Эллиптическое зеркало

4.4. Эллиптическое зеркало.

Уточненная формулировка принципа Ферма

A B

Эллипс представляет собой геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до некоторых двух точек (фокусов эллипса) постоянна. Благодаря этому зеркало, сечение которого представляет собой эллипс, оказывается исключительно интересным. При отражении от такого зеркала каждый луч, вышедший из фокуса A после отражения попадает в фокус B.

Мы рассматривали отражение от плоского зеркала, тогда путь распространения был минимальным. В случае эллиптического зеркала все пути распространения света одинаковы. Как и в случае плоского зеркала, отраженная волна представляет собой результат излучения колеблющихся электронов, колебания которых вызвала падающая волна Будем считать, что источник волн, излучатель находится в точке A. Но теперь вызванные движением разных электронов электромагнитные колебания в точке B будут происходить с одинаковыми фазами. Векторная диаграмма будет выглядеть иначе - отдельные векторы не будут повернуты один по отношению к другому, будут лежать на одной прямой.

A B

С

Естественно, при таком отражении для каждого луча также будет справедлив закон отражения.

Если кривизна зеркала в точке отражения будет больше кривизны эллиптического зеркала, длина пути распространения (длина ломаной ACB) будет не минимальной, а максимальной. Но отражение в точке C будет происходить так же, как от эллиптического зеркала. Это вынуждает нас уточнить формулировку принципа Ферма: для пути распространения света определяющей оказывается не минимальность, а экстремальность этого пути. Или же длина пути не должна изменяться при смещении точки отражения.

В этой связи можно провести такие более доказательные рассуждения.

B”

A B

С B’

Луч CB проходит также через точки B’ и B”. И если длины разных лучей, приходящих из точки A в точку B одинаковы, такого утверждения нельзя сделать для точек B’ и B”. Соответственно, и векторные диаграммы для сложения колебаний от отдельных электронов в этих точках будут выглядеть иначе - эти векторы не будут выстраиваться по одной прямой, станут скручиваться в “клубки”. Попробуйте самостоятельно разобраться, какая из приведенных на рисунке диаграмм относится к точке B’, а какая к точке B”.

Если Вам понятен смысл векторных диаграмм, Вы поймете и то, что такое различие их вида означает весьма существенное различие амплитуд колебаний в точке B (амплитуда велика) и точках B’ и B” с другой стороны. Говорят, что свет “фокусируется” в точке B, в этой точке находится изображение источника света A.

4.5. Сферическое зеркало

A B

R

C F

2q R/2

D O

Свойством сферического зеркала является то, что после отражения от него лучи собираются в некоторой точке, называемой фокусом зеркала.

Рассмотрим падение плоской волны на сферическое зеркало радиуса R. При этом мы ограничимся рассмотрением отражения параксиальных лучей, расстояние которых от оптической оси на малое расстояние, равное длине отрезка AB 1, то время распространения света от точки A до точки B будет уменьшаться при отклонении пути распространения от прямолинейного, причем при таком отклонении, когда длина пути в вакууме несколько увеличивается, а в веществе - уменьшается.

Подсчитаем время распространения света между точками A и B. Пусть (x_A,z_A) и (x_B,z_B) - координаты точек, z - координата точки преломления луча. В вакууме и в веществе свет проходит расстояния

и ,

время распространения -

.

Согласно принципу Ферма

.

Используя введенное ранее обозначение, мы можем записать закон преломления в виде:

.

Получим теперь закон преломления иначе, анализируя пересечение границы плоской волной.

a₁

a₁ l₀

l_n a₂

a₂

Нарисуем фронты волны таким образом, чтобы они проходили через максимумы напряженности электрического поля при одинаковом их направлении. Они будут совпадать с гребнями волн. Тогда расстояние между фронтами будет равно длине волны света.

Частота колебаний в вакууме и в оптически более плотной среде (n > 1), естественно, одинакова. Значит, длины волны в этих средах различаются так же, как различаются скорости, - в n раз. Это приводит к “излому” фронтов на поверхности оптически плотной среды, причем углы между фронтами и этой поверхностью a₁ и a₂ равны углам падения и преломления (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами).

Треугольники, в которых отрезки длиной l_n и l₀ являются катетами, имеют общую гипотенузу. Поэтому,

.

Мы вновь получили закон преломления.