Признака

1 признака.

S -----

^{i=1 Х i}

Однако в статистической практике чаще используют среднюю гармоническую взвешенную. Она используется при расчете общей средней из средних групповых.

Среднюю гармоничную взвешенную определяют по формуле:

_n

S * w_i

ⁱ⁼¹

 Х = _n-------

S w_i

^{i=1 Xi}

При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляет собой правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики.

Средняя геометрическая величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака.

Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных признаков вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины. И находят по формуле:

________

d= ÖS (C-C)²

^{----------------}

n

Формула взвешенного среднего квадратического отклонения следующая:

___________

d=Ö S(C-C)²*f

¾¾¾¾¾¾ где, f- веса.

Sf

2.3.Вариационное исследование статистических данных.

Средняя арифметическая сама по себе недостаточна для обобщающей характеристики совокупности. В средней отражаются общие условия, присущие всей данной совокупности. Но не отражаются индивидуальные , частные условия, порождающие вариацию у отдельных единиц совокупности.

Между тем изучение вариации ( отклонений индивидуальных значений от средней ) имеет большое значение. Во-первых, показатели вариации служит характеристикой типичности, надежности самой средней. Чем меньше вариация, тем средняя более показательна, типична, и на оборот, чем больше индивидуальные значения признака варьируют, колеблются вокруг средней, тем она менее типична; во-вторых, они служат для характеристик и равномерности работы предприятий и их подразделений; в-третьих, изучая вариацию, можно выявить связи и зависимости между явлениями.  

Для обобщающей характеристики колеблемости (вариации) используют следующие показатели: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю из абсолютных величин отклонений всех значений от их средней арифметической.

Среднее линейное отклонение (не взвешенное ) определяется по формуле:

S(C-C)

l= ¾¾¾¾ при этом не обращается внимание

n на знаки « + » и « - ».

Средние линейное отклонение дает лишь приближенную характеристику вариации.

Формула взвешенного среднего линейного отклонения имеет вид:

S(C-C)f

l = ¾¾¾¾

Sf где f - веса.

Размах вариации представляет собой разность между наибольшими и наименьшими значениями признака ( Хmax - X min ). Необходимо иметь виду, что размах вариации зависит только от двух крайних значений признака, поэтому он недостаточно отражает его колеблемость.

Коэффициент вариации применяется при изучении колеблемости различных по своему характеру признаков и расчитывается как отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.

d

 V = ¾¾ * 100

C

Вариация признака происходит под влиянием случайных и систематических причин. Поэтому наряду с общей вариацией различают вариацию , вызванную действием случайных причин, и вариацию систематическую , вызванную действием систематических причин.

Большое научное и практическое значение имеет определение различных видов вариации и роли случайной и систематической вариаций в общей вариации. В связи с этим различают три вида дисперсии: общую, внутригрупповую, межгрупповую.

Общая дисперсия исчисляется по формуле:

 S(C-C)²f

d_об²= ¾¾¾¾

Sf

где d_об² - общая дисперсия;

Х - средняя арифметическая ( общая для всей изучаемой совокупности );

f - частоты ( веса ) вариантов признака в общей совокупности.

Перейдем к характеристике влияния отдельных причин на вариацию индивидуальных значений признака.

Разделим совокупность на однородные группы. Для каждой группы исчислим среднюю арифметическую и дисперсию. В результате определим внутригрупповую и межгрупповую дисперсии.

Общая дисперсия показывает влияние всех условий на вариацию признака.

Внутригрупповая дисперсия показывает влияние случайных, не учитываемых условий на вариацию признака, т.е не зависит от группового (факторного) признака. Она представляет собой среднюю из частных (групповых) дисперсий и рассчитывается по следующей формуле:

S d_i² * f_i

d_i² = ¾¾¾¾

S f_i

где d_i²- внутригрупповая дисперсия;

d_i² - частные дисперсии;

f_i - численность единиц отдельных групп (частей) совокупностей.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию признака под влиянием определяющих условий, связанных с группировочными (факторным) признаком. Она представляет собой средний квадрат отклонения групповых средних от общей средней и вычисляется по такой формуле:

S(C_i-C)² f_i

d² = ¾¾¾¾¾

 S f_i

где d² - межгрупповая дисперсия;

C_i - средняя по отдельным группам;

Х - общая средняя.

Между всеми перечисленными видами дисперсий существует взаимосвязь, которая выражается в виде следующего равенства:

d_об² = d_i^{2 +} d²

Полученное равенство называется правилом сложения дисперсий, которое заключается в следующем: общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой.

2.4Ряды динамики.

Рядами динамики называются ряды чисел, характеризующих изменение явлений во времени .

Каждый ряд динамики состоит из двух элементов:

1).уровней ,характеризующих величину изучаемого признака;

2).периодов, ( моментов ), к которым относятся эти уровни.

В зависимости от характера уровней ряда различают два вида динамических рядов: моментальные и интервальные (периодические).

Моментальным называется ряд динамики, уровни которого характеризуют состояние явления на определенные моменты времени.

В каждом последующем уровне этого ряда содержится полностью или частично предыдущий уровень. Поэтому суммировать уровни моментального ряда не следует, так как это привело бы к повторному счету.

Важное экономическое значение имеет определение разности уровней моментального ряда динамики, которая характеризует развитие (увеличение или уменьшение) изучаемого явления во времени.

Интервальным (периодическим) называется такой динамический ряд, уровни которого характеризуют размер явлений за тот или иной период времени (год, пятилетку и т.п.)

Уровни интервального ряда в отличие от уровней моментального ряда не содержатся в предыдущих или последующих показателях. Поэтому важное экономическое значение имеет суммирование этих уровней. Сумма уровней периодического ряда динамики характеризует уровень данного явления за более длительный отрезок времени.

Рядом динамики относительных величин называется такой ряд, уровни которого характеризуют изменение относительных размеров изучаемых явлений во времени.

Уровни такого ряда выражены в процентах и поэтому являются относительными величинами.

Рядом динамики средних величин называется такой ряд , уровни которого характеризуют изменение средних размеров изучаемых явлений во времени.

2.5Индексный анализ.

Индексами в статистике называют показатели, характеризующие общее изменение сложных явлений , состоящих из элементов , не поддающихся непосредственному суммированию.

Например, требуется установить, насколько увеличился в данном году по сравнению с прошлым годом физический объем всей продукции колхоза. Ясно , что использовать в данном случае рассмотренные выше относительные величины невозможно, так как продукты разного вида и качества не поддаются непосредственному суммированию. Для характеристики изменения таких сложных явлений применяются индексы. Они показывают, например, как изменилось производство всей продукции колхоза или его сложных отраслей, как в среднем изменилась себестоимость этой продукции и т.п.

Индексы применяют для составления планов, проверки их выполнения, характеристики изменения явлений во времени и в территориальном разрезе. Они также широко используются при изучении связей и зависимостей между общественными явлениями.

С помощью индексов изучают, как правило , динамику сложных явлений. Но сложные явления состоят из многих отдельных элементов, например: продукция сельского хозяйства включает зерновые, картофель, молоко и т.д. Индексы вычисляются как для отдельных элементов сложного, явления, так и для всего сложного явления в целом.

Индексы, характеризующие изменение отдельных элементов сложного явления, называются индивидуальными, например индексы производства картофеля, молока, шерсти, индексы, характеризующие изменение цены определенного вида продукции и т. п. Допустим, надо определить, как изменилось в отчетном году по сравнению с базисным производство отдельных видов продукции в колхозе. Обозначив количество продукции базисного года d₀ , отчетного - d₁ получим формулу индивидуального индекса объема продукции:

d ₁

i = ¾¾

d ₀

Индексы, характеризующие изменения сложных явлений в целом называются общими.

В зависимости то исходных данных и способа расчета общие индексы могут быть агрегатные и средние. Агрегатный индекс является основной формой индекса. Агрегатным называется потому, что его числитель и знаменатель представляют собой агрегат, набор разнородных элементов.

Агрегатный индекс рассчитывается как отношение суммы произведений индексируемых ( сопоставляемых ) величин сравниваемых периодов на веса (величины, с помощью которых суммируются разнородные элементы).

В статистике индексы количественных признаков строятся, как правило, с весами базисного периода, а индексы качественных признаков - с весами отчетного периода.

Для исчисления агрегатных индексов необходимы два рода показателей: индексируемые величины и веса. Но практически эти показатели имеются не всегда.

В таких случаях агрегатные индексы преобразуются в средний арифметический и средний гармонический индексы. При этом средний индекс является правильным лишь в том случае, когда он тождествен агрегатному индексу.

Произведем преобразование агрегатного индекса физического объема в среднеарифметический. Формула индекса физического объема такова:

åq₁ p₀

l_{физ.объема} = ¾¾¾

åq ₀ p₀

Для преобразования используем индивидуальный индекс индексируемой величин q₁,

отсюда q₁ = i_q q₀ заменив в формуле агрегатного i_q = ¾ индекса физического объема продукции q₁ на i_q q₀ , q ₀ получим формулу среднеарифметического индекса физического объема.

åq₁ p₀

l_{физ.объема} = ¾¾¾

åq ₀ p₀

Таким образом, указанный индекс представляет собой среднюю арифметическую из индивидуальных индексов, взвешенных по стоимости реализованной продукции базисного периода (q ₀ p₀ ).

Для преобразования агрегатного индекса цен в среднегармонический используем индивидуальный индекс индексируемой величины

p₁ ; отсюда  p₁

i_R = ¾¾ p₀ = ¾¾

p₀ t_R

 Заменив в формуле агрегатного индекса цен равной ей величиной получим формулу среднегармонического индекса цен.

åq₁ p₁

l_цен = ¾¾¾  

q₁ p₁

å¾¾

i_p

Среднегармонический индекс цен по своей величине совпадает с агрегатным индексом цен.