное 16 и остаток 1 и т.д.

16 0

8 0

4 0

2 0

1 1 <- Старшая цифра числа.

 0

Теперь можно записать число 67 в новой системе счисления. Оно равно 1000011.

Правило 2. Перевод правильной дроби

Перевод правильной дроби, представленной в с/с с основанием R, в с/с с основанием Q заключается в последовательном умножении этой дроби на основание Q по правилам системы счисления с основанием R, причем перемножают только дробные части. Дробь N в с/с с основанием Q представляется в виде упорядоченной последовательности целых частей произведений в порядке их получения. (Иными словами, старший разряд является первой цифрой произведения). Количество последовательных произведений определяет количество цифр в полученном числе.

Для многих чисел указанный процесс умножения потенциально никогда не кончается. Поэтому он продолжается до тех пор, пока не будет получено необходимое число цифр дробной части. При переводе числа с целью представления ее в “машинной” форме можно точно указать требуемое количество цифр. (Это будет рассматриваться позже, в разделе 1.5).

Пример. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0,7243.

Основание исходной системы счисления R=10. Основание новой системы счисления Q=2.

Согласно приведенного правила исходное число 0,7243 надо умножать на основание новой системы (на 2) по правилам десятичной системы счисления (исходная с/с). Выполним серию умножений до получения, например, шести цифр в двоичном числе:

Искомые цифры дроби:

0,7243 * 2 = 1,4486 1 -> старшая цифра

0,4486 * 2 = 0,8972  0

0,8942 * 2 = 1,7944 1

0,7944 * 2 = 1,5888 1

0,5888 * 2 = 1,1776 1

0,1776 * 2 = 0,3552 0

0,3552 * 2 = 0,7104 0

Искомое представление число 0,7243 в двоичной системе счисления -> 0,101110.

Обратите внимание, что для получения шести цифр дроби выполнено семь умножений

Это связано с необходимостью выполнить округление, чтобы представить дробь заданной длины более точно.

Из последнего примера, конечная дробь в одной системе счисления может стать бесконечной в другой. Это утверждение справедливо для всех случаев, когда одна система счисления не может быть получена возведением в целую степень основания другой.

Примеры.

·   Десятичная дробь  0,2 представляется бесконечной дробью  0,33333... в шестнадцатиричной системе счисления (основания с/с 10 и 16).

·   Шестнадцатиричная дробь 0,В1 представляется конечной дробью 0,10110001 в двоичной системе счисления (основания с/с 16 и 2).

Правило 3. Перевод неправильной дроби

Перевод неправильной дроби из одной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной части по правилам, изложенным выше.

1.3. Двоичные коды для десятичных цифр

В ряде случаев в вычислительной технике применяется не только двоичная, но и десятичная система счисления. Однако и в этом случае для представления десятичных цифр используется оборудование, разработанное для представления двоичных цифр. В этом случае говорят о двоично-десятичных кодах десятичных цифр.

Согласно формулы Хартли для представления 10 различных цифр требуется четыре бита информации: