Формула Планка

12.4. Формула Планка

Изучение теплового равновесного излучения как и других явлений привело физиков к идее квантования. Каждой колебательной степени свободы пришлось приписать энергию в несколько энергетических квантов - порций энергии величиной ћw.

Количество стоячих волн с энергией  определяется распределением Больцмана:

.

С увеличением частоты количество волн с большой энергией уменьшается и тем самым снимается проблема бесконечной плотности энергии.

Подсчитаем среднюю энергию стоячей волны с частотой w:

.

Мы ввели обозначение .

Выражение под знаком логарифма представляет собой сумму членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем . Поэтому средняя энергия стоячей волны

.

Умножив это значение на количество волн в интервале dw, получим энергию в этом интервале:

,

мы получим для плотности лучистой энергии выражение

,

которое носит название формулы Планка.

Лекция 16

12.5. Закон Стефана-Больцмана и закон смещения Вина

Мы с Вами получили связь между плотностью лучистой энергии и испускательной способностью абсолютно черного тела

и формулу Планка для плотности энергии

.

Это позволяет нам записать выражение для испускательной способности абсолютно черного тела:

.

Это выражение также называют формулой Планка. С ее помощью можно получить закон Стефана-Больцмана - связь энергетической светимости абсолютно черного тела с температурой:

.

Произведем замену переменной: введем . Тогда выражение для энергетической светимости примет вид:

.

Интеграл в правой части выражения равен . Таким образом,

; .

Величина s называется постоянной Стефана-Больцмана и ее значение, подсчитанное с помощью формулы Планка, весьма точно совпадает с определенным экспериментально.

Закон смещения Вина связывает температуру и длину волны, на которую приходится максимум излучения абсолютно черного тела:

; .

 Чтобы получить выражение для b, нужно исследовать функцию

на экстремум. Принципиальных проблем в этой связи не возникает, но вычисления оказываются достаточно громоздкими. И тем не менее, учитывая огромную важность формулы Планка, нам следует заняться этими вычислениями.

Прежде всего перейдем в функции  от переменной  к переменной l. Проследите внимательно за выкладками:

.

Мы ввели обозначение . Поскольку

,

мы получаем не такое уж сложное выражение:

.

Теперь займемся дифференцированием. Нам необходимо решить уравнение

;

.

Решить это уравнение “напрямую” нам не удастся. Поэтому перепишем его в виде

и решим методом последовательных приближений, в данном случае весьма эффективным.

В качестве нулевого приближения напрашивается значение . Тогда

;

;

.

Ограничившись четырьмя знаками после запятой, получаем:

;

; .

Полученное нами значение b очень хорошо совпадает с экспериментальным значением.

Сами законы Стефана-Больцмана и закон смещения Вина были установлены раньше, чем была получена формула Планка. То, что из нее были затем получены верные значения констант s и b, явилось блестящим подтверждением верности тех представлений, которые были заложены при ее получении. Но смысл этих представлений нам еще нужно осознать.

Похожие работы

Курс лекций по физике

Скачать

27693

7

32

... свойства. А.у.т. - тело, для которого силы однозначно определяют деформации и наоборот. Правильность выбранной абстракции подтверждается совпадением, определенной точностью результатов теории и опыта. Физика - наука, устанавливающая закономерные связи посредством наблюдений явлений в природе и посредством лабораторных опытов. Согласие результатов научного анализа с результатами опыта - критерий ...

Физики продолжают шутить

Скачать

25258

0

3

... так, как большинство материалов относится к устному творчеству, откуда и были получены, также есть выдержки из книг: «Физики шутят», «Физики продолжают шутить», «Сборник задач по физике» Г. Остера. Шутки, которые шутят физики. Один математик спросил коллегу, известного своими религиозными убеждениями: - Вы, что же, верите в единого ...

Английский физик Майкл Фарадей

Скачать

27836

0

0

... фара́да). 1 фарад равен электрической ёмкости конденсатора, при которой заряд 1 кулон создаёт между обкладками конденсатора напряжение 1 вольт. Ф = Кл/В = A·c/B Единица названа в честь английского физика Майкла Фарадея Фарад — очень большая ёмкость. Емкостью 1Ф обладал бы уединенный шар, радиус которого был бы равен 13 радиусам Солнца. Для сравнения, ёмкость Земли (шара размером с ...

Великий физик Америки

Скачать

23944

0

0

... гальванометра отклонялась (то же происходило и при поднятии электромагнита из катушки). Эта схема напоминает рисунок из лабораторного журнала Фарадея. Удивительно, как схожи оказались эксперименты двух великих физиков, работавших независимо друг от друга на разных континентах! В своей статье, написанной уже после знакомства с опытом Фарадея, Генри, отдавая должное английскому физику, подчеркнул, ...